講分布函數(shù)及概率密度

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六講第六講主講教師：張冬梅主講教師：張冬梅 博士博士 副教授副教授浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院l2.3 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布l隨機(jī)變量的分布函數(shù)；隨機(jī)變量的分布函數(shù)；l概率密度；概率密度；l幾種常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布幾種常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布2.3.1 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義定義1: 設(shè)設(shè) X( ) 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù) F(x) = PXx, - - x 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)。性質(zhì)：性質(zhì)：(1).(1). a b, ,總有總有F( (a)F( (b)()(單調(diào)非減性單調(diào)

2、非減性) )；(2).(2).F( (x) )是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)；是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)；(3).(3). x R，總有，總有00F( (x)1()1(有界性有界性) )，且，且。， 1)(lim 0)(limxFxFxx. )()(lim ),()(limFxFFxFxx為為常記證明：證明：僅證僅證 (1)。因因 aXb = Xb - -Xa， PaXb = PXb - - PXa = F(b) - - F(a) .又又，因，因 PaXb0， 故故 F(a)F(b) .注意：注意：一個(gè)重要公式一個(gè)重要公式: : P a0，則稱，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為和和的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。II. 正態(tài)分布正

3、態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N特點(diǎn)特點(diǎn)“兩頭低，中間高，左右對(duì)稱兩頭低，中間高，左右對(duì)稱”。關(guān)于關(guān)于X= =對(duì)稱的對(duì)稱的鐘形曲線鐘形曲線, ,并在并在 x=x=處處達(dá)到最大值達(dá)到最大值. 21)(f 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 決定了圖形的中心位置決定了圖形的中心位置, 決定了圖形決定了圖形峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。這說明：曲線這說明：曲線 f(x) 向左右伸展時(shí)，越來越貼向左右伸展時(shí)，越來越貼近近 x 軸。即軸。即 f (x) 以以 x 軸為漸近線。軸為漸近線。 xexfx,)()(22221 當(dāng)當(dāng) x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0。求導(dǎo)的方法可以證明：求導(dǎo)的方法可以

4、證明：為為f (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x = . ,21)(222)(xdtexFxtIII. 正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2NIV. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. d21)( 21)(2/2/22texxexxtx， 稱稱 N(0, 1) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和分布函數(shù)常用 來來表示。表示。(附錄附錄)( )(xx和和依據(jù)？依據(jù)？ 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)定理根

5、據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。算問題。. ) 1 , 0() ( 2NxYNx，則則，設(shè)設(shè)定理定理1：附錄（附錄（P289P289）附有標(biāo)準(zhǔn)正）附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以解決解決一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布的概率的概率計(jì)算問題。計(jì)算問題。V. 正態(tài)分布表正態(tài)分布表. )(1)( 0 xxx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng). d21)(2/2texxt表中給出的是表中給出的是 x 0時(shí)，時(shí)，(x)的取值的取值;xx若若 XN(0, 1),bxaPbXaP； )()(abb

6、XaPbXaP. ab，若若) ( 2NX服從服從N(0,1)解解: : 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為 h ，按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.01，或或 P(X h) 0.99，求滿足上式的最小的求滿足上式的最小的 h。例例1 1：公共汽車車門的高度是按成年男性與車公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的。以下來設(shè)計(jì)的。設(shè)某地設(shè)某地區(qū)成年男性身高區(qū)成年男性身高 (單位單位: cm) XN(170, 7.692),問車門高度應(yīng)如何確定問車門高度應(yīng)如何確定? ?因?yàn)橐驗(yàn)閄N( (170,7.,7.692),),， ) 1 0(69. 7170NX ，故

7、故99. 0 69. 7170 69. 717069. 7170X hhPhXP求滿足求滿足 P(X h) 0.99 的最小的最小 h。，）得得查表，查表，99. 0 9901. 02.33( .88. 1 33. 269. 7170 hh即即，所所以以，故，當(dāng)汽車門高度為故，當(dāng)汽車門高度為188厘米時(shí)，可使男子與厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過車門碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01。若若隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的概率密度為：的概率密度為：則稱則稱 X 服從區(qū)間服從區(qū)間 a, b 上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作：X Ua, b. , 0, ,1)(其其他他bxaabxf2. 均勻均勻分布分布 (

8、Uniform)(注注: 也記作也記作 X U(a, b) )。. d )( abcdxxfdXcPdc若若X Ua, b，則對(duì)于滿足，則對(duì)于滿足 acdb 的的c 和和 d，總有，總有 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命服從指數(shù)分布。元件的壽命服從指數(shù)分布。 定義：定義：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 具有概率具有概率密度密度3. 指數(shù)分布指數(shù)分布0)( . 0 , 0 , 0 , )(xxexfx則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記成的指數(shù)分布，記成 X E()。例例2：設(shè)某電子管的使用壽命設(shè)某電子管的使用壽命X(單位：小時(shí)單位：小時(shí))服

9、從參數(shù)服從參數(shù)=0.0002的指數(shù)分布，求電子管使用的指數(shù)分布，求電子管使用壽命超過壽命超過3000小時(shí)的概率。小時(shí)的概率。. 5488.0 0002.0 )(3000 6 .0 3000 0002.0 3000 edxedxxfXPx解：解：2.3.4 連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)的分布函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。由上式，得：由上式，得：在在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)，有的連續(xù)點(diǎn)，有. )()(xfdxxdF回憶：若回憶：若X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量，f ( (x) )是是X 的的密密度函數(shù)，度函數(shù)，F(xiàn)(F(x) )是分布函數(shù)，則對(duì)任意是分布函數(shù)，則對(duì)任意xR，總，總有有. )()( xdttfxF求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例例4： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù). 0, 11,12)( 2其他xxxf解：解：求求 F(x) . d )()(xttfxXPxF對(duì)對(duì) x 1， 有有 F (x) = 1.，有，有對(duì)對(duì) 11 x. 1, 1, 11,21arcsin11, 1, 0)(2xxxxxxxF即即思考：均勻分布的分布函數(shù)是什么？l隨機(jī)變量的分布函數(shù)；隨機(jī)變量