2矩陣典型習(xí)題解析

1、2矩陣矩陣是學(xué)好線性代數(shù)這門課程的基礎(chǔ)，而對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，對(duì)于矩陣的理解是尤為的重要；許多學(xué)生在最初的學(xué)習(xí)過(guò)程中感覺(jué)矩陣很難，這也是因?yàn)閷?duì)矩陣所表示的內(nèi)涵模糊的緣故。其實(shí)當(dāng)我們把矩陣與我們的實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相聯(lián)系的時(shí)候，我們才會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)用矩陣來(lái)表示這些“繁瑣”的事物來(lái)是多么的奇妙！于是當(dāng)我們對(duì)矩陣產(chǎn)生無(wú)比的興奮時(shí)，那么一切問(wèn)題都會(huì)變得那么的簡(jiǎn)單！知識(shí)要點(diǎn)解析2.1.1 矩陣的概念(3).矩陣的定義由mxn個(gè)數(shù)aj(i1,2,m;j1,2,n)組成的 m 行 n 列的矩形數(shù)表a1na2nam1am2稱為mxn矩陣，記為A(aij)mn(4).特殊矩陣(1)方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣；(2)上(

2、下)三角陣：主對(duì)角線以下(上)的元素全為零的方陣稱為上(下)三角陣;(3)對(duì)角陣：主對(duì)角線以外的元素全為零的方陣；(4)數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上元素相同的對(duì)角陣；(5)單位矩陣：主對(duì)角線上元素全是 1 的對(duì)角陣，記為 E;(6)零矩陣：元素全為零的矩陣。3.矩陣的相等設(shè)A(aij)mn；B(bij)mn若aijbij(i1,2,m;j1,2,n),則稱 A 與 B 相等，記為 A=R2.1.2 矩陣的運(yùn)算aii1.加法(1)定義：設(shè)A(Aj)mn，B(bj)mn,則CABbj)mn(2)運(yùn)算規(guī)律A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+QA+O=AA+(-A)=0,總是 A 的負(fù)矩陣2,數(shù)與矩陣的乘

3、法(1)定義：設(shè)A(aij)mn，k為常數(shù)，則kA(kaij)mn(2)運(yùn)算規(guī)律K(A+B)=KA+KB(K+LA=KA+LA(KL)A=K(LA)1 .矩陣的乘法(1)定義：設(shè)A(aij)mn,B(bij)np.則nABC(Cij)mp,其中Cijaikbkjk1(2)運(yùn)算規(guī)律(AB)CA(BC);A(BC)ABAC(BC)ABACA(3)方陣的幕定義:A(aj)n,則AkAAK運(yùn)算規(guī)律：AmAnAmn；(Am)nAmn(4)矩陣乘法與幕運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算不同之處。ABBAAB0,不能=t出A0或B0;(AB)kAkBk2.矩陣的轉(zhuǎn)置(1)定義：設(shè)矩陣 A=(aij)mn,將 A 的行與列的元素

4、位置交換，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置，記為AT(aji)nm,(2)運(yùn)算規(guī)律(AT)TA;(AB)TATBT;(kA)TKAT;(AB)TBTAT0(3)對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣若ATA,則稱 A 為對(duì)稱陣；ATA,則稱A為反對(duì)稱陣。3 .逆矩陣(1)定義： 設(shè) A 為 n 階方陣，若存在一個(gè) n 階方陣 B,使得 AB=BA=E 則稱 A 為可逆陣，B 為 A的逆矩陣，記作BA1。(2) A 可逆的元素條件：A 可逆A0(3)可逆陣的性質(zhì)若A可逆，則A-1也可逆，且(A-1)-1=A；若A可逆，kw0,則 kA 可逆，且(kA)11A1;k若 A 可逆，則AT也可逆，且(AT)1(A1)T;若A,B 均可逆

5、，則 AB 也可逆，且(AB)1B1A1。(4)伴隨矩陣定義：A*(Aj)T,其中Aij為a的代數(shù)余子式，性質(zhì)：一*n1i)AAAA|AE；ii)AA；n2(i)(A)AA；iv)若A可逆，則A*也可逆，且(A*)1(A1)*71AA用伴隨矩陣求逆矩陣公式：A1-1-A*A2.1.3 方陣的行列式.定義： 由 n 階方陣 A 的元素構(gòu)成的 n 階行列式(各元素的位置不變)叫做方陣 A的行列式，記為A或 detAo.性質(zhì)：(DAT|A,(2)kAknA,1ABAB,(4)A1=.特殊矩陣的行列式及逆矩陣(1)單位陣 E:E1;E1E;1數(shù)量矩陣 kE:kEkn;當(dāng)k0時(shí),(kE)1-Ek(3)對(duì)

6、角陣:*12n111121n.上（下）三角陣ann若A0,則A1仍為上（下）三角陣.4 矩陣的初等變換與初等矩陣.矩陣的初等變換（1）定義：以下三種變換交換兩行（列）；某行（列）乘一個(gè)不為零的常數(shù) k；某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，稱為矩陣的初等變換。.初等矩陣（1）定義：將 n 階單位陣 E 進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣;交換 i,j 兩行（列），記為 E（i,j）；第 i 行（列）乘以不為零的常數(shù) k 記為 E（i（k）；第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，記為 E（j（k）i；a11a22，則Aa11a22ann2.1(2)初等矩陣的性質(zhì)初等陣是可逆陣，且逆陣仍

7、為同型的初等陣；而E(ij)1E(ij)E(i(k)1E(i1)k1E(j(k)i)1Ej(k)i(3)方陣 A 可逆與初等陣的關(guān)系若方陣 A 可逆，則存在有限個(gè)初等陣P1,P2,Pt,使AP1P2Pt,(4)初等陣的行列式E(ij)1,E(i(k)k,E(j(k)i)1(5)初等陣的作用：對(duì)矩陣 A 進(jìn)行一次初等行(列)變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的初等陣左(右)乘矩陣 A,且E(ij)A|A,|E(i(k)AkA,|E(j(k)i)|A3.矩陣的等價(jià)(1)定義：若矩陣 A 經(jīng)過(guò)有限次初等變換變到矩陣 B,則稱 A 與 B 等價(jià),(2)A 與 B 等價(jià)的三種等價(jià)說(shuō)法，A 經(jīng)過(guò)一系列初等變換變到 B;存

8、在一些初等陣E1,Es,F1,Ft,使得EsE1AF1FtB存在可逆陣 P,Q,使得 PAQ=B2.1.5 分塊矩陣.分塊矩陣的定義以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。.分塊矩陣的運(yùn)算(1)設(shè) A,B 為同型矩陣，采用相同的分法有AIAtB11B1tAA21A2tBB21B2tAB(AjBj)(i1,2,s;j1,2,t)kA(kAj)(i1,2,s;j1,2,t)(3)設(shè)A(aj)mn,B(bj)np,分塊成Bti其中Aii,Ai2,Ait的列數(shù)分別等于Bij,B2j,Btj的行數(shù),則ABC(Cij)sr,其中CjAikBkj(ii,2,3,s;ji,2,r)3.準(zhǔn)對(duì)角陣(i)定義：形如

9、AiA 為 ni階方陣的矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角陣。As(2)準(zhǔn)對(duì)角陣的行列式及逆矩陣AAiAIAs;若每個(gè) Ai可逆，則 A 可逆，且(3)特殊的準(zhǔn)對(duì)角陣AAr若 Ai,A2可逆，則AA2AAJ,若 Ai,A2可逆，則AA2,、BD-illA是B0,C0,則AB|C0AiiAitBiiBir則 c=(iv)AC，B0,C2.2.1 矩陣的運(yùn)算1、若 2L1L1LbL21L22L13L1B1DC*1C1C1DB1CII1經(jīng)典題型解析5cc22誤就是對(duì)矩陣進(jìn)行行列式計(jì)算時(shí)，把（2A）2的階數(shù)給忘記計(jì)算。3、設(shè) A 為 33 矩陣，B 為 44,且 A1,2,貝葉 BA解：BA2g8.易錯(cuò)題示：本題同上，但

10、還應(yīng)值得我們注意的是，在計(jì)算時(shí)|BAB|A23a2 是我們常犯的錯(cuò)誤。k4、設(shè) A1L2L3,B1L1L1，則ATB.k-解：ATBATBgATBATBAT(BAT)(BAT)(BAT)B11L1L16k121L1L6k12L2L233L3L31易錯(cuò)提示：本題關(guān)鍵是要求我們注意到 ATB 是矩陣，但BAT=1L1L12=63卻是數(shù),k1L1L13L3L33L3L31L0L15、設(shè)A0L1L0,求A;0L0L1解：方法一：數(shù)學(xué)歸納法.1L0L11L0L2因?yàn)锳0L1L0,A2AgA0L1L0,0L0L10L0L11L0L332AAgA0L1L0,0L0L11L0Ln1一般的，設(shè)An-10L1L0

11、,0L0L11L0Ln11L0L11L0Ln則AnAn1gA0L1L00L1L00L1L01L1L1倘若先計(jì)算ATB2L2L2，然后再求2L2L2,則計(jì)算式相當(dāng)繁瑣的。0L0L10L0L10L0L11L0Ln所以，有3 納法知An0L1L0。0L0L164n7A8方法二：因?yàn)?A 是初等矩陣，AEgAgAA,相當(dāng)于對(duì)單位矩陣1L0L0E=0L1L0,施行了 n 次初等列變換(把第一列加到第三列)，故0L0L11L0LnAn0L1L0。0L0L1方法三：利用對(duì)角矩陣和主對(duì)角線上為零的上三角矩陣幕的特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。0L0L1其中B0L0L0,0L0L01L0Ln故有AnEnngEn1BEnB0L1

12、L00L0L1提示：除上述方法外，本題還可以與后面的特征值聯(lián)系起來(lái)計(jì)算，方法也算不少,讀者只需選擇一種或幾種適合自己的且快捷簡(jiǎn)便的方法為宜。3L0L8_23L1L6(1)(1),2L0L則f()有根 1,-1(二重)1L0L1令A(yù)=0L1L00L0L11L0L00L1L00L0L10L0L10L0L0EB,0L0L00L0L10L0L1又因?yàn)锽20L0L00L0L00L0L00L0L00L0L00L0L0,所以BkO(k2)00L0L06、設(shè)矩陣A36,求 A1002A50。解：A 的特征多項(xiàng)式f()EA若設(shè)g()=100250,那么所求A1002A50g(A),而 dg210010049,d

13、由代數(shù)學(xué)中的整除性質(zhì)，q(),stg()=q()f()a2bc,-1=1100-2150=g(1)=q(1)f(1)abcabc,-1=(-1)1002(-1)50q(-1)f(1)abcabc,0=-100+100=dg-)(1)2ab,d解之得：a=b=0,c=-1。所以，g()=q()f()1,從而A1002A50g(A)=q(A)f(A)EE。點(diǎn)評(píng)：本題可謂是到綜合性極強(qiáng)的一道題，對(duì)于解這種類型題時(shí)，讀者除需要掌握牢固扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還應(yīng)具備真正能夠做到各知識(shí)點(diǎn)前后相連，融會(huì)貫通的能力。所以，我們平時(shí)學(xué)習(xí)是應(yīng)該養(yǎng)成多動(dòng)腦，勤思考，?？偨Y(jié)得好習(xí)慣。2100，求An。00132EPBn2

14、EPn(2E)nn(2E)n1P2nn2n102n7、設(shè)AB0解：由分塊矩陣知A0C，其中B2139,C0213AnBn00Cn2nn2n10002n000036n196n1_n1_n1006362.2,2 矩陣的逆（逆矩陣）及其運(yùn)用解：因?yàn)?A|AA11A1,所以易錯(cuò)提示：切記將 2 提出時(shí)應(yīng)為 2k,其中 k 為該矩陣的階數(shù)。-12、已知矩陣 A 潴足關(guān)系式A22A3EO,求 A4E。解：因?yàn)?OA22A3EA+4EA-2E+8E-3E21A4EA-2E5EA4E-E-AE,55-121A4EEA.55思路提示：遇到有關(guān)此類問(wèn)題時(shí)，我們首先應(yīng)想到的是把所求問(wèn)題的因式給分解出來(lái)，那么問(wèn)題就會(huì)

15、變得容易多了。3、設(shè) n 階可逆矩陣 A1,2,n,i為 n 維列向量（i=1,2n）,為 n 維非零列向量，且與1,2,n1均正交，則 B1,2,n1,可逆。解：要證明矩陣 B 可逆，我們這里只需要證明向量組1,2,n1,線性無(wú)關(guān)即可。為此，我們令：從而An1、設(shè) A 為三階方陣，A 為 A 的伴隨矩陣，A-1*8A1-1*(1A)18A313A1A12A123r164IAk11k22kn1n1kn0，兩邊同乘以QTi0,(i=1,2,-n-1)且T0knT0我們可以得出kn0,那么即得：K11k2T2kn1Tn10,又QA 是可逆矩陣,從而我們有k1=k2=kn=0,即證明了1,2,n1,

16、線性無(wú)關(guān),同時(shí)也就說(shuō)明了矩陣 B1,2,n1,是可逆矩陣思路提示：對(duì)于這某矩陣時(shí)可逆矩陣的方法也算不少，這里我們不妨預(yù)先前所熟悉的線性方程組來(lái)建立聯(lián)系。這就要求我們對(duì)與矩陣與線性方程組建的關(guān)系要特別的熟悉與掌握，這對(duì)于今后解線性方程組也會(huì)只很有幫助的。事實(shí)上，對(duì)于 mn 矩陣 A,我們可以把其每一列看作一列向量(記為1,2,n),則A=(1,2,n),這就很形象的轉(zhuǎn)化為線性方程組問(wèn)題了，而 A=(1,2,n)可逆向量組1,2,n線性無(wú)關(guān)。4、設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣，若A+AT為正定矩陣，則 A 為可逆矩陣。證明：用反證法假設(shè) A 為不可逆矩陣，則 n 維列向量X。0,使得AX。0,而對(duì)于X0

17、T(A+AT)X0X0TAX0X0TATX0X0T(AX0)(AX)TX0=X0T00TX00,從而我們知存在X00,使得X0T(AAT)X00,但這與 A+AT為正定矩陣相矛盾，從而假設(shè)不成立,這也就說(shuō)明了 A 為可逆矩陣。k1T1k2kn1knT0,1,2,n1線性無(wú)關(guān)。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些證明題，當(dāng)我們感覺(jué)無(wú)處下手之時(shí)，不妨嘗試一下反證法，很多時(shí)候反證法也未嘗不是條光明道路。對(duì)于如何說(shuō)明矩陣 A 是正定矩陣,我們應(yīng)掌握以下幾個(gè)等價(jià)定理：(1)定義法(最基本，也較常用，本題就是利用次方法來(lái)證明出矛盾來(lái)的的)；(2)來(lái)說(shuō)明 A 的所有特征值全部都大于零；(3)來(lái)說(shuō)明 A 的所有順序主子式都大于零(

18、這種方法再給出具體的矩陣表達(dá)形式時(shí)較常用)；存在可逆矩陣 p,使得A=PTP；存在正交矩陣 S,使得 A=S2；1T1(6)存在正父矩陣Q,使得QAQQAQ=M00M,i0(i1,2,n)。n225、已知f(X1，x2,x3)4x23X34X1X24X1X38X2X3,寫出該二次型的矩陣表達(dá)式;(2)用正交矩陣的方法把該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)性， 并寫出對(duì)應(yīng)的正交矩陣解：(1)f 的矩陣表達(dá)式為022XIf(XI,X2,X3)(X1,X2,X3)244X2;243X3(2)由(1)得知該二次型的矩陣為A 的特征方程為EA222244(1)(6)(436)=0,由此可得出 A 的特征值:1,26,36,對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的單位特征向量為:2-2-2f(x1,x2,x3)y16y26y3o點(diǎn)評(píng)：化二次行為標(biāo)準(zhǔn)形式二次型矩陣最常見的一種題型，在研究生入學(xué)考試中也是個(gè)重要的考察知識(shí)點(diǎn)，但題目一般難度不大，解答事業(yè)都有固定的模式，但它卻要求我們必須仔細(xì)對(duì)待，切不可有所懈怠。6、二次曲面 S 在空間直角坐標(biāo)系中的方程為222x4yz4xy8xz4yz10,做直角坐標(biāo)變換，把它化成標(biāo)準(zhǔn)