大題橢圓求方程離心率

1、橢圓一 方程（易）（10 天津）（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；【解析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為（10 遼寧）(20)（本小題滿分12分）設橢圓C：的右焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.(I) 求橢圓C的離心率；(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.（20）解：設，由

2、題意知0，0.（）直線l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因為，所以.即 得離心率 . 6分（）因為，所以.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分（10 山東）（21）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標準方程；【解析】（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為。（10 江西）2

3、1. （本小題滿分12分）設橢圓，拋物線。（1） 若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率；（2） 設A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個交點，若AMN的垂心為，且QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程?！窘馕觥靠疾闄E圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程。（1）由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上，可得：，由。(2)由題設可知M、N關于y軸對稱，設,由的垂心為B，有。 由點在拋物線上，解得：故，得重心坐標. 由重心在拋物線上得：，又因為M、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。（10 新課標全國）（20）（本小題滿分12分）設分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且

4、成等差數(shù)列。（1）求的離心率； （2） 設點滿足，求的方程解：（I）由橢圓定義知，又，得的方程為，其中。設，則A、B兩點坐標滿足方程組化簡的則因為直線AB斜率為1，所以得故所以E的離心率（II）設AB的中點為，由（I）知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為。（10 陜西）20.（本小題滿分13分）如圖，橢圓C：的頂點為焦點為,. ()求橢圓C的方程；(i) 當l不垂直于x軸時，設l的方程為,由l與n垂直相交于P點且得，即. = =1+0+0-1=0，即將代入橢圓方程，得 ，由求根公式可得 將，代入上式并化簡得 將代入并化簡得，矛盾.即此時直線不存在.（10 北京）（19）（本小題共14分）在

5、平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；19，解：（1）因點B與（-1,1）關于原點對稱，得B點坐標為（1，-1）。設P點坐標為，則，由題意得，化簡得：。即P點軌跡為：（10 福建）17（本小題滿分13分）已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點。（1）求橢圓C的方程；【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。【解析】（1）依題意，可設橢圓C的方程為，且可知左焦點為（11 重慶）（20）

6、（本小題滿分12分，（）小問4分，()小問8分.） 如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為. （）求該橢圓的標準方程；（11 湖南）A. (本小題滿分13分） 如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長等于的長半軸長。（）求，的方程；解析：（I）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（09 遼寧）（20）（本小題滿分12分）已知，橢圓C過點A，兩個焦點為（1，0），（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。（20）解：（）由題意，c=1,可設橢圓方程為

7、，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設直線AE方程為：，代入得 設,因為點在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分（09 四川）20（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線方程為。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。（20）本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理運算能力。 解：（）有條件有，解得。 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x

8、=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設、， . ,與題設矛盾。 直線l的斜率存在。 設直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。設、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關系知，從而，又，。化簡得解得（09 山東）（22）（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效） 設橢圓E：，O為坐標原點 （）求橢圓E的方程； （）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個交點A，B且？若存在，寫出該圓的方程，關求的取值范圍；若不存在，說明理由。22. 解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的

9、圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以, 當時因為所以,所以,所以當且僅當時取”=”. 當時,. 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: （09 全國2）（21）（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，過右焦點

10、F的直線與相交于、糧店，當?shù)男甭蕿?時，坐標原點到的距離為 （I）求，的值； （II）上是否存在點P，使得當繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。（09 寧夏）（20）（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（09 海南）（20）（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.

11、（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。二 離心率（10 遼寧）(20)（本小題滿分12分）設橢圓C：的右焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.(III) 求橢圓C的離心率；(IV) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.（20）解：設，由題意知0，0.（）直線l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因為，所以.即 得離心率 . 6分（）因為，所以.由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分（10 江西）21. （本小題滿分12分）設橢圓，拋物線。（3） 若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率；

12、（4） 設A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個交點，若AMN的垂心為，且QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程。（1）由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上，可得：，由。(2)由題設可知M、N關于y軸對稱，設,由的垂心為B，有。 由點在拋物線上，解得：故，得重心坐標. 由重心在拋物線上得：，又因為M、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。（10 新課標全國）（20）（本小題滿分12分）設分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且成等差數(shù)列。（1）求的離心率； （2） 設點滿足，求的方程解：（I）由橢圓定義知

13、，又，得的方程為，其中。設，則A、B兩點坐標滿足方程組化簡的則因為直線AB斜率為1，所以得故所以E的離心率（II）設AB的中點為，由（I）知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為。（10 北京）19（本小題共14分）已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點.（I）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓G的焦點坐標為離心率為（）由題意知，.當時，切線l的方程，點A、B的坐標分別為此時當m=1時，同理可得當時，設切線l的方程為由設A、B兩點的坐標分別為，則又由l與圓所以由于當時，所以.因為且當時，|AB|

14、=2，所以|AB|的最大值為2.（11 天津）18（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程18本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （I）解：設 由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設設點M的坐標為，由于是由即，化簡得將所以因此

15、，點M的軌跡方程是（09 天津）（21）（本小題滿分14分） 以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。（1） 求橢圓的離心率；（2） 求直線AB的斜率；（3） 設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值（21）本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的思想，考查運算能力和推理能力，滿分14分（I） 解：由/且，得，從而 整理，得，故離心率（II） 解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為 設直線AB的方程為，即. 由已知設，則它們的坐標滿足方程組消去y整理，得.依題意，而 由題設知，點B為線段A