大工秋《自動控制原理》輔導(dǎo)資料

1、自動控制原理輔導(dǎo)資料二主 題：控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立的輔導(dǎo)文章控制系統(tǒng)微分方程的建立、 傳遞函數(shù)學(xué)習(xí)時間 ：2014 年 10 月 6 日 -10 月 12 日內(nèi) 容 ：我們這周主要學(xué)習(xí)課件第 2 章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立的部分內(nèi)容。 希望通 過下面的內(nèi)容能使同學(xué)們加深對控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的相關(guān)知識的理解。一、概述（了解）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 我們對控制系統(tǒng) 的研究就是從數(shù)學(xué)模型著手， 分析系統(tǒng)的性能， 并根據(jù)性能指標(biāo)的要求， 進(jìn)行控 制系統(tǒng)的綜合校正?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有動態(tài)模型和靜態(tài)模型之分。動態(tài)模型：描述系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如微分方程、偏微分方程、差

2、分方程等。靜態(tài)模型：在變量的各階導(dǎo)數(shù)為零的條件下， 描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù) 學(xué)表達(dá)式。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要有兩條途徑： 1理論推導(dǎo)法：通過系統(tǒng)本身機(jī)理（物理、化學(xué)規(guī)律）分析確定模型結(jié)構(gòu) 和參數(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2. 實驗測試法： 根據(jù)對系統(tǒng)的觀察， 通過測量所得到的大量輸入、 輸出數(shù)據(jù)， 推斷出被測系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。、控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立（重點(diǎn)了解）控制系統(tǒng)輸入輸出之間的動態(tài)特性可由微分方程式來描述，而微分方程式就是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟：1. 確定輸入變量和輸出變量；2. 根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出系統(tǒng)（或元件）的原始方程式；3. 找出中間變量與其他因素的

3、關(guān)系式；4. 消去中間變量，得到輸入輸出關(guān)系方程式；5. 若所求輸入輸出關(guān)系為非線性方程，則應(yīng)進(jìn)行線性化；6. 標(biāo)準(zhǔn)化，將輸入項及各階導(dǎo)數(shù)放在方程的右邊，將輸出項及各階導(dǎo)數(shù)放到 方程的左邊，然后按降幕的順序排列;建立系統(tǒng)微分方程式的舉例：元部件微分方程變量說明R-L-C電路2d Uc(t)duc(t)丄(t)F(t)= L/RT1T2c+ T2 + UcdtdtT2 = RC彈簧-質(zhì)量-阻尼器系2TM2d y(tTBdy(ty(t)1= -f(t)TdtdtKcM統(tǒng)2_ MIm K電樞控制的直流電d2。 Tajf “ =1 UaTRaJ1 ma m dt2dtKeKeKm動機(jī)TaTm dM L

4、 Tm-M LLJdtJTa亠Ra磁場控制的直流電動機(jī)T T d 國T dtCTfTm+國=KdUfdtdtTf =Lf/RfTm = J / BKd = Ki /Rf B電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)T Td2國丄tdB丄"丄TaTm2 +Tm+(1+K購dtdtKaTaTm dM l J 一一ur 一MlKeJdtJK= KaKt/Ke熱力系統(tǒng)T 瞠+ (QCpR+1)0 =附 dtp日=% -日iT = RC流體過程型+巴睛=%dt SS對于一個線性系統(tǒng)，設(shè)它的輸出為c(t)，輸入為r(t)，則系統(tǒng)微分方程式的般形式如下:ndtnn -1d cai -1 dtn4mm 4de 丄,d r

5、丄,d r04%cm ' bimi 'dtdt dt bm羋 bmrdt(2-1)式中，q(i =1,2,., n),bj (j =1,2,., m)如果是時間的函數(shù)，則系統(tǒng)稱為線性時變系統(tǒng)；如果為常數(shù)，則系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。對于實際物理系統(tǒng)，由于存在慣性等特性，所以輸出端的導(dǎo)數(shù)階數(shù)總是大于 或等于輸入端的導(dǎo)數(shù)階數(shù)，故有nm，而大多數(shù)系統(tǒng)nm、傳遞函數(shù)(重點(diǎn)掌握)控制系統(tǒng)的微分方程，是在時域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。 在給定外作 用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。1. 傳遞函數(shù)的概念1 )傳遞函數(shù)：對線性定常微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到系統(tǒng)在復(fù) 數(shù)域

6、的數(shù)學(xué)模型，稱其為傳遞函數(shù)。它不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性， 而且可以 研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。2) 控制系統(tǒng)的零初始條件：有兩方面的含義，一是指輸入作用是在 t=0以 后才作用于系統(tǒng)的，因此，系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在 t=0時的值均為零；二是 指系統(tǒng)在輸入作用加入前是相對靜止的，因此，系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在 t=0 時的值也為零。2. 傳遞函數(shù)的性質(zhì)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2-2)G(s)二 C(s)_ b°sm bsmJl . bm_s bm _ M (s) R(s)sn aS' . anJls anD(s)式中，M (s)為傳遞函數(shù)的分子多項式，M

7、 (s)二bosm - bsm' - . bms bm ；D(s)為傳遞函數(shù)的分母多項式，D(s) -sn aV - . - anjS an。1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)。j ，其中二為實部,j -為虛部。分子的階數(shù)m般低于或等于分母的階數(shù)n，且所有系數(shù)均 為實數(shù)。m空n ,這是因為物理系統(tǒng)必然具有慣性，而且能源又是有限的 緣故；各系數(shù)均為實數(shù)，是因為它們都是系統(tǒng)部件參數(shù)的函數(shù)，而部件 的參數(shù)只能是實數(shù)。2) 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和部件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件 無關(guān)。3) 一定的傳遞函數(shù)有一定的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布圖與之對應(yīng)，因此傳遞函 數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動

8、態(tài)性能。4) 若令式(2-2)中s=0，貝G(0)二bm(2-3)anG(0)稱為傳遞系數(shù)(或靜態(tài)放大系數(shù))。5) 傳遞函數(shù)只能表示輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系，至于系統(tǒng)中的中間變量 無法反映出來。6) 一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的函數(shù)關(guān)系，如果是多 輸入多輸出系統(tǒng)，則需要用傳遞函數(shù)陣來描述。3. 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)是由若干元件或部件有機(jī)組合而成的。 從形式和結(jié)構(gòu)上看，有各種 各樣不同的部件，但從動態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看，卻可分成為數(shù)不多的基本環(huán)節(jié)， 也就是典型環(huán)節(jié)。不管元件或部件是機(jī)械式、電氣式或液壓式等，只要它們的數(shù) 學(xué)模型一樣，它們就是同一種環(huán)節(jié)。1. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞

9、函數(shù)為G(s) = K(2-4)式中，K為一常值。這表明，比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比，不失真也 不延滯，所以比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)或無慣性環(huán)節(jié)。2. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為1G(s) (2-5)Ts+1式中，T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出量將按照指數(shù)曲線上 升，在經(jīng)過3個T時，響應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 95%，或經(jīng)過4個T時，響應(yīng)曲 線達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98%，即輸出響應(yīng)具有慣性，時間常數(shù)T越大慣性越大，如圖1所示。RC電路、RL電路、直流電動機(jī)電樞回路都可看作慣性環(huán)節(jié)I098VI(a) RC電路(b)單位階躍響應(yīng)曲線圖1慣性環(huán)節(jié)3. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)

10、的傳遞函數(shù)是：1G(s) ( 2-6)Ts當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入信號為單位階躍函數(shù)時，貝U輸出為t/T ,它隨著時間直線 增長，如圖2所示。直線的增長速度由1/T決定，即T越小，上升越快。當(dāng)輸入突然除去時，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。對于理想的積分環(huán)節(jié)， 只要有輸入信號存在，不管多大，輸出總要不斷上升，直至無限。當(dāng)然，對于實際部件，由于能量有限、飽和限制等，輸出是不可能達(dá)到無限的。1圖2積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線4. 微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=Ts( 2-7)式中，T為微分時間常數(shù)。在實際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，它的傳遞函數(shù)為：G(s)冬(2-8)T2s +1式(2-

11、8)由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成。5. 比例+微分環(huán)節(jié)比例+微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s) = Kc(1 Ts)( 2-9)式中，Kc為比例系數(shù)。具有比例+微分環(huán)節(jié)特性的實際例子有無源電路和有源電路，如圖3所示。圖3所示無源電路的傳遞函數(shù)為:G(s) =1 : Ts 1:-Ts 1(2-10)為。當(dāng)、比較大時，上式就可看成是比例+微分環(huán)節(jié)。©十O =(a)無源電路(b)有源電路圖3比例+微分環(huán)節(jié)6. 振蕩環(huán)節(jié)該環(huán)節(jié)包含兩個儲能元件,在動態(tài)過程中兩個儲能元件進(jìn)行能量交換它的傳遞函數(shù)為:G(s)二(2-11)S2 2n S n2式中,7. 延滯環(huán)節(jié)在實際系統(tǒng)中經(jīng)常會遇到這樣一種典型環(huán)節(jié)，

12、當(dāng)輸入信號r(t)加入后，該環(huán)節(jié)的輸出c(t)要隔一定的時間后才能復(fù)現(xiàn)輸入信號，如圖5所示。在0 ： t - 內(nèi),輸出為零，稱為延滯時間，這種環(huán)節(jié)稱為延滯環(huán)節(jié)，具有延滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為延滯系統(tǒng)(b)輸出信號圖5延滯環(huán)節(jié)延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s) =e_s(2-12)般地，一個以上是線性定常系統(tǒng)中按數(shù)學(xué)模型區(qū)分的幾個最基本的環(huán)節(jié)系統(tǒng)是由若干個典型環(huán)節(jié)經(jīng)過連接有機(jī)地組合而成。四、典型例題解析1. 系統(tǒng)中如果有 （），對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。A.慣性環(huán)節(jié)B.積分環(huán)節(jié)C. 振蕩環(huán)節(jié)D. 延滯環(huán)節(jié)答案：D2. 同一個物理系統(tǒng)，可以用不同的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)。 （ ）答案：對3. 自適應(yīng)控制屬于經(jīng)典控制理論的研究課題？ （輔導(dǎo)資料一思考題答案 ）答案：錯，自適應(yīng)控制屬于現(xiàn)代控制理論的研究課題五、本周需要同學(xué)掌握的重點(diǎn)內(nèi)容為