排列組合知識點匯總及典型例題(全)

1、一. 基本原理1 加法原理：做一件事有 n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2 乘法原理：做一件事分 n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二. 排列：從 n 個不同元素中，任取 m ( m < n ) 個元素，按照一定的順序排成 列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所 有排列的個數(shù)記為A；?.1. 公式：1.A；二 nn1n2 n m 1 =(n _ m!2. 七一一：用-1 < -規(guī)定：0!"(1) n! = n (n1)!,( n 1) n! = (n 1)!(

2、2) n n! =( n 1)1 n! = (n 1) n!-n! = (n 1)!n!；(3) n n 1 _1 n 1111(n 1) (n 1)! =(n 1)!,n 1)!帀飛 1)!三. 組合：從n個不同元素中任取 m (m< n)個元素并組成一組，叫做從 n個不同的m元素中任取 m個元素的組合數(shù)，記作 Cn1.公式:cm2組合數(shù)性質(zhì)：rUt _ 小廠:A： _ n n -1 n-m 1 _ n!Amm!m! n -m !Cmn _mmmJm01nnn Cn ， Cn CnCn1，Cn CnCn 2衛(wèi)m； 一：；#匚?。?quot;-規(guī)定：C0=1注: c： +4出+8亡卅|&

3、#169;丄+4 =c：+c：+c：半+iiid+cn=c:計c：/incn二+cn=cn* 若 CT1 =Cm2 貝 y mm?或 m1+m2 =n四. 處理排列組合應用題1.明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類。2 .解排列、組合題的基本策略(1) 兩種思路：直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應用題時一種常用的解題方法。(2) 分類處理：當問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得岀結(jié)論。注意：分類不重復不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。(3) 分步處理：與分類處理類似，某些問題

4、總體不好解決時， 常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。 在處理排列組合問題時， 常常既要分類， 又要分步。其原則是先分類，后分步。(4) 兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3 排列應用題：(1) 窮舉法(列舉法)：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉岀來；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；(3) .相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列。(4) 、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相 鄰接元素在已

5、排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。(5) 、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選岀定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩余的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右 到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有 2種排法；(6) “小團體”排列問題一一采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體"時，可先將“小團體"看作一個元素與其余元素排列，最后再進行

6、“小團體"內(nèi)部的排列。(7) 分排問題用“直排法"把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。(8) .數(shù)字問題(組成無重復數(shù)字的整數(shù)) 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5. 能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是 25, 50，75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4 .組合應用題：(1). “至少"“至多"問題用間接排除法或

7、分類法：(2).“含"與“不含"用間接排除法或分類法：3 .分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理。混合分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4. 分配問題:定額分配：(指定到具體位置)即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機分配：(不指定到具體位置)即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5. 隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例1.電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放

8、公益廣告， 則共有種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示)解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有 A44種，從而應當填48.從而應填48.例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即 a6 -a5 -Ai5 A： =720 -2 120 24 =504解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.（i）甲排在最右端時，有A種排法；（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有a4種排法，乙有a：種排法，其他人有 A種排法，共有a： a4 a4種排法，分類相加得共有 a55+a： a4 a4 =504種排法例.有4個男生，3個女

9、生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有 A；種排法.剩余的3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有 1種排法，故共有 A； 仁840 種.1.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取 3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有C； C：C； = 70種,選.C解析2:至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型i臺乙型2臺；甲型2臺乙型i 臺;故不同的取法有c；c： +c5c2 =70臺，選c .2 從

10、5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽.（1）如果4人中男生和女生各選 2人，有種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 _種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有_種選法;（4）如果4人中必須既有男生又有女生，有種選法，分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關的問題.由于選岀的人沒有地位的差異，所以是組合問題.解：（1）先從男生中選2人，有d種選法，再從女生中選2人，有C：種選法，所以共有C；C：=60 （種）；2 2（2）除去甲、乙之外，其余 2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有 C；C：=21（種）；（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去

11、掉，得到符合條件的選法數(shù)： 直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)C9 - C7 =91 （種）；C；C； +C；C；=C； +C； +C； =91 （種）444C9 C5 C4 =120 （種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為c5c3 +c（c2 +c3c4=i2o （種）（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)1 6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為（）A. 40B. 50C. 60D. 70c3解析先分組再排列，一組2人一組4人有C6= 15種不同的分法；兩組各

12、3人共有農(nóng)=10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25 X 2= 50,故選B.2 .有6個座位連成一排，現(xiàn)有 3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有（）A. 36 種B. 48 種 C . 72 種D. 96 種解析恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共A3A2= 72種排法，故選C.3.只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A. 6 個B. 9 個 C . 18 個D. 36 個解析注意題中條件的要求，一是三個數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個數(shù)字共有C3= 3（種

13、）選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A；X c3 = 6（種）排法，所以共有3 X 6= 18（種）情況，即這樣的四位數(shù)有18個.4 男女學生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A. 2人或3人 B . 3人或4人 C . 3人 D . 4人解析設男生有n人，則女生有（8 n）人，由題意可得 UCLn=30，解得n= 5或n = 6,代入驗證，可知女生為 2人或3人.5. 某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）A . 45 種B . 36 種 C . 28

14、種D. 25 種解析因為10 - 8的余數(shù)為2,故可以肯定一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有 2步，那么共有C = 28種走法.6. 某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有（）A . 24 種B . 36 種 C . 38 種D. 108 種解析本題考查排列組合的綜合應用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C種分法，然后再分到兩部門去共有Ca2種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2

15、人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C：種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有2C3a2c3 = 36（種）.7. 已知集合A= 5，B= 1,2，C= 1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為（）A . 33B . 34 C . 35D . 36解析所得空間直角坐標系中的點的坐標中不含1的有C2 A3 = 12個； 所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有1個1的有C： Ak A= 18個； 所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有2個1的有C： = 3個.故共有符合條件的點的個數(shù)為12+ 18 + 3= 33個，故選A

16、.8 .由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字且 1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（）A . 72B . 96 C . 108D. 144解析分兩類：若1與3相鄰，有A2 （心72（個），若1與3不相鄰有A3A3= 36（個）故共有72+ 36= 108個.9.如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續(xù)參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有（）A . 50 種B . 60 種 C . 120 種D. 210 種解析先安排甲學校的參觀時間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5

17、,6）、（6,7），甲任選一種為 6，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學校參觀， 安排方法有A種，按照分步乘法計數(shù)原理可知共有不同的安排方法c6a2= 120種，故選C.10 .安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5月1日和2日，不同的安排方法共有 種.（用數(shù)字作答）解析先安排甲、乙兩人在后 5天值班，有 A = 20（種）排法，其余5人再進行排列，有 A = 120（種）排法，所以共有20X 120= 2400（種）安排 方法.11 今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有 種不同的排法.（用數(shù)字作答

18、）解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有C4 C5 C3= 1260（種）排法.12.將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）.解析先將6名志愿者分為4組，共有頁種分法，再將4組人員分到4個不同場館去，共有種分法，故所有分配C2 c方案有：- A4= 1 080 種.13要在如圖所示的花圃中的 5個區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有 種不同的種法（用數(shù)字作答）.解析5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法, .有 4 X

19、 3X 2 X （1 X 2+ 1 X 1） =72 種.14將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法(A) 12 種(B) 18 種(C) 36 種(D) 54 種【解析】標號1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有4種方法，共有共有故選B.10月1日，丁不15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在 排在10月7日，則不同的安排方案共有A. 504 種 B. 960種 C. 1008種 D. 1108 種

20、 解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號共有2 A；A：A：種方法甲乙排中間，丙排7號或不排7號，共有 4A；（A： A；a3a；） 種方法 故共有1008種不同的排法1. 排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系名稱排列組合-個從n個不同加?素屮取出m個元 索.按一定的順序排成一列從旺個不同元索中取出E個元 素.把它并成一組數(shù)所有排列的的個數(shù)所有組合的個數(shù)符號種數(shù) 公式 1卜 八(“zri-Fl)關系= W；性質(zhì)J ”Qt s 十 J軀全排列*門個不同元素全部取出的一個排列.全排列數(shù)公式七所 有全排歹U的個數(shù)，即土 /=hx（h l）x（n 2）- -X2x1排列組合二項式定理1，分類計數(shù)原理 完成一件事有幾

21、類方法，各類辦法相互獨立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨立的完成這個事情）分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2, 排列排列定義：從n個不同元素中，任取 m( me n)個元素(被取出的元素各不相同)，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個排列。排列數(shù)定義；從n個不同元素中，任取 m(me n)個元素的所有排列的個數(shù) 人：公式mn丨An=(n-m)!規(guī)定0!=13, 組合組合定義 從n個不同元素中，任取 m(men)個元素并成一組，叫做從 n個不同元素 中取出m個元素的一個組合組合數(shù) 從n個不同元素中，任取 m(me n)個

22、元素的所有組合個數(shù)m_ n!Cn m!( nm)!mn _mmmmd性質(zhì) Cn=CnCnCn Cn排列組合題型總結(jié)一. 直接法1 .特殊元素法例1用1 , 2 , 3 , 4, 5, 6這6個數(shù)字組成無重復的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(1) 數(shù)字1不排在個位和千位(2) 數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。分析：(1 )個位和千位有5個數(shù)字可供選擇 A，其余2位有四個可供選擇 A，由乘法原理： A| A：=2402 .特殊位置法(2)當1在千位時余下三位有 A3=60 , 1不在千位時，千位有 A：種選法，個位有a4種，余下的有A：，共有a4 a4 A： =192所以總共有 192

23、+60=25243 I 2二 間接法 當直接法求解類別比較大時，應采用間接法。如上例中(2)可用間接法 A6 -2A5 - A4 =252Eg有五張卡片，它的正反面分別寫 0與1 , 2與3 , 4與5, 6與7, 8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁?一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù) Cf 23 A；個，其中0在百位的有c2 22 A；個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù) C53 23 A3-Ca 22 A；=432Eg三個女生和五個男生排成一排（1）女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）（2） 女生必須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）（

24、3）兩端不能排女生（4）兩端不能全排女生（5）如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法二. 插空法 當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目 且保持原節(jié)引順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有 A9 A；=100中插入方法。三. 捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。231 .四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（C4 A3）,2，某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學

25、校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參1191觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（C29A28）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有C29其余的就是19所學校選28天進行排列）四. 閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共 _種。分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有cH種五平均分推問題eg 6本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？（1）平均分成三堆，（2）平均分給甲乙丙三人（3）一堆一本，一堆兩本，一對三本（4）甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對應一種方案）（5）一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析：1，分出三堆書（ai,a2） ,（a3,a4）, （a5,a6）由順序不同可以有A3 =6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均