數(shù)學(xué)建?！督德鋫愕倪x購(gòu)問題》

1、降落傘的選購(gòu)模型摘要 本模型研究的是降落傘的選購(gòu)方案問題，目的是在滿足空投要求的條件下， 使費(fèi)用最少。 為了方便對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析， 我們把降落傘和其負(fù)載的物資看 做一個(gè)整體， 忽略了傘和繩子的質(zhì)量， 并假設(shè)降落傘只受到豎直方向上空氣阻力 和重力的作用。通過對(duì)降落傘在空中的受力情況的分析建立起了高度與時(shí)間的方 程，然后以高度與時(shí)間的方程作為擬合曲線與題中給出的時(shí)間與高度的數(shù)據(jù)進(jìn)行 擬合，得出阻力系數(shù) k 的值。我們建立了速度與質(zhì)量的方程， 并證明其為嚴(yán)格增 函數(shù)（證明過程見建模與求解） 。由于題中已限制降落傘的最大落地速度為20m/s，所以當(dāng)速度為 20m/s 時(shí)，傘的承載量最大。建立高度與

2、時(shí)間，速度與時(shí)間的方程 組，代入最大速度20m/s,高度500m傘的半徑（題中已給出可能選購(gòu)的每種傘 的半徑），分別計(jì)算出每種傘的最大承載量。最后運(yùn)用 LINGO 軟件進(jìn)行線性規(guī) 劃求解得：x仁0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即購(gòu)買半徑為3m的降落傘6個(gè)時(shí)總費(fèi)用 最少為 4932 元。關(guān)鍵字：線性規(guī)劃、空氣阻力系數(shù)、擬合一、問題的重述為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000kg，需選購(gòu)一些降落傘。已知空投高度為 500m要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過 20m/s。降落傘面為半徑r的半球面, 用每根長(zhǎng)L,共16根繩索連接的載重m的物體位于球心正下方球面處，每個(gè)降 落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面費(fèi)

3、用 G由傘的半徑r決定，見表1;繩索費(fèi)用 C2由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)4元/米決定；固定費(fèi)用C3為200元。r（ m22.533.54費(fèi)用（元）651703506601000降落傘在降落過程中受到重力作用外還受到的空氣阻力，可以認(rèn)為與降落速 度和傘的受力面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m載重m=300kg 的降落傘從500m高度作降落試驗(yàn)，測(cè)得各時(shí)刻的高度，見表2。時(shí)刻t（ s）036912151821 24 2730高度h（ m500470425372317264215160108551試根據(jù)以上條件確定降落傘的選購(gòu)方案， 即共需多少個(gè)，每個(gè)傘的半徑多大 （在表1中選擇），在滿足空

4、投要求的條件下，使費(fèi)用最低。二、模型的假設(shè)1、假設(shè)空投物資的瞬時(shí)傘已打開。2、空投物資的總數(shù)2000kg可以任意分割。3、空氣的阻力系數(shù)與除空氣外的其它因素?zé)o關(guān)。4、降落傘和繩的質(zhì)量可以忽略不計(jì)。5、假設(shè)降落傘只受到豎直方向上的空氣阻力作用。三、符號(hào)說明1、m降落傘的負(fù)載重量2、g重力加速度3、a降落傘的加速度4、k空氣的阻力系數(shù)5、S降落傘的傘面面積& v降落傘的速度7、H降落傘的位移8、h降落傘離地高度9、x1,x2,x3,x4,x5 分別為每種傘的個(gè)數(shù)四、問題的分析由題意可知每個(gè)傘的價(jià)格由三部分組成：三面費(fèi)用 C1、繩索費(fèi)用C2、固定 費(fèi)用C3。傘面費(fèi)用由傘的半徑r決定；繩索費(fèi)用

5、C2由繩索的長(zhǎng)度及單價(jià)決定，由圖一可知繩索的長(zhǎng)度又由降落傘的半徑?jīng)Q定即 L =2r ；固定費(fèi)用為定值200。 因?yàn)轭}中已給出每種傘面的半徑，所以每種傘的價(jià)格為定值。要想確定選購(gòu)方案， 即共需半徑（在題中給出的半徑中選擇） 為多大的傘的數(shù)量，在滿足空投物資要 求的條件下使總費(fèi)用最少。因此，我們需要確定每種傘的最大承載量。然后進(jìn)行 線性規(guī)劃，確定總費(fèi)用和每種傘的個(gè)數(shù)。要確定最大載重量，我們需對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析（如圖二）。降落傘在降落過程中除受到豎直向下的重力作用外還受到豎直向上的空氣阻力的作用，而由題可知空氣阻力又與阻力系數(shù)、運(yùn)動(dòng)速度、傘的受力面積有關(guān)。運(yùn)動(dòng)速度和受力 面積是已知的，所以要想確定

6、每種傘的最大承載量，就必須先要確定空氣的阻力 系數(shù)。圖一圖二對(duì)圖二的分析可知降落傘的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是做加速度趨近于0的加速運(yùn)動(dòng)。因此，我們可以建立一個(gè)位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，在根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)擬合出 阻力系數(shù)k的值。然后再建立一個(gè)速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式， 兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立求 解出最大載重量（其中高度和速度由題目已經(jīng)給出）。最后用LINGO軟件進(jìn)行 線性規(guī)劃算出問題要的結(jié)果。五、建模與求解（1）首先確定阻力系數(shù)K為了方便對(duì)物資進(jìn)行受力分析，我們把降落傘和物資看作一個(gè)整體如圖二。由假設(shè)5可知物體A只受到豎直向上的空氣阻力和豎直向下的重力作用。又由題可知空氣阻力與降落速度v和傘的受力面積S的乘積成正比。則

7、物體 A在豎直 方向上受到的合外力為：F合二 mg - kSv由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：略=ma得F 合mg-kSva 二 mm由物體位移H和時(shí)間的二次微分等于加速度建立方程得2d H mg - kSvdt2m用MATLAB軍微分方程得：（程序見附錄【1】）m2g 補(bǔ)H啟emmgtm2gkSh(t) =500k2S2dkSte mmgt m2gkS k2S2F 合mg-kSvF 合mg-kSv題目已經(jīng)給t-h數(shù)據(jù)為:時(shí)刻t（ s）匚036912151821242730高度h（ m500470425372317264215160108551對(duì)給定的數(shù)據(jù)以h（t）為擬合函數(shù)進(jìn)行擬合，r=3m,m=300kg,

8、g=9.8, S=2：r2,得出k=2.9377 。（程序見附錄【2】）（2）求解最大承載量用速度對(duì)時(shí)間的微分等于加速度，且 V0=O建立方程組得:dvmg -kSvmv° = °用MATLAB解得（程序見附錄【3】）-kStgm gm e m v（t）：kS kS由前面的H（t）和v（t）函數(shù)建立方程組得： kst v(t)=四一陰疔 ks ks丄2-kst2皿 ms em _ m_g H(t丿2 2 ei 2 2ks k sk sS =2r2H =500 hk=2.9458,g=9.8,r=2 2.5 3 3.5 4因?yàn)榻德鋫阍谙侣溥^程中其質(zhì)量是不變的，所以我們把V(t

9、)關(guān)系式中t看做一個(gè) 定值，則關(guān)于m的方程為dstv(m)gmkSgmekS從上式我們可以知道v(m)是關(guān)于m的單調(diào)遞增函數(shù)(證明見附件【7】)，并且如果存在平衡狀態(tài)則必須滿足mg = kvs，那么 mg 而又通過對(duì)ks_kstv(t)=哩-e m 分析，只有在tr :時(shí)，才有v(t)r mg，這與實(shí)際矛盾，ks ksks故降落傘是一直做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，不存在平衡狀態(tài)。因此，求最大載重 量取傘在下降到地面的瞬間達(dá)到最大速度 v(t) =20m/s,此時(shí)H (t) =500，由方程組調(diào)用MATLA分別解得半徑為r的降落傘在滿足空投條件下的最大載重量 M (r)如下表：(程序見附錄【5】)r

10、( m J22.533.54最大承載(kg)150.6787235.4355339.0272461.4536602.7150取整(kg)150235339461602(3)線性規(guī)劃求解數(shù)量和費(fèi)用由分析可知每種傘的單價(jià):由題可知G為:r( m22.533.54費(fèi)用(元)651703506601000C2為:C2 =16 、2r 4C3為固定值即：C3 =200由以上數(shù)據(jù)求得每種傘的單價(jià)見下表:r( m22.533.54單價(jià)C二 446596.3821.51176.81562取整44659682211771562我們?cè)O(shè)每種傘分別取X1,X 2,X 3,X 4,X 5個(gè)，則其目標(biāo)函數(shù)為:Z=446x

11、i+596x2+822x3+1177xi+1562x5對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化求解z的最小值，就是所需的最小費(fèi)用。由分析可知其限制條件如 下：s.t. 150X i+235x2+339xb+461x4+602x5>=2000;（X 1，X2，X3, X4，X5） N ;用LING（求解得（程序見附件【6】）X1=0,X2=0,X3=6,X4=0,X5=0。最少總費(fèi)用為4932兀。六、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：1、本模型的求解過程大量的運(yùn)用了電腦軟件，使得計(jì)算更加精確。 缺點(diǎn)：1、本模型未考慮降落傘打開的時(shí)間，將其假設(shè)成在下降時(shí)傘就已經(jīng)打開。2、由于在實(shí)際生活中降落傘還受到風(fēng)向的影響，本模型假設(shè)的是理想的

12、 狀態(tài)下（無風(fēng)改進(jìn)：由于本模型假設(shè)的是在物資拋落的瞬時(shí)傘已打開， 而在實(shí)際情況中物資拋 落后應(yīng)有一段自由落體運(yùn)動(dòng)。在模型的改進(jìn)時(shí)應(yīng)考慮到這一點(diǎn)，以便讓模型更切 合實(shí)際。七、參考文獻(xiàn)1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)蕭樹鐵主編高等教育出版社1999 7 1附錄【1】求解位移的程序H=dsolve('m*D2H+k*S*DH=m*g','H(0)=0,DH(0)=0','t')解得：g/kA2/SA2*mA2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/kA2/SA2*mA2*g附錄【2】擬合k程序建立一個(gè)名為 myfun的m文件fun cti onF=myfu

13、n( x,xdata)s=2*pi*3A2;m=300;g=9.8;F=500-mA2*g/(x(1)A2*sA2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+mA2*g/(x(1)A2*sA2);在 matlab comma nd wi ndow 中輸入下列命令：xdata=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30;ydata=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 ;x0=1;x=lsqcurvefit(myfu n,x0,xdata,ydata)附錄【3】求解速度程序v=dsolve('

14、;m*Dv+k*S*v-m*g=0','v(0)=0','t')解得：v(t)二舸-如ekS kS附錄【4】在v-t,m函數(shù)中對(duì)m求二階導(dǎo)數(shù)syms m t g S kf=g*m/(k*S)-g*m/(k*S)*exp(-k*S*t/m);diff(f, ' m 2)求得：-g/mA3*tA2*k*s*exp(-k*s/m*t)附錄【5】求最大載重量在matlab中建立一個(gè)名為 myfun的m文件，如下: fun cti on F=myfun(x)r=2.5;g=9.8;k=2.9458;s=2*pi*rA2;F=x(1F2*g/(kA2*sA2

15、)*exp(-k*s*x(2)/x(1)+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1F2*g/ (kA2*sA2)-500;g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1)-20;在 matlab 中comma nd wi ndow中輸入以下命令：x0 = 1; 1;%初始點(diǎn)optio ns=optimset('Display','iter'); %顯示輸出信息x = fsolve(myfu n,x0,optio ns)在m文件中更改r的值，然后在命令窗口重復(fù)輸入以上命令就可分別求出不同半 徑的降落傘的最大載重量。分別求解

16、可得最大載重量如下表：r( m22.533.54m150.6787235.4355339.0272461.4536602.7150附錄【6】?jī)?yōu)化求解min=446*x1+596*x2+822*x3+1177*x4+1562*x5;150*x1+235*x2+339*x3+461*x4+602*x5>=2000; x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;gi n(x1);gi n(x2);gi n(x3);g in (x4);gi n(x5);求解得:Global optimal soluti on found.Objective value:4932.000Exte nded solver steps:0Total solver iterati ons:0VariableValueReduced CostX10.000000446.0000X20.000000596.0000X36.000000822.0000X40.0000001177.000X50.0000001562.000附件【7】證明速度v(m)與質(zhì)量m成正比關(guān)系由高數(shù)定理可知：函數(shù)的一階