一平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件ppt課件

1、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 平面曲線積分與途徑無(wú)關(guān)的條件平面曲線積分與途徑無(wú)關(guān)的條件二二 、 二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積第三節(jié)第三節(jié)(2) (2) 線積分與途徑無(wú)線積分與途徑無(wú) 關(guān)的條件關(guān)的條件第十一章第十一章上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的的直直線線段段軸軸到到點(diǎn)點(diǎn)沿沿從從點(diǎn)點(diǎn)的的上上半半圓圓周周針針?lè)椒较蛳蚶@繞行行、圓圓心心為為原原點(diǎn)點(diǎn)、按按逆逆時(shí)時(shí)半半徑徑為為為為其其中中計(jì)計(jì)算算aBxaAaLxyL ABp197.例例2回想回想結(jié)果：被積函數(shù)一樣結(jié)果：被積函數(shù)一樣, , 起點(diǎn)終點(diǎn)也一樣起點(diǎn)終點(diǎn)也一樣, , 但是由于積分途徑不同但是由

2、于積分途徑不同, , 導(dǎo)致積分結(jié)果不同導(dǎo)致積分結(jié)果不同. .稱此曲線積分與途徑有關(guān)稱此曲線積分與途徑有關(guān)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 被積函數(shù)一樣被積函數(shù)一樣, ,起點(diǎn)和終起點(diǎn)和終 點(diǎn)也一樣點(diǎn)也一樣, ,雖然積分途徑不同雖然積分途徑不同, ,但是積分結(jié)果一樣但是積分結(jié)果一樣. .稱此曲線稱此曲線積分與途徑無(wú)關(guān)積分與途徑無(wú)關(guān)OAB回想回想p197.例例2).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是點(diǎn)點(diǎn)，這這里里有有向向折折線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物

3、物線線為為其其中中計(jì)計(jì)算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 結(jié)果：結(jié)果：上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Gyxo 1LQdyPdx1 、曲線積分與途徑義無(wú)關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA假設(shè)在區(qū)域假設(shè)在區(qū)域G G內(nèi)有內(nèi)有 一、一、 平面曲線積分與途徑無(wú)關(guān)的條件平面曲線積分與途徑無(wú)關(guān)的條件上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 2、平面上曲線積分與途徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件、平面上曲線積分與途徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿D 中恣意光滑閉曲線中恣意光滑閉曲線 L , 有有.0dd LyQ

4、xP(2) 對(duì)對(duì)D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyP LyQxPdd與途徑無(wú)關(guān)與途徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù)那么以下四個(gè)條件等那么以下四個(gè)條件等價(jià)價(jià):在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 闡明闡明: 積分與途徑無(wú)關(guān)時(shí)積分與途徑無(wú)關(guān)時(shí), 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)設(shè)21, LL 21ddddLLyQxPyQxP 1ddLyQxP 21ddLLyQxP0 AB1L2L 2ddL

5、yQxP 1ddLyQxP為為D 內(nèi)恣意兩條由內(nèi)恣意兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線, 那么那么(根據(jù)條件根據(jù)條件(1) BAyQxPdd AByQxPdd 2ddLyQxP上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (2) (3)在在D內(nèi)取定點(diǎn)內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分因曲線積分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 那么那么),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可證同理可證yu ),(yxQ 因此有因此有yQxPudd

6、d 和任一點(diǎn)和任一點(diǎn)B( x, y ),與途徑無(wú)關(guān)與途徑無(wú)關(guān),),(yxxC ),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 那那么么),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 內(nèi)具有延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu 22所以所以從而在從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyP xyuxQyxuyP 22,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (4) (1)設(shè)設(shè)L為為D中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖如圖) ,上上因因此此在在D xQyP 利用

7、格林公式利用格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(dd DDL0所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)樽C畢證畢(1) 沿沿D 中恣意光滑閉曲線中恣意光滑閉曲線 L , 有有.0dd LyQxP(4) 在在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyP 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 留意留意:1.:1.常用常用 來(lái)判別曲線積分與途徑無(wú)關(guān)來(lái)判別曲線積分與途徑無(wú)關(guān); ;2.當(dāng)曲線積分與途徑無(wú)關(guān)時(shí)，常選擇最簡(jiǎn)當(dāng)曲線積分與途徑無(wú)關(guān)時(shí)，常選擇最簡(jiǎn)途徑途徑平行于坐標(biāo)軸的直線段組成的折平行于坐標(biāo)軸的直線段組成的折線作為積分途徑線作為積分途徑;OAB,xQyP 假設(shè)假設(shè)D D是復(fù)連通域是復(fù)連通域, ,即使即使曲線積分也不一定與途

8、徑無(wú)關(guān)。曲線積分也不一定與途徑無(wú)關(guān)。,xQyP 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 1 LyxxxyL. 0dd22閉閉曲曲線線，證證明明是是任任意意一一條條分分段段光光滑滑的的設(shè)設(shè)證證,22xQxyP 令令那那么么yPxQ 因此有因此有 Lyxxxydd22. 022 xx Dyx. 0dd0上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)(),( ,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2yPyxxQ .,選選取取特特殊殊路路徑徑簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化積積分分曲曲線線積積分分與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān).)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的的有有向向折折線線段段L.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(22

9、22的一段有向弧的一段有向弧到到上從上從是是其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分yyxLyyxxyxyL 例例2 2解解xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )0, 1()0,0(22d)(d)21(yyxxyxy )1 , 1()0, 1(22d)(d)21(yyxxyxy 10210d)1(d1yyx.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1L上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二元函數(shù)的全微分求積二、二元函數(shù)的全微分求積1. 1. 原函數(shù)原函數(shù): :假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)假設(shè)存在一個(gè)函數(shù)u(x,y)u(

10、x,y)，使得，使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函數(shù)原函數(shù)全微分式全微分式例如例如xdyydxxyd )(2)(xydxxdyxyd 全微分式全微分式2. 2. 判別定理判別定理定理定理3. 3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)在單連通域在單連通域D D內(nèi)具有一內(nèi)具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dy在在D D內(nèi)為某內(nèi)為某一函數(shù)全微分一函數(shù)全微分 在D內(nèi)恒成立.yPxQ 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.3.全微分求積全微分求積當(dāng)當(dāng)Pdx+QdyPdx+Qdy為全微分式

11、時(shí)，為全微分式時(shí)，求其原函數(shù)求其原函數(shù)u(x,y)u(x,y)的過(guò)程的過(guò)程. . ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu與途徑無(wú)關(guān)，可選平行于坐與途徑無(wú)關(guān)，可選平行于坐標(biāo)軸的折線作為積分途徑標(biāo)軸的折線作為積分途徑. .如圖取如圖取 為積分途徑為積分途徑, ,得得RMM0SMM0如圖取如圖取 為積分途徑為積分途徑, ,得得 yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0),(0yxS),(0yxR),(000yxM),(yxMxyO上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .dd,)0(dd)3 ,3()0 , 1(2222 yxx

12、yyxxyxxyyx分分并并計(jì)計(jì)算算曲曲線線積積求求出出一一個(gè)個(gè)這這樣樣的的函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)的的全全微微分分是是某某個(gè)個(gè)函函內(nèi)內(nèi)在在右右半半平平面面驗(yàn)驗(yàn)證證,),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,0)(22222時(shí)時(shí)恒恒成成立立當(dāng)當(dāng) xyPyxxyxQ.ddd),(22yxxyyxuyxu 使使得得存存在在函函數(shù)數(shù)例例1解解上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),()0 , 1(),0 , 1(積分積分到到從從在右半平面取點(diǎn)在右半平面取點(diǎn)yxxyO),(yxC)0 , 1(A)0 ,(xB BCAByxxyyxyxu22dd),( yxyyxxxx02212dd00.arctanarctan0

13、xyxyy BCAByxxyyxyxxyyx2222dddd)3,3()0, 1()3,3()0, 1(22arctandd xyyxxyyx.3 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx( , )22(1,0)dd( , )x yx y y xu x yxy yyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2 2.dd,:22數(shù)數(shù)的的全全微微分分是是某某個(gè)個(gè)函函面面內(nèi)內(nèi)在在整整個(gè)個(gè)驗(yàn)驗(yàn)證證yyxxxyxOy 解解1,22yxQxyP .2面內(nèi)恒成立面

14、內(nèi)恒成立在整個(gè)在整個(gè)且且xOyxQxyyP yyxxxyyxuyxdd),(2),()0,0(2 取積分道路如圖取積分道路如圖, ,因此因此.dd,22是某個(gè)函數(shù)的全微分是某個(gè)函數(shù)的全微分面內(nèi)面內(nèi)在整個(gè)在整個(gè)yyxxxyxOy )0 ,(xA),(yxBxyO上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ).,( :2yxu函函數(shù)數(shù)還還可可用用下下面面的的方方法法來(lái)來(lái)求求解解 , 2xyxuu 滿滿足足因因?yàn)闉楹瘮?shù)數(shù)故故 xxyud2 ABOAyyxxxyyyxxxydddd2222 yyyx02d0 ),()0,0(22dd),(yxyyxxxyyxu yyyx02d.222yx )(222yyx )0 ,(x

15、A),(yxBxyO上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)(的待定函數(shù)的待定函數(shù)是是其中其中yy ).(2yyxyu 由此得由此得,2yxyuu 必須滿足必須滿足又又故故.)(22yxyyx ,)(, 0)(Cyy 從從而而.222Cyxu 所求函數(shù)為所求函數(shù)為上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ).,(,),()()(2),(0,24224yxuyxujyxxiyxxyyxAx并求并求的梯度的梯度個(gè)二元函數(shù)個(gè)二元函數(shù)為某為某函數(shù)函數(shù)內(nèi)的向量值內(nèi)的向量值使在右半平面使在右半平面確定常數(shù)確定常數(shù) ,)(2),(24 yxxyyxP 記記,)(),(242 yxxyxQ ,d),(d),(),(d),(),(),(),

16、(gradyyxQxyxPyxujyxQiyxPyxAyxu 價(jià)于價(jià)于等等則有則有.,yPxQ 條件是條件是上式成立的充要上式成立的充要區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)在右半平面這個(gè)單連通在右半平面這個(gè)單連通例例3 3解解上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 0)1()(4),(),(22 yxxyxQyxP代代入入上上式式得得將將.1 從而得從而得得得的的折折線線積積分分路路徑徑在在右右半半平平面面內(nèi)內(nèi)取取為為了了求求得得,),()0 ,()0 , 1(),(yxxyxu ),()0, 1(242dd2),(yxyxyxxxyyxuCyyxxxxxyx dd002024214).(arctan2為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCx

17、y )0 ,(x),(yxxyO)0 , 1(上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 *全微分方程及其求法全微分方程及其求法定義定義: :.0d),(d),(稱稱為為全全微微分分方方程程則則方方程程 yyxQxyxPyyxQxyxPyxud),(d),(),(d 假設(shè)有全微分方式假設(shè)有全微分方式例如例如, 0dd yyxx),(21),(22yxyxu 因因?yàn)闉?dd),(dyyxxyxu 所以原方程是全微分方程所以原方程是全微分方程. .xQyP 全微分方程全微分方程上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 全微分方程的解法全微分方程的解法: :，設(shè)全微分方程為設(shè)全微分方程為0d),(d),( yyxQxyxP1 1運(yùn)用曲線積分與途徑無(wú)關(guān)運(yùn)用曲線積分與途徑無(wú)關(guān)，因?yàn)橐驗(yàn)閤QyP 那么全微分方程的通解那么全微分方程的通解為為 yyxxyyxQxyxPyxu00d),(d),(),(0 xyxPyyxQxxyy 00d),(d),(0;C 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 0d)33(d)35(222324 yyxyyxxyxyx求求解解解解,362xQyxyyP 因?yàn)橐驗(yàn)檫@是全微分方程這是