數(shù)學(xué)建模+停車場(chǎng)設(shè)計(jì)問(wèn)題

1、案例16停車場(chǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)隨著城市車輛的增加，停車位的需求量也越來(lái)越大，停車?yán)щy已逐漸成為市 民們頭疼的問(wèn)題。要解決停車難問(wèn)題，除了盡可能的增加停車場(chǎng)以外，對(duì)停車場(chǎng) 進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)也能在一定程度上緩解這一供需矛盾。停車場(chǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)就是在停 車場(chǎng)大小確定的情況下，對(duì)停車區(qū)域進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以便容納更多的車輛。本文 的目的就是希望分析一下這一情況，找出緩解停車?yán)щy的有效辦法。假設(shè)某公共場(chǎng)所附近有一塊空地，如果不考慮建設(shè)地下或多層結(jié)構(gòu)，我們?cè)?如何有效的設(shè)計(jì)停車位置呢？一般來(lái)說(shuō)， 想盡可能的把車塞進(jìn)停車場(chǎng)，最好的辦 法就是以垂直?？康姆绞綄④囈惠v擠一輛地排成行，但是這樣停放的后果就是車 輛不能自由出入，只

2、有后進(jìn)入的車輛全部先出去了，先進(jìn)入的車才可以離開(kāi)停車 場(chǎng)，顯然不符合實(shí)際的需求。因而，為了使汽車能夠自由地出入停車場(chǎng)，必須設(shè) 立一定數(shù)量具有足夠?qū)挾鹊耐ǖ?，并且每個(gè)通道都應(yīng)該有足夠大的“轉(zhuǎn)彎半徑”， 而通道越寬越多，就會(huì)使得容納的車輛數(shù)越少。所以我們的問(wèn)題就是要確定在滿 足車輛能夠自由進(jìn)出的實(shí)際需求下，如何進(jìn)行停車位置和車行通道的設(shè)計(jì)， 才能 夠停放更多的車輛，從而做到既方便停車又能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益。我們先來(lái)看看生活中非貨運(yùn)車輛大小的種類。根據(jù)實(shí)際調(diào)查和經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這 類車輛一般可分為小轎車，中型客車和大型客車三類。其中小轎車約占九成，大 型客車約占一成，而中型客車一般不多于1%根據(jù)這樣的情況

3、，我們可以免去對(duì)中型客車的車位設(shè)計(jì)，即便有中型客車停車的需要，可以使用大型車的車位， 這也符合現(xiàn)實(shí)生活中絕大多數(shù)停車場(chǎng)的車位設(shè)計(jì)情況。我們?cè)O(shè)小轎車所占的比例為=0.9 ,大型客車所占的比例為1 =0.1，當(dāng)然現(xiàn)實(shí)中也有不少全為小轎車設(shè) 計(jì)的停車場(chǎng)，例如小區(qū)的地下車庫(kù)。再來(lái)看看車位的大小。根據(jù)實(shí)際的調(diào)查，城市內(nèi)比較普通的小轎車長(zhǎng)度一般 不超過(guò)4.7米，寬度一般不超過(guò)1.7米，而一般大型客車長(zhǎng)度不超過(guò) 12米，寬 度不超過(guò)2.2米。另外，經(jīng)實(shí)際考察可知，停車場(chǎng)中標(biāo)志線的寬度大約為0.1米,所以我們可以假設(shè)停車場(chǎng)中停放轎車需要的車位長(zhǎng)G = 5米，寬Cw = 2.5米,這其中包括了 0.1米的標(biāo)志線

4、寬度和至少0.3米的汽車間的橫向間距。設(shè)停放大 客車需要長(zhǎng)Bl =12.5米，寬Bw =3米，其中包括0.1米的標(biāo)志線寬度和必要的汽車之間的橫向間距考慮到汽車從通車道駛?cè)胲囄灰话愕棉D(zhuǎn)彎，所以車輛的最小轉(zhuǎn)彎半徑也是停 車場(chǎng)設(shè)計(jì)所要考慮的重要參數(shù)。所謂最小轉(zhuǎn)彎半徑，就是汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到 汽車外側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離。根據(jù)實(shí)際調(diào)查，可設(shè)小轎車的最小轉(zhuǎn)彎半徑為G =5.5米，與此同時(shí)，汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到汽車內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的 最小距離為C? =G -1.7 = 3.8米，如圖1所示。圖1對(duì)于大客車，我們?cè)O(shè)其最小轉(zhuǎn)彎半徑為 B =10米，與此同時(shí)，大型車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最

5、小距離為 B2二B -2.2 =7.8米。本文的目的就是討論應(yīng)當(dāng)整體設(shè)計(jì)車位的排布。對(duì)于給定的停車場(chǎng)，我們的 目標(biāo)就是盡可能多地增加車位數(shù)，或者說(shuō)，使每輛車占據(jù)的停車場(chǎng)面積盡可能小。一僅有一種車型的局部車位位置大型客車和小轎車在停車時(shí)占地面積相差很大， 一般都是分區(qū)停泊的。現(xiàn)在, 讓我們先來(lái)看看只限于停放小轎車的簡(jiǎn)單情況，并且先不考慮停車場(chǎng)的實(shí)際大 小，只是來(lái)研究一下應(yīng)當(dāng)如何給出局部設(shè)計(jì)， 才能使每輛車占據(jù)的停車場(chǎng)地面積 最小。對(duì)于每一個(gè)車位，為了便于該車位上的小轎車自由進(jìn)出，必須有一條邊是靠 通道的，設(shè)該矩形停車位的長(zhǎng)邊與通道的夾角為 班0），其中 便是車2 2 輛垂直從通道駛?cè)胲囄唬?0就

6、是車輛從通道平行駛?cè)胲囄?，即平時(shí)所說(shuō)的平 行泊車。為了留出通道空間和減少停車面積， 顯然，我們可以假設(shè)該通道中的所有車位都保持著和該車位相同的角度平行排列，如圖2所示圖2上圖中，小轎車是自東向西行駛順時(shí)針轉(zhuǎn)彎 二角度駛?cè)胲囄坏?。我們?lái)具體 研究一下小轎車駛?cè)胲囄坏那闆r，見(jiàn)圖 3,其中G為最小轉(zhuǎn)彎半徑，R為通道的 最小寬度。我們假定小轎車的最外端在半徑為G的圓周上行駛，且此時(shí)轎車的最內(nèi)端在半徑為C2的圓周上隨之移動(dòng)，然后以二角度進(jìn)入停車位，所以通道的最 小寬度 R =G -C2 COST。在保證車輛能夠自由進(jìn)出的前提下，本著要求通道寬度盡量小的原則，我們來(lái)看一下一排車位之間的各個(gè)數(shù)據(jù)，見(jiàn)圖 4。

7、圖3每輛車均以角度二停放，用W表示小轎車停車位寬度，L表示小轎車停車位 長(zhǎng)度（這里L(fēng)的最上方并沒(méi)有取到最上端是考慮到車身以外的小三角形區(qū)域可以 留給對(duì)面停車位使用），Lo表示停車位末端的距離，易見(jiàn)他們分別是停車角 二的 函數(shù)，且有sin 61L =CLsin- CW cos J21Lo = （ClCw cot J）COS V21LiCw COS）2現(xiàn)在按照?qǐng)D4所示，計(jì)算一下每輛車占據(jù)的停車場(chǎng)面積Sr .考慮最佳排列的極限情況，假設(shè)該排車位是無(wú)限長(zhǎng)的，可以忽略該排車位兩端停車位浪費(fèi)掉的1面積'Lo ，因?yàn)樗鼈儽黄骄矫總€(gè)車位上去的公攤面積很小，可以不計(jì)。從2車輛所占的停車位來(lái)看，它占據(jù)的

8、面積為 W ，另外，它所占的通道的面積為W *R?？紤]到通道對(duì)面（也就是圖 4的下部）也可以有類似的一排車位可以相 互借用此通道，所以可以對(duì)占用的通道面積減半，于是我們得到：=WL 1WCwCl CWCO- CWC2 CO（ 1）22sin 日2sin 日 2sin 日我們的目標(biāo)就是求出S二的最小值將G =5.5米, C2 =3.8米, CL =5米, CW =2.5米代人（1）式，可得6.8751.625cos. .1.625 - 6.875cos vSv -12.5-sin 9sin,，S*sinh，所以當(dāng)COST=13，即d ,.73 時(shí)，Sv達(dá)到最小， 且 min 日） = 19.18

9、6.87555平方米。需要說(shuō)明的是，當(dāng)=0時(shí)車位與車道平行，此時(shí)每輛車都得采用平行泊車的方式進(jìn)入車位，這是現(xiàn)實(shí)生活中馬路邊的停車位常見(jiàn)的情況，在一般的停車場(chǎng)中幾乎很少看到。平行泊車對(duì)駕駛員的技術(shù)要求較高，所以我們不考慮這樣的情況。 事實(shí)上，即便要計(jì)算在這種情況下每單位車輛所占據(jù)的停車場(chǎng)面積Sr也不困難，只不過(guò)對(duì)于平行泊車，所要求的每個(gè)車位的長(zhǎng)和寬不應(yīng)再是上面所說(shuō)的 Cl和Cw，特別是停車位的長(zhǎng)度Cl將變得更長(zhǎng)（否則，停泊的車輛將無(wú)法進(jìn)出），其 所要求的行車道的最小寬度也得足夠大，以便能讓泊車車輛通過(guò)，車位圖形需按 小轎車路線重新繪制，讀者可以自行計(jì)算并得到這些數(shù)據(jù)， 計(jì)算結(jié)果表明，平行 泊車是

10、每輛車所占的平均面積明顯地大于 19.18平方米。上述對(duì)車位的局部分析表明，當(dāng)停車位與通道夾角:. 76.33時(shí)，可以使每單 位車輛占據(jù)停車場(chǎng)的面積達(dá)到最小。二僅有一種車型的全局車位排列上面的局部分析告訴我們，如果保持一排車位方向一致，且與單向通道的夾 角為二:76.33，可使單位車輛占據(jù)的面積最小，此時(shí)寬度為R的單向通道分別提供給其兩邊的停車位使用。在通道兩邊都各安排一排小轎車車位時(shí)， 考慮到路 線的單行性質(zhì)，通道兩邊的停車位角度 二應(yīng)該相對(duì)，如圖5所示。/ / 圖5對(duì)每一排停車位，其一邊為通道，另一邊則可以是另一排停車位或者是停車場(chǎng)的 邊緣。所以停車排數(shù)Pc最多只能是通道數(shù)R的兩倍，即：F

11、C E2R（2）另一方面，如果按照一排停車位，一條通道，一排停車位這樣三排一組的形 式加以組合，依次排列，確實(shí)也可以達(dá)到 艮=2R。即（2）式中的等號(hào)是可以成 立的。此時(shí)，車位數(shù)可以達(dá)到停車位位置的最大值，排列情況同樣可以見(jiàn)圖5.圖5顯示，在每排車位數(shù)相當(dāng)大或者說(shuō)，在不考慮整個(gè)停車場(chǎng)四角浪費(fèi)的那 些面積時(shí)，我們可以使每單位車輛占用的停車場(chǎng)面積最小， 并且對(duì)于小轎車來(lái)說(shuō)， 此最小值在車位角度二:76.33時(shí)達(dá)到。我們?cè)賮?lái)計(jì)算一下停泊車輛均為大型客車時(shí)的最佳角度，將模型（1）修改為：S v - BwBl(3)Bcos呂氐 _ Bw B2 cos2sin2sin2sin -并且將相應(yīng)數(shù)據(jù)代人（3）得

12、到:S J -37.57.2cos 二sin 日'7.2 -15cossin2 日7 2o取訶吏S二"，即遡小扁巾48，求得當(dāng)一61.31，此時(shí)每單位大型客車占據(jù)的停車場(chǎng)面積最小，每輛車占據(jù)的面積為S v - 50.66 （平方米）綜上所述，對(duì)于只有一種車型的足夠大的停車場(chǎng)，按照現(xiàn)有的車輛尺寸大小計(jì)算，我們將采用圖5的排列方式設(shè)計(jì)停車位。對(duì)于小轎車，設(shè)計(jì)車位角度為 76.33，單位車輛占據(jù)的停車場(chǎng)面積為19.18平方米。對(duì)于大型客車，設(shè)計(jì)的車 位角度為61.31，單位車輛占據(jù)的停車場(chǎng)面積為 50.66平方米。三 兩種車型的停車場(chǎng)設(shè)計(jì)的理想情況對(duì)于兩種車型，即小轎車和大型客車同

13、時(shí)存在的情況，如果對(duì)于足夠大的停 車場(chǎng)地，我們可以根據(jù):：（： ） =9:1的比例要求，計(jì)算出所需的小轎車車位排 數(shù)和大型客車車位排數(shù)，以及每排的停車數(shù)目。根據(jù)第二部分的討論，我們可以 按一排停車位，一行通車道，一排停車位這樣三排為一組的方式組合出停車場(chǎng)的 結(jié)構(gòu)，設(shè)小轎車有Cg組，大型客車有Bg組，每組的一排長(zhǎng)度為 G米。根據(jù)第一部分，對(duì)于小轎車的停車位置寬度W占 英 2.573sin 日 sin 76.33（米），而對(duì)于大型客車，其停車位置的寬度 W二旦33.420 （米）。sin 日 sin 61.31所以，對(duì)于小轎車，每一組可以停放的車輛數(shù)目為2G，該停車場(chǎng)中總共可以2.537停放2 t

14、Cg，G輛小轎車，而對(duì)于大型客車，同樣可以得總車位數(shù)為于吐2。根2.5373.420Cg ： Bg = 6.77:1 O,2 *Cg *G 2 Bg *G據(jù)-r5k-rik=9:1的比例要求，我們可以得到綜上所述，對(duì)于足夠大的停車場(chǎng)地，我們可以用一排停車位，一條通車道， 一排停車位為一組的形式來(lái)平行設(shè)計(jì)車位，大體結(jié)構(gòu)可參見(jiàn)圖5.至于小轎車組和大型客車組的比例，可以按照近似于 6.77 : 1的形式，例如，取近似值7: 1, 13: 2，20: 3,27 : 4，34: 5 等比例建造。四具體停車場(chǎng)車位設(shè)計(jì)上面我們討論的都是理想情況，現(xiàn)實(shí)中很多停車場(chǎng)的占地面積并不一定很 大，而且從圖5的設(shè)計(jì)安排

15、來(lái)看，理想情況下的每一組車位都必須為車輛能夠自 由進(jìn)出而設(shè)置一個(gè)入口和一個(gè)出口， 這樣的設(shè)計(jì)既不經(jīng)濟(jì)也不安全。 特別是對(duì)于 某些收費(fèi)的停車場(chǎng)或者要重點(diǎn)考慮安全設(shè)施的停車場(chǎng)，將不得不在眾多的出入口設(shè)置收費(fèi)點(diǎn)或關(guān)卡而增加成本，這顯然不是最好的安排，那么對(duì)于一個(gè)具體形狀 和面積給定的停車場(chǎng)，我們將根據(jù)前面理想情況的討論做出改進(jìn)， 以得到更合理 的設(shè)計(jì)規(guī)劃。圖6為某公共場(chǎng)所附設(shè)的停車場(chǎng)，它是一個(gè)長(zhǎng) 90米，寬45米的矩形區(qū)域， 該矩形區(qū)域的四個(gè)角落有照明燈設(shè)置，其占據(jù)矩形角上的形狀為邊長(zhǎng)2.5米正方 形，見(jiàn)圖6的星號(hào)區(qū)域。區(qū)域南邊，西邊，北邊是圍墻，東邊是馬路，這是可以 作為停車場(chǎng)出入口的唯一的一條邊

16、。根據(jù)對(duì)當(dāng)?shù)貙?shí)際情況的調(diào)查，該停車場(chǎng)位設(shè) 計(jì)應(yīng)考慮5至6個(gè)大型客車車位，其余都作為小轎車車位設(shè)計(jì)?，F(xiàn)在我們就按照 上述要求來(lái)對(duì)這塊停車場(chǎng)進(jìn)行車位的具體安排。90米的停車場(chǎng)長(zhǎng)邊可以當(dāng)作足夠長(zhǎng)的邊來(lái)看待，我們將 90米為一排來(lái)設(shè)計(jì) 小轎車的車位，即每排車位與矩形的長(zhǎng)邊平行。 在理想情況下，根據(jù)第一部分討 論可知，最佳設(shè)計(jì)下的車位長(zhǎng)度為：1 * *L 二CLsinCW cost -5sin 76.33 1.25cos76.33 =5.154 （米）停車場(chǎng)通道寬度為：R 二 G-C2 cos）- 5.5-3.8cos76.33 =4.602 （米），所以，理想情況下的一組（即兩排車位中間加一條行通車道

17、）的寬度約為：2L R =14.91 （米）于是，45米寬可以考慮安置三組這樣的車位，如圖 6的I，U和川在小轎車的總體布局確定下來(lái)后，我們?cè)賮?lái)具體確定大型客車的車位?？紤] 到大型車的轉(zhuǎn)彎半徑比較大，借用專門為小轎車車位設(shè)計(jì)的通道是肯定不行的。 相對(duì)來(lái)說(shuō)，大型客車停車位只占總停車位的很小一部分， 在設(shè)計(jì)停車場(chǎng)的位置市， 為了節(jié)省面積以增加車位數(shù)，應(yīng)該將所有大客車位置放在一塊，同樣以矩形并排 的形式放置。大客車在停車場(chǎng)中的停放方式也可以采用直角停放的停車方式，并按照其特殊的位置設(shè)置特殊寬度的通道。另外考慮到其進(jìn)出上的困難情況，一般 可安置在停車場(chǎng)的出口部分，例如，將其安排在東邊靠馬路處（注：東邊

18、臨街， 沒(méi)有圍墻），且垂直東邊的馬路橫向占用小轎車的車位設(shè)置6個(gè)大型客車車位，大客車可直接由馬路開(kāi)進(jìn)停車位，見(jiàn)圖 6的右邊6個(gè)橫向車位。剩下的事情就是得解決出入口問(wèn)題了，由于只能在東邊設(shè)置出入口，并且I, n，川三組區(qū)域?yàn)橄嗷ツ芙柚鷮?duì)方區(qū)域的車位排列位置設(shè)置，通道形式方向應(yīng)該間隔，即I向東，u向西，川向東，或者I向西，u向東，川向西。為此，必須 在停車場(chǎng)的最西邊設(shè)置南北走向的一排通道，以便讓I, n,川區(qū)車位的車輛都能夠換向出入，具體可以參照?qǐng)D 6的設(shè)置。最后，考慮到既然在最西邊已經(jīng)設(shè)置了南北走向的一排通道，我們可以在該 通道的西邊設(shè)置一排車位，此時(shí)該車位設(shè)計(jì)的車輛出入可以占用南北通道，所以這

19、排車位的設(shè)計(jì)是最合理的，如圖 6中的區(qū)域W .根據(jù)如上的分析，我們對(duì)該停車場(chǎng)的車位大致設(shè)計(jì)成圖6.東邊的中部為入口，北部和南部為出口，這樣，即使在車輛較多的時(shí)候不至于難以駛出，通道方 向也如圖6所示。大型客車的車位已經(jīng)確定為6個(gè)，小轎車車位的個(gè)數(shù)我們將根 據(jù)I，n，川的車位角度二進(jìn)行變化。由于東西走向的通道和南北走向通道已經(jīng)是垂直拐彎，所以毫無(wú)疑問(wèn)，區(qū)域 W的車位將垂直排列，去掉兩邊照明燈設(shè)置后西邊寬度為40米，正好可以設(shè)置16個(gè)車位（2.5米寬和5米長(zhǎng)），垂直于西邊。我們可以計(jì)算出西邊通道的寬度 為R=G-C2cos 5.5 （米）。考慮到對(duì)稱性質(zhì)，我們?cè)O(shè)橫向的6排的小轎車位2個(gè)數(shù)分別是X!

20、，X2，X2，X，X，X!個(gè)，并建立如下的小轎車車位個(gè)數(shù)模 型:maxX =2X4X2 16'3氐蘭2L5 + X1W +L。+2.5 蘭 90 5+5.5 + X2W + 2L°+BlE90st6L 3R CwCOSd 乞45(4)Xi >0,i =1,2且且為整數(shù)ji0 <0 < J2將公式"sin：11， L =CLsin-Cwcosv ， L0 = (CLCWcotv)cosv ，22R = G C2 cost 和數(shù)據(jù) CL = 5, CW = 2.5, G = 5.5 , C2 = 3.8 , BL =12.5, BW - 3 分別代人（

21、4）式，化簡(jiǎn)后可得:maxX 二 2X4X2 1618 蘭 20si門日 + 5cos9X 33sin日-2sin 日 cos日-0.5cos2 日X2 蘭26.8sinB-4sinBcosT-cos2日(5)s.t300sin 日-14cos日 < 285Xi r>0,i =1,2且為整數(shù)0 <6 < 2對(duì)于模型（5），如直接利用計(jì)算機(jī)編程求解會(huì)遇到一些麻煩，先是涉及日的 變化，然后又涉及人和X2。為此，我們先用微積分知識(shí)來(lái)討論一下。對(duì)于第一個(gè)限制條件18乞20si nr 5co，設(shè)- = 20si n，5cos，易求得fi J - 20cos v - 5sin -當(dāng)

22、tan。*時(shí),函數(shù)有唯一的駐點(diǎn)，所以 觸日）在.|0,內(nèi)的最大值為1 4f ,（1 ）仕）max § £ （0 ）, h . arctan-,.一A18114，14 丿 J于是的取值范圍應(yīng)限制在區(qū)間內(nèi)，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)"J,-時(shí),20sin 二 5cos 二，33sin- 2sin 二 cos 71 - 0.5cos2 -226.8sin v -4sin vcosv - cos v , 300sin j -14cos v都為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，這是求上面模型解的關(guān)鍵所在。只要求出18 _20sin j 5cos v 和 300sin v -14cos v : 285的解集的交集，然后選取該交集中最大的