中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：折疊問題

1、.2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題）專題31：折疊問題一、選擇題1. （2012廣東梅州3分）如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合，若A=75°，則1+2=【 】A150°B210°C105°D75°【答案】A?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥緼DE是ABC翻折變換而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75°。AED+ADE=AED+ADE=180°75°=105°，1+2=

2、360°2×105°=150°。故選A。2. （2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A、D處，且AD經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)DFCD時(shí)，的值為【 】A. B. C. D. 【答案】A?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥垦娱L(zhǎng)DC與AD，交于點(diǎn)M，在菱形紙片ABCD中，A=60°，DCB=A=60°，ABCD。D=180°-A=120°。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得ADF=D=120°，F(xiàn)D

3、M=180°-ADF=60°。DFCD，DFM=90°，M=90°-FDM=30°。BCM=180°-BCD=120°，CBM=180°-BCM-M=30°。CBM=M。BC=CM。設(shè)CF=x，DF=DF=y， 則BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在RtDFM中，tanM=tan30°=，。故選A。3. （2012江蘇連云港3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊

4、，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是【 】A1 B1 C2.5 D【答案】B?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥繉⑷鐖D所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處，ABBE，AEBEAB45°，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，AEEF，EAFEFA22.5°。FAB67.5°。設(shè)ABx，則AEEFx，an67.5°tanFABt。故選B。4. （2012廣東河源3分）如圖，在折紙活

5、動(dòng)中，小明制作了一張ABC紙片，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合若A75º，則12【 】A150º B210º C105º D75º【答案】A?！究键c(diǎn)】折疊的性質(zhì)，平角的定義，多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，AA75º。 根據(jù)平角的定義和多邊形內(nèi)角和定理，得121800ADA1800AEA3600（ADAAEA）AA1500。故選A。5. （2012福建南平4分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都將在點(diǎn)G處，

6、已知BE=1，則EF的長(zhǎng)為【 】A B C D3 【答案】B?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥空叫渭埰珹BCD的邊長(zhǎng)為3，C=90°，BC=CD=3。根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EG=BE=1，GF=DF。設(shè)DF=x，則EF=EGGF=1x，F(xiàn)C=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。DF= ，EF=1。故選B。6. （2012湖北武漢3分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處若AE5，BF3，則CD的長(zhǎng)是【 】A

7、7 B8 C9 D10【答案】C?！究键c(diǎn)】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，EF=AE5；根據(jù)矩形的性質(zhì)，B=900。 在RtBEF中，B=900，EF5，BF3，根據(jù)勾股定理，得。CD=AB=AEBE=54=9。故選C。7. （2012湖北黃石3分）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為【 】A.B.C.D. 【答案】B。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折

8、，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，DF=DF，在RtADF中，AF2=AD2DF2，即x2=62（8x）2，解得：x=。故選B。8. （2012湖北荊門3分）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為【 】A 8 B 4C 8 D 6【答案】C?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的對(duì)稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，即BD=2，A=90°，AB=AD，ABD=45°，AB=BDcosABD=BDcos45°=2。AB=BC=CD=AD=2。由折疊的性質(zhì)：AM=AM，DN=DN，AD=

9、AD，圖中陰影部分的周長(zhǎng)為AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故選C。9. （2012四川內(nèi)江3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1、D1處，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），矩形和折疊的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)矩形和折疊的性質(zhì)，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，則陰影部分的周長(zhǎng)即為矩形的周長(zhǎng)，為2（10+5）=30。故選D。10

10、. （2012四川資陽(yáng)3分）如圖，在ABC中，C90°，將ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是【 】A BCD【答案】C?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，【分析】連接CD，交MN于E，將ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，MNCD，且CE=DE。CD=2CE。MNAB，CDAB。CMNCAB。在CMN中，C=90°，MC=6，NC= ，。故選C。11. （2012貴州黔東南4分）如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知

11、AB=6，ABF的面積是24，則FC等于【 】A1 B2 C3 D4【答案】B?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥坑伤倪呅蜛BCD是矩形與AB=6，ABF的面積是24，易求得BF的長(zhǎng)，然后由勾股定理，求得AF的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求得AD，BC的長(zhǎng)，從而求得答案：四邊形ABCD是矩形，B=90°，AD=BC。AB=6，SABF=ABBF=×6×BF=24。BF=8。由折疊的性質(zhì)：AD=AF=10，BC=AD=10。FC=BCBF=108=2。故選B。12. （2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將A

12、BE沿BE折疊后得到GBE，延長(zhǎng)BG交CD于F點(diǎn)，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長(zhǎng)為【 】ABCD【答案】B?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】過點(diǎn)E作EMBC于M，交BF于N。四邊形ABCD是矩形，A=ABC=90°，AD=BC，EMB=90°，四邊形ABME是矩形。AE=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，EGN=A=90°，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中點(diǎn)，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=

13、CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=5。故選B。13. （2012山東泰安3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，若AB=2，BC=3，則FCB與BDG的面積之比為【 】A9：4B3：2C4：3D16：9【答案】D?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥吭O(shè)BF=x，則由BC=3得：CF=3x，由折疊對(duì)稱的性質(zhì)得：BF=x。點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，AB=DC=2，BC=1。在RtBCF中，BF2=BC2+CF2，即，解得：，即可得CF=。DBG=DGB=90°，DBG+

14、CBF=90°，DGB=CBF。RtDBGRtCFB。根據(jù)面積比等于相似比的平方可得： 。故選D。14. （2012山東濰坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=【 】 A B C . D2【答案】B?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)?！痉治觥烤匦蜛BCD中，AF由AB折疊而得，ABEF是正方形。又AB=1，AF= AB=EF=1。設(shè)AD=x，則FD=x1。四邊形EFDC與矩形ABCD相似，即。解得，（負(fù)值舍去）。經(jīng)檢驗(yàn)

15、是原方程的解。故選B。15. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，ADAB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN若CDN的面積與CMN的面積比為14，則 的值為【 】A2B4 CD【答案】D。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點(diǎn)N作NGBC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由CDN的面積與CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長(zhǎng)，從而求得答案： 過點(diǎn)N作NGBC

16、于G，四邊形ABCD是矩形，四邊形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四邊形AMCN是平行四邊形。AM=CM，四邊形AMCN是菱形。CDN的面積與CMN的面積比為1：4，DN：CM=1：4。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在RtCGN中，在RtMNG中，。故選D。16. （2012河北省3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，A=70°，將平行四邊形折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上

17、），折痕為MN，則AMF等于【 】A70° B40° C30° D20°【答案】B。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的定義。【分析】四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD。根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：MNAE，F(xiàn)MN=DMN，ABCDMN。A=70°，F(xiàn)MN=DMN=A=70°。AMF=180°DMNFMN=180°70°70°=40°。故選B。17. （2012青海西寧3分）折紙是一種傳統(tǒng)的手工藝術(shù)，也是每一個(gè)人從小就經(jīng)歷的事，它是一種培養(yǎng)手指靈活性、協(xié)調(diào)能力

18、的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段在折紙中，蘊(yùn)涵許多數(shù)學(xué)知識(shí)，我們還可以通過折紙驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想把一張直角三角形紙片按照?qǐng)D的過程折疊后展開，請(qǐng)選擇所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論【 】A角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等B在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30º，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半C直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半D如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形【答案】C。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）?！痉治觥咳鐖D，CDE由ADE翻折而成，AD=CD。如圖，DCF由DBF翻折而成，BD=CD。AD=BD=CD，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。CD=AB，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

19、的一半。故選C。二、填空題1. （2012上海市4分）如圖，在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，點(diǎn)D在AC上，將ADB沿直線BD翻折后，將點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，如果ADED，那么線段DE的長(zhǎng)為 【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥吭赗tABC中，C=90°，A=30°，BC=1，。將ADB沿直線BD翻折后，將點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，ADB=EDB，DE=AD。ADED，CDE=ADE=90°，EDB=ADB=。CDB=EDBCDE=135

20、°90°=45°。C=90°，CBD=CDB=45°。CD=BC=1。DE=AD=ACCD=。2. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰ABC中，ABAC，BAC50°BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則CEF的度數(shù)是 【答案】50°?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質(zhì)得出OBC40°，以及OBCOCB40°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EOEC，CEFFEO，進(jìn)而

21、求出即可：連接BO，ABAC，AO是BAC的平分線，AO是BC的中垂線。BOCO。BAC50°，BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，OABOAC25°。等腰ABC中， ABAC，BAC50°，ABCACB65°。OBC65°25°40°。OBCOCB40°。點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（18002×400）÷250°。3. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B處，又將

22、CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB與AD的交點(diǎn)C處則BC：AB的值為 ?！敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】連接CC，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B處，又將CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB與AD的交點(diǎn)C處,EC=EC，ECC=ECC，DCC=ECC，ECC=DCC.CC是EC'D的平分線。CBC=D=90°，CC=CC，CBCCDC（AAS）。CB=CD。又AB=AB，B是對(duì)角線AC中點(diǎn)，即AC=2AB。ACB=30°。tanAC

23、B=tan30°=。BC：AB=。4. （2012浙江臺(tái)州5分）如圖，將正方形ABCD沿BE對(duì)折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的A處，連接AC，則BAC= 度【答案】67.5?！究键c(diǎn)】折疊問題，折疊的對(duì)稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角定義?！痉治觥坑烧郫B的對(duì)稱和正方形的性質(zhì)，知ABEABE，BEA=67.50，ADE是等腰直角三角形。 設(shè)AE=AE=AD =x，則ED=。設(shè)CD=y，則BD=。 。 又EDA=ADC=450，EDAADC。DAC=DEA=67.50450=112.50。 BAC=1800112.50=

24、67.50。5. （2012江蘇宿遷3分）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C，D處，CE交AF于點(diǎn)G.若CEF=70°，則GFD= °.【答案】40。【考點(diǎn)】折疊問題矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)折疊的性質(zhì)，得DFE=DFE。ABCD是矩形，ADBC。GFE=CEF=70°，DFE=1800CEF=110°。GFD=DFEGFE=110°70°=40°。6. （2012江蘇鹽城3分）如圖,在ABC中，D,、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn), B=50°º.現(xiàn)將ADE沿DE折疊

25、，點(diǎn)A落在三角形所在平面內(nèi)的點(diǎn)為A1,則BDA1的度數(shù)為 °.【答案】80?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行的性質(zhì)?！痉治觥緿、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，DEBC（三角形中位線定理）。ADE=B=50°（兩直線平行，同位角相等）。又ADE=A1DE（折疊對(duì)稱的性質(zhì)），A1DA=2B。BDA1=180°2B=80°。7. （2012江蘇揚(yáng)州3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果，那么tanDCF的值是【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)

26、定義?！痉治觥克倪呅蜛BCD是矩形，ABCD，D90°，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，CFBC，。設(shè)CD2x，CF3x，。tanDCF。8. （2012湖北荊州3分）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為 【答案】8?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的對(duì)稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，即BD=2，A=90°，AB=AD，ABD=45°，AB=BDcosABD=BDcos45°=2。AB=BC=CD=AD=2。由折疊的性質(zhì)：AM=AM

27、，DN=DN，AD=AD，圖中陰影部分的周長(zhǎng)為AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。9. （2012湖南岳陽(yáng)3分）如圖，在RtABC中，B=90°，沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD= 【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題）。1052629【分析】如圖，點(diǎn)E是沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接ED，AED=B=90°，AE=AB=3，在RtABC中，B=90°，AB=3，BC=4，。EC=ACAE=53=2。設(shè)BD=ED=x，則CD=BCBD=4x，在RtCDE中

28、，CD2=EC2+ED2，即：（4x）2=x2+4，解得：x=。BD=。10. （2012四川達(dá)州3分）將矩形紙片ABCD，按如圖所示的方式折疊，點(diǎn)A、點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，則AB的長(zhǎng)為 .【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，菱形和矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】設(shè)BD與EF交于點(diǎn)O。四邊形BEDF是菱形，OB=OD=BD。四邊形ABCD是矩形，C=90°。 設(shè)CD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：OB=OD= CD=x，即BD=2x，在RtBCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。AB=CD=。11. （2012貴

29、州黔西南3分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF，若AB3cm，BC5cm，則重疊部分DEF的面積為 cm 2?！敬鸢浮?。【考點(diǎn)】折疊問題，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)ED=x，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，得AE=AE=5x，AD=AB=3。根據(jù)勾股定理，得，即，解得。 （cm 2）。12. （2012河南省5分）如圖，在RtABC中，C=900，B=300，BC=3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)D作DEBC交AB邊于點(diǎn)E，將B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處，當(dāng)AEF為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為 【答案】1或2。

30、13. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，將ABC 紙片的一角沿DE向下翻折，使點(diǎn)A 落在BC 邊上的A 點(diǎn)處，且DEBC ，下列結(jié)論：AEDC； BC= 2DE ；。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè)?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】折疊問題，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】DEBC，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得AEDC。正確。根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，A D=AD，A E=AE。DEBC，根據(jù)兩直線分線段成比例定理，得。正確。連接A A ，根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，A，A 關(guān)于DE對(duì)稱。A A DE。DEBC，A A BC。

31、A D=AD，DA A D A A。DB A D A B。BD= A D。BD=AD。DE是ABC的中位線。BC= 2DE。正確。DEBC，ABCADE。由BC= 2DE，。根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，ADEADE。，即。正確。綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè)。14. （2012黑龍江綏化3分）長(zhǎng)為20，寬為a的矩形紙片（10a20），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止當(dāng)n=3時(shí)，a的值為 .【答案】12或15?！究键c(diǎn)】

32、翻折變換（折疊問題），正方形和矩形的性質(zhì)，剪紙問題，分類歸納（圖形的變化類）。【分析】根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)都等于原矩形的寬所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。當(dāng)10a20時(shí)，矩形的長(zhǎng)為20，寬為a，所以，第一次操作時(shí)，所得正方形的邊長(zhǎng)為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a。第二次操作時(shí)，由20aa可知所得正方形的邊長(zhǎng)為20a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a（20a）=2a20。（20a）（2a20）=403a，20a與2a20的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論。第三次操作時(shí)，當(dāng)20a2a20時(shí)，所得正方形的邊長(zhǎng)為2a20，此時(shí)，20a（

33、2a20）=403a，此時(shí)剩下的矩形為正方形，由403a=2a20得a=12。當(dāng)2a2020a時(shí)，所得正方形的邊長(zhǎng)為20a，此時(shí)，2a20（20a）=3a40，此時(shí)剩下的矩形為正方形，由3a40=20a得a=15。故答案為12或15。15. （2012黑龍江黑河、大興安嶺、雞西3分）如圖所示，沿DE折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)F處，若AD=8，且AFD的面積為60，則DEC的 面積為 【答案】。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理。【分析】四邊形ABCD是矩形，A=B=90°，BC=AD=8，CD=AB。AFD的面積為60，即ADAF

34、=60，解得：AF=15。由折疊的性質(zhì)，得：CD=CF=17。AB=17。BF=ABAF=1715=2。設(shè)CE=x，則EF=CE=x，BE=BCCE=8x，在RtBEF中，EF2=BF2BE2，即x2=22（8x）2，解得：x=，即CE=，DEC的面積為： CDCE=×17×。三、解答題1. （2012天津市10分）已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當(dāng)BOP=300時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片

35、，使點(diǎn)C落在直線PB上，得點(diǎn)C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解：（）根據(jù)題意，OBP=90°，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，6）。（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°。BOP+OPB

36、=90°，BOP=CPQ。又OBP=C=90°，OBPPCQ。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ└鶕?jù)題意得，OBP=90°，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易證得OBPPCQ

37、，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（）首先過點(diǎn)P作PEOA于E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點(diǎn)P作PEOA于E，PEA=QAC=90°。PCE+EPC=90°。PCE+QCA=90°，EPC=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。將代入，并化簡(jiǎn)，得。解得：。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。2. （2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，使點(diǎn)B、D分別落在對(duì)角線BC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為

38、CM、AN.（1）求證：ANDCBM.（2）請(qǐng)連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎.請(qǐng)說明理由.（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn)，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性質(zhì)，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBM（ASA）。（2）證明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC，

39、FNEM。四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得CEM=B=900，在EMF中，F(xiàn)EMEFM。FMEM。四邊形MFNE不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 設(shè)DN=x，則由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=。過點(diǎn)N作NHAB于H，則HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN，DCAB，四邊形NMQP是平行四邊形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2?！究键c(diǎn)】翻折問題，翻折的性

40、質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形和翻折對(duì)稱的性質(zhì)，用ASA即可得到ANDCBM。 （2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 （3）設(shè)DN=x，則由SADC=SANDSNAC可得DN=BM=。過點(diǎn)N作NHAB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在CBQ中，應(yīng)用勾股定理求得BQ=1。從而求解。3. （2012廣東省9分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C處，BC交AD于點(diǎn)G；E、F分

41、別是CD和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H，把FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D處，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合（1）求證：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的長(zhǎng)【答案】（1）證明：BDC由BDC翻折而成， C=BAG=90°，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。設(shè)AG=x，則GB=8x，在RtABG中，AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8x）2，解得x=。（3）解：AEF是DEF翻折而成，EF垂直平分AD。H

42、D=AD=4。tanABG=tanADE=。EH=HD×=4×。EF垂直平分AD，ABAD，HF是ABD的中位線。HF=AB=×6=3。EF=EH+HF=?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理。【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知C=BAG=90°，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出結(jié)論。（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，在RtABG中利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)，從而得出tanABG的值。（3）由AEF是DEF翻

43、折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據(jù)tanABG的值即可得出EH的長(zhǎng)，同理可得HF是ABD的中位線，故可得出HF的長(zhǎng)，由EF=EH+HF即可得出結(jié)果。4. （2012廣東深圳8分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，連接AF、CE.(1)求證：四邊形AFCE為菱形；(2)設(shè)AE=a，ED=b，DC=c.請(qǐng)寫出一個(gè)a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，AEF=EFC。由折疊的性質(zhì)，可得：AEF=CEF，AE=CE，AF=CF，EFC=CEF。CF=CE。AF=CF=CE=AE。四邊形AF

44、CE為菱形。（2）解：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。理由如下：由折疊的性質(zhì)，得：CE=AE。四邊形ABCD是矩形，D=90°。AE=a，ED=b，DC=c，CE=AE=a。在RtDCE中，CE2=CD2+DE2，a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式可寫為：a2=b2+c2?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形ABCD與折疊的性質(zhì)，易證得CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形AFCE為菱形。（2）由折疊的性質(zhì)，可得CE=AE=a，在RtDCE中，利用勾股定理即

45、可求得：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。（答案不唯一）5. （2012廣東珠海9分） 已知，AB是O的直徑，點(diǎn)P在弧AB上（不含點(diǎn)A、B），把AOP沿OP對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在O上（1）當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(shí)（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎.證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖3），過C點(diǎn)作CD直線AP于D，且CD是O的切線，證明：AB=4PD【答案】解：（1）PO與BC的位置關(guān)系是POBC。（2）（1）中的結(jié)論P(yáng)OBC成立。理由為：由折疊可知：APOCPO，APO=C

46、PO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A與PCB都為所對(duì)的圓周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）證明：CD為圓O的切線，OCCD。又ADCD，OCAD。APO=COP。由折疊可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO為等邊三角形。AOP=60°。又OPBC，OBC=AOP=60°。又OC=OB，BC為等邊三角形。COB=60°。POC=180°（AOP+COB）=60°。又OP=OC，POC也為等邊三角形。PCO=60°，PC=OP=OC。又OCD=90°

47、，PCD=30°。在RtPCD中，PD=PC，又PC=OP=AB，PD=AB，即AB=4PD?！究键c(diǎn)】折疊的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。6. （2012福建龍巖12分）如圖1，過ABC的頂點(diǎn)A作高AD，將點(diǎn)A折疊到點(diǎn)D（如圖2），這時(shí)EF為折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再將BED和CFD沿它們各自的對(duì)稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點(diǎn)都與點(diǎn)D重合，得到一個(gè)矩形EFGH（如圖3），我們稱矩形EFGH為ABC的邊BC上的折合矩形 （1）若ABC的面積為

48、6，則折合矩形EFGH的面積為；（2）如圖4，已知ABC，在圖4中畫出ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD=，正方形EFGH的對(duì)角線長(zhǎng)為【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形EFGH：（3）2a ； 。 【考點(diǎn)】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）由折疊對(duì)稱的性質(zhì)，知折合矩形EFGH的面積為ABC的面積的一半， （2）按題意，作出圖形即可。 （3）由如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形邊長(zhǎng)為a，BC邊上的高AD為EFGH邊長(zhǎng)的兩倍2a

49、。 根據(jù)勾股定理可得正方形EFGH的對(duì)角線長(zhǎng)為。 7. （2012福建龍巖13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A落在線段BC上，再打開得到折痕EF （1）當(dāng)A與B重合時(shí)（如圖1），EF=；當(dāng)折痕EF過點(diǎn)D時(shí)（如圖2），求線段EF的長(zhǎng)； （2）觀察圖3和圖4，設(shè)BA=x，當(dāng)x的取值范圍是時(shí)，四邊形AEAF是菱形；在的條件下，利用圖4證明四邊形AEAF是菱形【答案】解：(1)5。 由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)知AD=AD=5，A=EAD=900。 在RtADC中，DC=AB=2， 。AB=BCAC=54=1。 EABBEA=EABFAC=900，BEA=F

50、AC。 又 B=C=900，RtEBARtACF。，即 。在RtAEF中，。 （2）。 證明：由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)知AEF=FEA，AE=AE，AF=AF。 又 ADBC，AFE=FEA 。AEF=AFE 。 AE=AF。AE=AE=AF=AF。四邊形AEAF是菱形。【考點(diǎn)】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥?1)根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，當(dāng)A與B重合時(shí)（如圖1），EF= AD=5。 根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，以及勾股定理求出AB、AF和FC的長(zhǎng)，由RtEBARtACF求得，在RtAEF中，由勾股定理求得EF的長(zhǎng)。 （2）由圖3

51、和圖4可得，當(dāng)時(shí)，四邊形AEAF是菱形。 由折疊和矩形的性質(zhì)，可得AE=AE，AF=AF。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AF。從而AE=AE=AF=AF。根據(jù)菱形的判定得四邊形AEAF是菱形。8. （2012湖北恩施8分）如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B，因而EB=EB類似地，在AB上折出點(diǎn)B使AB=AB這是B就是AB的黃金分割點(diǎn)請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論【答案】證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，BE=1。又BE=BE=1，AB=AEBE=1。又AB=AB，AB=1。點(diǎn)B是線段AB的黃金分割點(diǎn)?！究键c(diǎn)】翻折（折疊）問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，黃金分割?！痉治觥吭O(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)E為BC的中點(diǎn)和翻折不變性，求出AB的長(zhǎng)，二者相比即可得到黃金比。9. （2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）點(diǎn)E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)P的