高等數(shù)學(xué)1-2函數(shù)的極限ppt課件

1、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1.2 函數(shù)的極限北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系sin.xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)播放播放一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )( );f xAf xA表示與 的距離任意小.xXx 表示的過程sin,( )0.xxf xx無限接當(dāng)增大時(shí)近無限于1、通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察、通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題問題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系定義定義X 0 lim( )xf xA,0X,xX ,( )

2、.f xA恒有北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系02 .:x 情形01 .:x 情形lim( )xf xAlim( )xf xA2、擴(kuò)展兩種情形、擴(kuò)展兩種情形:lim( )xf xA定理lim( )lim( ).xxf xf xA0 ,0X,xX,( ).f xA恒有0 ,0X,xX ,( ).f xA恒有北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xxysin 例例1. 0sinl

3、im xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故:lim( ),( ).xf xcycyf x如果則直線是函數(shù)的圖定義水平的漸近線形北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限( )( );f xAf xA表示與 的接近程度.000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系定定義義 0 0lim( )xxf xA,00,0 xx ,( ).f xA恒

4、有北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例2).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證證明明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo0,( ),2xxyf xyA當(dāng) 在 的去心 鄰域時(shí) 函數(shù)圖形完全落在以直線為中心線寬為的帶形區(qū)域內(nèi)。注意：注意：0.( )if x

5、x函數(shù)極限與在點(diǎn)定義無關(guān).ii與任意給定的正數(shù) 有關(guān)：能夠根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)的極限要求北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取01,x 當(dāng)時(shí)函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx(1)x 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且

6、不取負(fù)值且不取負(fù)值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系3.單側(cè)極限單側(cè)極限:21,0( )1,0 xxf xxx例：兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近00 xx記作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近00 xx記作yox1xy 112 xy北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):函數(shù)極限存定理充在的要條件是000lim( )(0).xxf x

7、Af xA記作或000lim( )(0).xxf xAf xA記作或左右極限存在且相等。000lim( )(0)(0).xxf xAf xf xA即：北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1100 x證明：任給，取= ,時(shí)，1( ) 1f xx有: 220 x取=,時(shí)，222( ) 1f xx有: yox1xy 112 xy120 x取 =min，,時(shí)，( ) 1f x 有: 0lim( )1xf x3.單側(cè)極限單側(cè)極限:21,0( )1,0 xxf xxx例：北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左

8、右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 x00limlimxxxxxx11lim0 x北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系三、函數(shù)極限的性質(zhì)2.局部有界性局部有界性1.極限唯一性極限唯一性北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系推論推論0000lim( ),lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxUxf xg x 設(shè)且則有3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系00

9、0lim( )0,0,(, ),( )0.xxf xAAxUxf x已知。若則當(dāng)時(shí)定理定理( (保號(hào)性保號(hào)性) )000lim( )0,(, ),( )0,0.xxf xAxUxf xA已知。若當(dāng)時(shí)則推論推論北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系5.夾逼定理夾逼定理,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系6.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)(),nxaxa設(shè)在過程中有數(shù)列定義定義.nnxa 使得時(shí)()( ).nf xf xxa則稱數(shù)列為函數(shù)當(dāng)時(shí)的子列( )f x

10、a：若函數(shù)在點(diǎn) 的某一去心鄰域定理內(nèi)有定義，lim( )xaf xA則的充要條件是:lim().nnnxaf xA對(duì)鄰域內(nèi)的任意數(shù)列，有北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例：例：xxysin sinlim0 xxxsinlim0nnnsinlim0nnn22sin1lim01nnnnn北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而, 0 二者不相等二者不相等,.

11、1sinlim0不存在不存在故故xx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系四、小結(jié)極限的統(tǒng)一定義極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒恒有有從從此此時(shí)時(shí)刻刻以以后后時(shí)時(shí)刻刻(見下表見下表)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以

12、后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題1( )sinf xx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系作業(yè) P39: 2. 5. 6. 7. 8. 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限sin.xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限sin.xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限sin.xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限sin.xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限sin.xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系一、自變量