高數(shù)61多元函數(shù)的基本概念ppt課件

1、一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)四、小結(jié) 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念（1鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 ),(00 PU |00PPP .)()(0| ),(2020 yyxxyx )(0oPPUPP 00在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zyxPU(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成. )(0PU點(diǎn) P0 的

2、去心鄰域記為yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱則稱 P 為為 E 的內(nèi)點(diǎn)；的內(nèi)點(diǎn)；則稱則稱 P 為為 E 的外點(diǎn)的外點(diǎn) ;則稱則稱 P 為為 E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) .的外點(diǎn)的外點(diǎn) ,顯然顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . （2區(qū)域區(qū)域聚點(diǎn)聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E是平面上的

3、一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P 是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn) P 的任何一個(gè)去心鄰域內(nèi)總有的任何一個(gè)去心鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集無限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集 E，則稱，則稱 P 為為 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). 1. 內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)；2. 邊界點(diǎn)是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚

4、點(diǎn)也都屬于集合EP .為開集為開集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對(duì)于是開集如果對(duì)于設(shè)設(shè)DDDD 點(diǎn)集 1),(xyx是開集，是開集，但非區(qū)域但非區(qū)域 .11xyO連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，

5、xyo 整個(gè)平面 是最大的開域 , 也是最大的閉域也是最大的閉域 ;則稱為無界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否成立，則稱對(duì)一切即，不超過間的距離與原點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集EEPKOPKOPOEPKE0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，41| ),(22 yxyx（3n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx的全體為的全體為n維空間，而每個(gè)維空間，而每個(gè)n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx稱為稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)ix稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo).1. n維空

6、間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nR2. n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3. n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的

7、的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. .（4二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD

8、 多元函數(shù)也有單值性與多值性的概念多元函數(shù)也有單值性與多值性的概念. . ),( ),(222RyxyxDyxP 當(dāng)當(dāng)222yxRz 222yxRz 2222Rzyx 例如：例如：?jiǎn)沃捣种沃捣种?一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定義的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定義仍適用：設(shè)有仍適用：設(shè)有n n元函數(shù)元函數(shù)y=f(x)y=f(x)，其定義域?yàn)?，其定義域?yàn)镈 DRnRn，集合，集合X XD.D.若存在正數(shù)若存在正數(shù)M M，使對(duì)，使對(duì)x xX X，有，有|f(x)|f(x)|M M，則稱，則稱f(x)f(x

9、)在在X X上有界，上有界，M M稱為稱為f(x)f(x)在在X X上的一個(gè)界上的一個(gè)界. .（5） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉镈，對(duì)對(duì)于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間就就確確定定一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取取遍遍D上上一一切切點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，得得一一個(gè)個(gè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如下頁圖）（如下頁圖

10、）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:例例2 2 設(shè)設(shè)求求解解 000),(222222yxyxyxxyyxf)1,1(yxf)1,1(yxf22)1()1(11yxyx 22yxxy 二元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù)二元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù)例例3 3、知、知 求求 . .,),(22yxyxxyf ),(yxf例例4 4、知、知 求求 . .),(yxf22(,),yf xyxyx二元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù)二元函數(shù)也

11、有復(fù)合函數(shù)x x0 時(shí)時(shí) f (x) 的極限的極限定義定義 設(shè)設(shè) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某去心鄰域有定義的某去心鄰域有定義,若有常數(shù)若有常數(shù) A,對(duì)對(duì) 0, 0, 當(dāng)當(dāng)0|x x0| 時(shí)時(shí),恒有恒有 |f(x)A| ,則稱常數(shù)則稱常數(shù)A是函數(shù)是函數(shù) f(x) 當(dāng)當(dāng) x x0時(shí)的極限時(shí)的極限, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 A 是是 f (x)在在 x0 處的極限處的極限. )()(,)(lim00 xxAxfAxfxx 或或者者記記為為定定義義 Axfxx )(lim0.|)(|,|0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)回憶二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限定定義義 0

12、000(,)( , )lim( , )xxyyxyf x yf x yA是的定義域的聚點(diǎn)，則22000,0,0()(),|( , )|.xxyyf x yA 當(dāng)時(shí)恒有說明：說明：（1定義中定義中 的方式、方向、路的方式、方向、路徑是任意的；徑是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似回憶：回憶：01lim sin0.xxx證明例例1 1 求證求證 證證01sin)(lim2222)0,0(),( yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 ,

13、當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立)()()(xhxfxg AxhAxgxx )(lim,)(lim)2(.)(lim,)(limAxfxfxx 且且存存在在則則有有時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)。,)|(),()1(0MxrxUx 關(guān)于函數(shù)收斂的夾逼準(zhǔn)則：關(guān)于函數(shù)收斂的夾逼準(zhǔn)則：( ), ( ), ( ) f x g x h x設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)滿滿足足如如下下條條件件：求極限方法回顧：求極限方法回顧：重要極限重要極限1sinlim0 xxxexxx )11(lim例例3 3 求極限求極限 ( , ) (0,2)sin( )lim.x yxyx例例2 2 求證

14、求證 22( , )(0,0)lim0 x yxyxy例例4 4 求極求極限限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 解解222)0, 0(),()sin(limyxyxyx ,)sin(lim22222)0, 0(),(yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx22)0, 0(),()sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim222)0, 0(),( yxyxyxyxu2 例例5 5 設(shè)設(shè)),(lim)0,0(),(yxfyx , 00, 0),(222222yxyxyxxyyxf證明證明 不存在不存在解解取取kxy

15、22)0,0(),(limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在例例6 6 證明證明 不存不存在在 證證263)0,0(),(limyxyxyx 取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法:v找兩種不同趨近方式,使二重極限存在,但兩者不相等;v令p(x,y)沿某一定曲線趨向于 時(shí),極限不存在.),(000yxp例例7 7 證明證明 不存在不存在 1( , )

16、(0,0)lim(1)x yx yxy定義定義 2 2 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點(diǎn)的 一 切 點(diǎn)DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱成立，則稱 A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(P

17、f的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例8 8 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的

18、不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2介值定理介值定理（3有界定理有界定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界有界多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)式子所表示的多元函數(shù)叫