蛛網模型(差分方程)

1、1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型問問 題題供大于求供大于求現現象象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降價格下降減少產量減少產量增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不應求供不應求描述商品數量與價格的變化規(guī)律描述商品數量與價格的變化規(guī)律數量與價格在振蕩數量與價格在振蕩蛛蛛 網網 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關系消費者的需求關系)(kkxfy 生產者的供應關系生產者的供應

2、關系減函數減函數增函數增函數供應函數供應函數需求函數需求函數f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設設x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點|gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk |gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網網

3、模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型|gfKK|gfKK方程模型與蛛網模型的一致方程模型與蛛網模型的一致)(00 xxyykk 商品數量減少商品數量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的

4、敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對價格的敏感程度 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經濟穩(wěn)定經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經濟實力控制數量不變靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0 x0gf結果解釋結果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直供應曲線變?yōu)樨Q

5、直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產者根據當前時段和前一時生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定下一時段的產量。)(00 xxyykk生產者管理水平提高生產者管理水平提高設供應函數為設供應函數為需求函數不變需求函數不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數差分方程二階線性常系數差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解02211xccxkkk(c1, c2由初始條件確

6、定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣2 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設與建模假設與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個年齡組，記個年齡組，記i=1,2, , n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記時間離散為時

7、段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個體數量為對象以雌性個體數量為對象 第第i 年齡組年齡組1雌性個體在雌性個體在1時段內的時段內的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時段內的死亡率為時段內的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設假設與與建模建模xi(k)時段時段k第第i 年齡組的種群數量年齡組的種群數量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預測任意時段種群預測任意時段種群按年齡組的分布按年齡組的分布00000012112

8、1nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設至少設至少1個個bi0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數學知識穩(wěn)定狀態(tài)分析的數學知識nkk, 3 , 2,1 L矩陣存在矩陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)決定的常數決定的常數 且且解解

9、釋釋L對角化對角化11),(PdiagPLknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析k充分大充分大種群按年齡組的分布種群按年齡組的分布*1)(limcxkxkk 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關。與初始分布無關。 各年齡組種群數量按同一各年齡組種群數量按同一倍數增減，倍數增減， 稱固有增長率稱固有增長率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkxii)() 1(kLxkx與基本模型與基本模型比較比較3） =1時時*)() 1(cxkxkx 各年齡組各年齡組種群種群數量不變數量不變 1個個體在整個存活個個體在整個存活期內的繁殖數量為期內的繁殖數量為11121121nnsssbsbb穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk