算法初步統(tǒng)計與概率》試題別解與感悟

1、算法初步、統(tǒng)計與概率試題別解與感悟1（廣東，理6，文7）圖1是某縣參加2007年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數(shù)依次記為（如表示身高（單位：cm）在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)）圖2是統(tǒng)計圖1中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個算法流程圖現(xiàn)要統(tǒng)計身高在160180cm（含160cm，不含180cm）的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是（） 圖1圖2開始輸入結(jié)束否是50100150200250300350400450500550600145150155160165170175180185190195人數(shù)/人身高/cm解答途徑：身高在160180cm的學(xué)生人數(shù)，判斷框內(nèi)需填寫循環(huán)

2、的終止條件，下標(biāo)為循環(huán)變量，4為的初始值，7為的終止值，執(zhí)行4次循環(huán)即可得到所需結(jié)果，因此終止條件為故選C解題感悟：本題主要考查條形統(tǒng)計圖和算法的程序框圖由條形統(tǒng)計圖確定算式是基礎(chǔ)，弄清算法流程圖的邏輯結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵，本題用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)來描述算法開始輸入結(jié)束輸出否2（山東，理10，文10）閱讀右邊的程序框圖，若輸入的是100，則輸出的變量和的值依次是（ ）A2500，2500B2550，2550C2500，2550D2550，2500解答途徑：第1次循環(huán)后；第2次循環(huán)后，；，第50次循環(huán)后，故選D解題感悟：本題主要考查得算法流程圖、等差數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，以及數(shù)據(jù)處理能力、語言轉(zhuǎn)換能力和算法思

3、想本題采用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)描述算法解題關(guān)鍵在于弄清循環(huán)體的特征，特別是明確循環(huán)一次后的值就減少了2本題算法的實質(zhì)是等差數(shù)列求和順便指出，2007年海南、寧夏卷理5（文5）采用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)描述算法，與本題同源, 都是課本例題的變式題（參見人教A版數(shù)學(xué)3第14頁例6）.算法初步是新課程高考新增內(nèi)容，算法思想是新課程強(qiáng)調(diào)的基本數(shù)學(xué)思想之一3（海南、寧夏，理11，文12）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤砑椎某煽儹h(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）解答途

4、徑：先計算甲、乙、丙20次測試成績的平均數(shù)：；又,.由于，所以，故選B解題感悟：本題主要考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等基礎(chǔ)知識及運算求解能力上述解答，利用進(jìn)行估算，簡化了運算，節(jié)省了時間4（安徽，理10）以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則概率等于（ ）ABCD解答途徑：，故選B解題感悟：本題主要考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識解題思路是將一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布解題依據(jù)是：對任一正態(tài)總體來說，取值小于的概率，其中表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率上述公式將一般正態(tài)總體化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，蘊涵著化歸與變換的思想方法順便指出，本題是課本例題的變式題（詳見高中數(shù)學(xué)第三冊（選修）第34頁例

5、1）正態(tài)分布試題是近兩年出現(xiàn)的高考題型（2006年湖北卷理19；2007年湖南卷，理5；2007年安徽卷，理10；2007年全國卷，理14；2007年浙江卷，理5），三種題型都有，應(yīng)引起高度關(guān)注！5（福建，理12）如圖，三行三列的方陣中有9個數(shù)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是（ ）ABCD解答途徑：（1）設(shè)“3個數(shù)位于同一行”為事件A，“2個數(shù)位于同一行，第3個數(shù)位于另一行，但這3個數(shù)不位于同一列”為事件B，“2個數(shù)位于同一行，第3個數(shù)位于另一行，且與前2個數(shù)中的1個位于同一列”為事件C則，故所求概率為故選D（2）設(shè)“至少有兩個數(shù)位于同行或同列”為事件D，則表示“每行或每

6、列只有一個數(shù)”，即，故故選D解題感悟：本題主要考查排列、組合與概率的有關(guān)知識解答途徑（1）根據(jù)分類討論的思想，將問題分為兩類：第一類“3個數(shù)位于同一行（或列）”，第二類“2個數(shù)位于同一行（或列），第3個數(shù)位于另一行（或列）”，但第二類中又有兩種情形，即“2個數(shù)位于同一行（或列），第3個數(shù)位于另一行（或列），但這3個數(shù)不位于同一列（或行）”和“2個數(shù)位于同一行，第3個數(shù)位于另一行，但與前2個數(shù)中1個位于同一列”，這種分類思想需要有慎密的邏輯思維能力，否則極易出錯；解答途徑（2）根據(jù)題中出現(xiàn)了“至少”的詞語，因此利用間接法，從問題的反面思考，顯得簡潔6（湖北，理9）連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，

7、記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ）ABCD解答途徑：（1）由，得，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故所求概率為（2）由，得，顯然當(dāng)時有6種可能，根據(jù)對稱性與的可能性相同，即各有15種可能，故所求概率為解題感悟：本題主要考查古典概型，由于把投骰子問題與平面向量知識融為一體，使問題顯得新穎解答途徑（1）采用列舉的方法求解，思路自然;解答途徑（2）采用對稱的方法求解，思路別致7（浙江，理15）隨機(jī)變量的分布列如下：其中成等差數(shù)列，若，則的值是 解答途徑：（1）由成等差數(shù)列，得解得，則（2）求同（1），則（3）由成等差數(shù)列，得解得，則解題感悟：本題主要考查隨機(jī)變量期望與方差的計算解答途徑（1）、（2）根據(jù)

8、條件求出后，分別利用方差的定義與性質(zhì)求解，解答途徑（3）則利用方差的性質(zhì)與整體思想求解，顯示出解題的簡捷性8（山東，理18）設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實根的個數(shù)（重根按一個計）（）求方程有實根的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程有實根的概率別解途徑：（）的所有可能取值有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4

9、，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36種要使方程有實根，必須滿足，符合條件的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共19種因此方程 有實根的概率為（）的取值為0，1，2由（）知當(dāng)時，符合條件的有（2，1），（4，4），共2種，即，進(jìn)而故的分布列為012的數(shù)學(xué)期望（

10、）先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的可能結(jié)果有（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共11種，其中使方程有實根的結(jié)果有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共7種故在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程有實根的概率為解題感悟：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望，考查條件概率的計算本題第（）問中關(guān)于條件概率的計算,標(biāo)準(zhǔn)答案中采用定義，別解途徑根據(jù)古典概型計算公式，采用列舉法直接求解9（天津，理18）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同

11、的2個紅球和4個黑球現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球（）求取出的4個球均為黑球的概率；（）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；（）設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望別解途徑：第（）小題:（1）記甲盒內(nèi)紅球為號，3個黑球依次為，號，乙盒內(nèi)紅球為，號，黑球依次為，號，則從甲盒內(nèi)取出2個球的所有結(jié)果為，其中所取2個球均為黑球的概率為；從乙盒內(nèi)取出2個球的所有結(jié)果為，其中所取2個球均為黑球的概率為故取出的4個球均為黑球的概率為（2）記“從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球，至少有1個一球”為事件M，“從甲盒內(nèi)取2個球，1個黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取2個球，均為黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取2個球，1

12、個紅球，1個黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取2個球，均為紅球”為事件，“從乙盒內(nèi)取2個球，均為黑球”為事件，則，故，從而取出的4個球均為黑球的概率為（3）記“從甲盒中取2個球，1個紅球，1個黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取2個球，1個紅球，1個黑球”為事件B，“從乙盒內(nèi)取2球均為紅球”為事件C，則，故取出的4個球均為黑球的概率為第（）小題：（1）由第（）小題別解途徑（1）可知，從甲盒內(nèi)取出2個球均為黑球的概率為；從甲盒內(nèi)所取2個球，1個紅球，1個黑球的概率為；從乙盒內(nèi)取出2個球均為黑球的概率為；從乙盒內(nèi)所取2個球，1個紅球，1個黑球的概率為故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為（2）由第（）小題別解途徑（

13、2）可知，故取出的4個球中有1個紅球的概率為第（）小題：的取值為0,1，2,3由（）、（）得，由第（）問別解途徑（2），可知，從而0123故的分布列為解題感悟：本題主要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查分類思想、運算求解能力及運用概率知識解決實際問題的能力第（）小題,別解途徑（1）采用列舉法求解，別解途徑（2）、（3）先求對立事件的概率，將事件分解為互斥事件的和或相互獨立事件的積是關(guān)鍵就本問而言，標(biāo)準(zhǔn)答案更為簡捷第（）小題，別解途徑（1）、（2）分別與第（）小題別解途徑(1)、（2）一脈相承，關(guān)鍵在于將“取出的4個球中恰有1個紅球”分為兩類：一類是“從

14、甲盒內(nèi)取1個紅球、1個黑球，從乙盒內(nèi)取2個黑球”；另一類是“從甲盒內(nèi)取2個黑球，從乙盒內(nèi)取1個紅球、1個黑球”第（）小題，別解途徑以第（）、（）小題別解途徑（2）為基礎(chǔ)，先求，再由分布列性質(zhì)求10（海南、寧夏，理20）如圖，面積為的正方形中有一個不規(guī)則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設(shè)正方形的邊長為2，的面積為1，并向正方形中隨機(jī)投擲個點，以表示落入中的點的數(shù)目（I）求的均值；（II）求用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率附表：別解途徑：（）記“向正方形ABCD中隨機(jī)投擲1個點，該點落入圖形M中”為

15、事件A由幾何概型求概率的公式得依題意，可知隨機(jī)變量的分布列為：故（）的面積的估計值與實際值之差為因為為隨機(jī)變量，所以也是隨機(jī)變量由，得所以解題感悟：本題主要考查幾何概型、離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）、二項分布等基礎(chǔ)知識，以及用隨機(jī)模擬方法近似估計不規(guī)則圖形的面積本題源于課標(biāo)參考案例（可參見人教A版數(shù)學(xué)3第145頁例3），將幾何概型與二項分布巧妙結(jié)合，新穎突俗第（）問，標(biāo)準(zhǔn)答案直接運用二項分布的均值公式，簡潔明快；別解途徑暴露二項分布的均值公式的形成過程，用心良苦11（北京，理18） 123 10 20 30 4050參加人數(shù)活動次數(shù)某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下

16、簡稱活動）該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示（I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；（II）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望別解途徑：（）略；（）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)不相等包括三種情況：兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動；兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動；兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動因此，從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)不相等的概率是，故他們兩人參加活動次數(shù)恰好相等的概率為（）的取值為0,

17、1，2由（）知由于“”表示“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”，所以由分布列性質(zhì)，得012故的分布列為解題感悟：本題主要考查統(tǒng)計圖表、離散型隨機(jī)變量的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）等基礎(chǔ)知識，以及運算求解能力和分類討論思想本題求解的關(guān)鍵在于計算隨機(jī)事件的概率第（）問別解途徑中概率的計算用到了對立事件概率的計算方法；第（）問別解途徑中應(yīng)用了分布列的性質(zhì)，簡化了運算過程本題的標(biāo)準(zhǔn)答案，在概率計算時采用直接思路，別解途徑采用間接思路12（廣東，理17，文18）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)34562.5344.5（1）

18、請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）已知該廠技改前噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：）別解途徑：第（）問，略第（）問，（1）公式法：直接代入線性回歸方程的系數(shù)公式求出、的值由平均數(shù)計算公式得，所以=，因此，所求的線性回歸方程為（2）配方法，設(shè)所求的線性回歸方程為，則配方得當(dāng)，且，即時，取最小值故所求線性回歸方程為第（）問由回歸方程可預(yù)測技改后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為（噸標(biāo)準(zhǔn)煤），故技改后降低的生產(chǎn)能耗為9070.3519.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤解題感悟：本題主要考查平均數(shù)、線性回歸方程等基礎(chǔ)知識，