高數(shù)26多元函數(shù)極值76509ppt課件

1、的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 多元函數(shù)極值多元函數(shù)極值一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；極大值、極

2、小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz (1)處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz (2)處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz (3)2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(

3、00 yxfy. .證證不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極大大值值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣 如如果果三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxP具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要

4、條條件件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).注意：注意：駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)例例如如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，定定理理 2 2（充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？又又 0),(00 yxfx, , 0),(

5、00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn).則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論例例 1 1 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z確確定定的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極

6、極值值 解解將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大

7、值值.求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn).第第二二步步 對對于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值A(chǔ)、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法設(shè)設(shè) f ( x , y ) 在在D上連續(xù)

8、，上連續(xù)，D內(nèi)可微且在內(nèi)可微且在D內(nèi)至多有有限個(gè)駐點(diǎn)內(nèi)至多有有限個(gè)駐點(diǎn),這時(shí)若這時(shí)若 f ( x , y ) 在在D內(nèi)取得最值內(nèi)取得最值,則這個(gè)最值也一定是極值則這個(gè)最值也一定是極值將函數(shù)在將函數(shù)在 D D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. .故一般方法是故一般方法是 在實(shí)際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可在實(shí)際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部確有最大值最小值），以斷定函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部確有最大值最小值），這

9、時(shí)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以這時(shí)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大值最小值）值最小值）例例 2 2 求二元函數(shù)求二元函數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在直線在直線6 yx，x軸和軸和y軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值上的最大值與最小值. 解解如圖如圖,先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxDD解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求

10、),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf,在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yx 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.例例 3 3 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. 解解由由, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,2

11、1(和和)21,21( ,因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .無條件極值：對自變量除了限制在定義無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件域內(nèi)外，并無其他條件.二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極條件極值：對自變量有附加條件的極值值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxy

12、xfyxF ，其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo). 一些較簡單的條件極值問題可以把它轉(zhuǎn)化為一些較簡單的條件極值問題可以把它轉(zhuǎn)化為無條件極值來求解無條件極值來求解降元法，但這種方法需要降元法，但這種方法需要經(jīng)過解方程和代入的手續(xù)，對于較復(fù)雜的方程就經(jīng)過解方程和代入的手續(xù)，對于較復(fù)雜的方程就不容易作到，有時(shí)甚至是不可能的不容易作到，有時(shí)甚至是不可能的解決條件極值問題的一般方法解決條件極值問題的一般方法是是Lagrange乘數(shù)法乘

13、數(shù)法升元法升元法求求 z = f ( x , y )下下的的極極值值在在條條件件0),( yx 其幾何意義是其幾何意義是),(0),(:00yxyxL上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線 ),(),(00yxfyxf 使使),(),(00yxfyxf 或或其中點(diǎn)其中點(diǎn) ( x , y ) 在曲線在曲線 L 上上假定點(diǎn)假定點(diǎn)P (x0 , y0 ) 為條件極值點(diǎn)為條件極值點(diǎn)在在(x0 , y0 ) 的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域內(nèi)內(nèi) 連續(xù)連續(xù)yx ,且不同時(shí)為且不同時(shí)為0f( x , y )可微可微0 y 不不妨妨設(shè)設(shè)0),( yx 于是于是確定了一個(gè)隱函數(shù)確定了一個(gè)隱函數(shù)y = y(x) 故故 z= f x ,

14、 y(x)在在P(x0 , y0)處取得極值處取得極值故故0 Pdxdz即即0)(),(),(0000 xyyxfyxfyx又由隱函數(shù)的微分法知又由隱函數(shù)的微分法知),(),(0000yxyxdxdyyxP 代入上式代入上式0),(),(),(),(000000 yxyxyxfyxfxyyoox 令令),(),(0000yxyxfyy 得得P (x0 ,y0 )為條件極值點(diǎn)的必要條件為為條件極值點(diǎn)的必要條件為0),(0),(),(0),(),(0000000000 yxyxyxfyxyxfyyxx xyzoz=f(x,y)LM無條件極值點(diǎn)無條件極值點(diǎn).P條件極值點(diǎn)條件極值點(diǎn).拉格朗日乘數(shù)法可推

15、廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出tzyx,，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo)，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).例例4求內(nèi)接于橢球求內(nèi)接于橢球 1222222 czbyax的最大長方體的體積的最大長方體的體積,長方體的各面平行于坐標(biāo)面長方體的各面平行于坐標(biāo)面解一解一 設(shè)內(nèi)接于橢球且各面平行于坐標(biāo)面的長方

16、體在第設(shè)內(nèi)接于橢球且各面平行于坐標(biāo)面的長方體在第一卦限的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為一卦限的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( x , y , z )則長方體的體積為則長方體的體積為V=8xyz022 axyzFx 022 byxzFy 022 czxyFz 1222222 czbyax) 1(222222 czbyaxxyzF 令令 23 xyz解得解得3,3,3czbyax 22axyz 22byxz 或或兩式相除兩式相除222222byaxyaxbxy 同理同理2222czax 即即222222czbyax 代入解得代入解得3,3,3czbyax 三式相加得三式相加得解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 0且且u 在

17、在D上連續(xù)，故必存在上連續(xù)，故必存在 最大值，且一定在最大值，且一定在D內(nèi)取得內(nèi)取得另一方面另一方面由于由于 u 和和 lnu 在在D內(nèi)有相同的極值點(diǎn)內(nèi)有相同的極值點(diǎn)故問題轉(zhuǎn)化為求故問題轉(zhuǎn)化為求lnu 在條件在條件 x + y + z = m 下的極值。下的極值。令令)(lnmzyxuF )(lnlnlnmzyxzcybxa 那么那么0 xaFx0 ybFy0 zcFz與與 x + y + z = m 聯(lián)立解得聯(lián)立解得cbacmzcbabmycbaamx ,cbacbacbacbamcbau )(max注注若一元函數(shù)若一元函數(shù) f(u) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上嚴(yán)格單調(diào)增上嚴(yán)格單調(diào)增一般情形一般情

18、形多元函數(shù)多元函數(shù) g(P) 在區(qū)域在區(qū)域D上有定義上有定義時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)DP IPg )(那么那么 f(u) 與復(fù)合函數(shù)與復(fù)合函數(shù) f g(P) 有相同的極值有相同的極值點(diǎn)點(diǎn)利用這一結(jié)論可將求利用這一結(jié)論可將求f g(P) 的駐點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的駐點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f(u) 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)或相反地將求或相反地將求f(u) 的駐點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求的駐點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求f g(P) 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)使問題簡化使問題簡化 轉(zhuǎn)移大法轉(zhuǎn)移大法四、小結(jié)四、小結(jié)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？思考題解答思考題解答不不是是.例如例如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，2)0 ,(xxf 在