一次回歸正交設(shè)計(jì)(共33頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五講回歸設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析設(shè)目標(biāo)性狀y與z1、z2zm等因素有關(guān)，我們可以應(yīng)用回歸分析的方法建立y與諸因素的回歸方程，以此對y進(jìn)行預(yù)測和控制，或篩選y的最優(yōu)指標(biāo)。z1、z2zm構(gòu)成一個(gè)因子空間，每一組z1、z2zm值對應(yīng)一個(gè)y值。如何在因子空間中選擇最適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)，以最少的試驗(yàn)點(diǎn)尋求y的最優(yōu)區(qū)域，這就要將回歸分析與正交設(shè)計(jì)結(jié)合起來應(yīng)用，稱為回歸正交設(shè)計(jì)。按回歸模型的次數(shù)，回歸正交設(shè)計(jì)又分為一次回歸正交設(shè)計(jì)和二次回歸正交設(shè)計(jì)。一、一次回歸正交設(shè)計(jì)一次回歸正交設(shè)計(jì)主要是應(yīng)用2水平正交表進(jìn)行設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)和分析步驟如下。1確定試驗(yàn)因素的變化范圍例如研究m個(gè)栽培因素z1、z2zm

2、與作物產(chǎn)量y的數(shù)量關(guān)系，首先需確定各個(gè)栽培因素的變化范圍。設(shè)因素zj的變化區(qū)間為(z1j，z2j)，則z1j和z2j分別為因素zj的下水平和上水平。那么 為因素zj的零水平。 為因素zj的變化區(qū)間。2.對各因素的水平編碼編碼就是對各個(gè)因素的取值作如下線性變換： 式中xj為編碼值。如：這樣就建立了zj與xj的一一對應(yīng)關(guān)系：下水平 z1j x1j (-1)零水平 z0j x0j (0 )上水平 z0j x0j (+1)通過上面的編碼可知，當(dāng)zj在區(qū)間(z1j，z2j)變化時(shí)，它的編碼值xj就在區(qū)間(-1，+1)內(nèi)變化。多個(gè)因素的編碼工作可在因素水平編碼表(表1)上進(jìn)行。表1 因素水平編碼表zj因

3、素Z1Z2Zm下水平Z11Z12Z1m零水平Z01Z02Z0m上水平Z21Z22Z2m變化間距j12m對因素的水平進(jìn)行編碼后，y對z1、z2zm的回歸問題就轉(zhuǎn)化為對x1、x2xm的回歸問題。在z1、z2zm因子空間選擇試驗(yàn)點(diǎn)的問題就轉(zhuǎn)化為x1、x2xm為坐標(biāo)軸的編碼空間選擇試驗(yàn)點(diǎn)。在二次回歸設(shè)計(jì)中也要進(jìn)行因素的編碼工作。3.選擇合適的二水平正交表常用的二水平正交表有L4(23)、L8(27)、L12(211)、L16(215)等。選用哪一種二水平正交表要依據(jù)因素個(gè)數(shù)及需要研究的交互作用而定。正交表確定以后，把表中的“2”改為“-1”。這樣正交表中的“+1”“-1”既表示因素的不同水平，也表示x

4、j的取值。表2列舉了經(jīng)代換后的幾張常用二水平正交表。表2 常用二水平正交表L4(23)試驗(yàn)號x1x 3x3111121-1-13-11-14-1-11L8(27)試驗(yàn)號x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3x1 x2 x311111111211-11-1-1-131-11-11-1-141-1-1-1-1115-111-1-11-16-11-1-11-117-1-111-1-118-1-1-1111-1L12(211)試驗(yàn)號x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11111111111111211111-1-1-1-1-1-1311-1-1-1111-1-1-141-11-1-11-1

5、-111-151-1-11-1-11-11-1161-1-1-11-1-11-1117-11-1-111-1-11-118-11-11-1-1-1111-19-111-1-1-11-1-11110-1-1-11111-1-11-111-1-11-11-1111-1-112-1-111-11-11-1-11如設(shè)計(jì)一個(gè)3因素試驗(yàn)，可選用L8(27)正交表，表中x1、x2、x3分別代表z1、z2、z3的編碼值。若因素間有互作存在，在回歸中可用非線性項(xiàng)x1 x2、x1 x3、x2 x3等表示。每種交互作用占改造后二水平正交表的1列，該列的取值可由某兩列上元素對應(yīng)相乘得到。如表2 L8(27)中x1 x

6、2列的元素是由x1與 x2列上的對應(yīng)元素相乘而得。用二水平正交表設(shè)計(jì)的這種試驗(yàn)具有正交性。若以表示在第試驗(yàn)中第j個(gè)變量的編碼值，于是在試驗(yàn)計(jì)劃中有任一列的和任兩列的內(nèi)積具有以上兩個(gè)性質(zhì)的設(shè)計(jì)為正交設(shè)計(jì)。4.建立回歸方程對于3因素試驗(yàn)，若考慮因素間的交互作用，則回歸方程為例如用L8(27)正交表設(shè)計(jì)該試驗(yàn)，那么它的結(jié)構(gòu)矩陣為信息矩陣(系數(shù)矩陣)為相關(guān)矩陣為常數(shù)項(xiàng)矩陣為為試驗(yàn)結(jié)果，于是可算出回歸系數(shù)矩陣那么各類回歸系數(shù)即由下式算出 回歸系數(shù)的具體計(jì)算可在正交表上進(jìn)行(表3).表中bj為各回歸系數(shù)，Qj為偏回歸平方和。從而建立回歸方程。專心-專注-專業(yè)表3 3因素一次回歸正交設(shè)計(jì)計(jì)算表試驗(yàn)號x0x1

7、x2x3x1 x2x1 x3x2 x3試驗(yàn)結(jié)果11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8Bj8888888B0/8B1/8B2/8B3/8B12/8B13/8B23/8-從以上計(jì)算可看出，各變量的偏回歸平方和，與偏回歸系數(shù)bj的平方成正比。bj的絕對值越大，Qj也越大。這就意味著，在利用正交表所得到的回歸方程中，每一個(gè)回歸系數(shù)bj的絕對值大小，反映了對應(yīng)變量xj對y作用的大小。這是因?yàn)榻?jīng)過無量綱編碼后，所以變量的取值都是1和-1，

8、它們在所研究的區(qū)域內(nèi)取值是平等的，且不受單位的影響，因此所求回歸系數(shù)bj直接反映了因素zj作用的大小，回歸系數(shù)的符號反映因素作用的性質(zhì)。在要求不太高的情況下，一次回歸正交設(shè)計(jì)可省略方差分析，直接把回歸系數(shù)與零相差不大的因素從回歸方程中剔除，不需重新計(jì)算其它回歸系數(shù)，剔除因素對結(jié)果的影響可并入試驗(yàn)誤差。但對精度要求較高的試驗(yàn)，應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行回歸關(guān)系的顯著性測驗(yàn)。5.回歸方程及回歸系數(shù)的顯著性測驗(yàn)一次回歸正交設(shè)計(jì)的方差分析如表4。表4 一次回歸正交設(shè)計(jì)的方差分析表變異來源自由度平方和均方F值回 歸離回歸總x11xm1x1 x21xm-1 xm1對回歸方程的顯著性假設(shè)測驗(yàn)可通過表4中的F測驗(yàn)進(jìn)行。但這種

9、測驗(yàn)只是說明m個(gè)變量對試驗(yàn)結(jié)果的影響是顯著的，而在研究區(qū)域內(nèi)回歸方程與實(shí)測值的擬合情況，即采用一次回歸模型是不是最合適，從以上測驗(yàn)中沒有得到這方面的信息。為了了解回歸方程的擬合情況，需在零水平()安排一些重復(fù)試驗(yàn)，如在安排p次重復(fù)試驗(yàn)所得試驗(yàn)結(jié)果為，其平均數(shù)為，則 由此可用t測驗(yàn)對回歸方程中的擬合情況進(jìn)行測驗(yàn)： 若求得，則認(rèn)為b0與無顯著差異，一次回歸方程與實(shí)測值擬合得較好。反之，就認(rèn)為用一次回歸來描述問題不夠確切，可考慮建立高次方程。擬合度測驗(yàn)也可通過F測驗(yàn)進(jìn)行： 若F1<F0.05，則說明回歸方程的擬合度較好。一般先進(jìn)行擬合測驗(yàn)，在方程擬合情況較好的情況下，再進(jìn)行回歸方程的顯著性測驗(yàn)

10、。故將擬合度測驗(yàn)的F值記作F1，而回歸顯著性測驗(yàn)的F值記作F2?；貧w系數(shù)的顯著性測驗(yàn)可由表4的F測驗(yàn)進(jìn)行，也可通過t檢驗(yàn)給出。 服從的t分布。<例>研究氮、磷、鉀施用量對大豆籽粒產(chǎn)量的影響，試作一次回歸正交設(shè)計(jì)，并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。1.確定各試驗(yàn)因素水平并進(jìn)行編碼首先各因素的上、下水平，將3個(gè)因素的變化范圍分別定在(2,6)、(3,9)、(3,9)，單位為斤/畝。然后計(jì)算各因素的零水平和變化間距，列出因素水平編碼表(表5)。表5因素水平編碼表因素變化間距水平編碼-10+1z1氮(尿素)2斤/畝246z2磷(三料磷)3斤/畝369z3鉀(硫酸鉀)3斤/畝3692.制定實(shí)施方案選擇L

11、8(27)正交表，實(shí)施方案如表6。表6 氮、磷、鉀肥料三因素試驗(yàn)實(shí)施方案試驗(yàn)號試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣 實(shí)施方案x1x2x3尿素(斤/畝)三料磷(斤/畝)硫酸鉀(斤/畝)1111699211-169331-1163941-1-16335-1112996-11-12937-1-112398-1-1-12339000466100004661100046612000466為對回歸方程進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)，增設(shè)4個(gè)零水平試驗(yàn)。經(jīng)實(shí)施后，試驗(yàn)結(jié)果及結(jié)構(gòu)矩陣列于表7。為計(jì)算常數(shù)項(xiàng)b0，在試驗(yàn)結(jié)構(gòu)矩陣中添上x0列，取值皆為1。表7 試驗(yàn)結(jié)構(gòu)及數(shù)據(jù)分析試驗(yàn)號x0x1x2x3x1 x2x1 x3x2 x3y(公斤/畝)11111

12、111155.32111-11-1-1180.7311-11-11-1180.7411-1-1-1-11178.351-111-1-11121.761-11-1-11-1153.671-1-111-1-1112.081-1-1-1111116.191000000158.3101000000163.3111000000166.0121000000150.81836.8191.624.2-59.0-70.213-55.612888888153.123.953.025-7.375-8.7751.625-6.95-4588.8273.205435.125616.00521.125386.423.計(jì)算回

13、歸系數(shù)，建立回歸方程產(chǎn)量結(jié)果列在表7的最后一列。計(jì)算可在表7上進(jìn)行。各項(xiàng)數(shù)值的計(jì)算過程如下： 由以上計(jì)算得如下回歸方程：4.回歸方程的假設(shè)測驗(yàn)先計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 首先對回歸方程的擬合度進(jìn)行測驗(yàn)，可用F測驗(yàn)和t測驗(yàn)兩種方法。(1)F測驗(yàn)(2)t測驗(yàn)以上兩種測驗(yàn)都說明建立的回歸方程與實(shí)際情況吻合較好，可以用一元回歸描述。進(jìn)一步測驗(yàn)回歸方程的顯著性，在方差分析表(表8)中進(jìn)行，測驗(yàn)表明所得回歸方程達(dá)0.01極顯著水平。表8方差分析變異來源自由度平方和均方F值Fo.o1回歸66120.71020.1213.0810.67離回歸5389.8977.98總116510.59回歸系數(shù)的顯著性測驗(yàn)(1)t測驗(yàn)計(jì)算各回歸系數(shù)的t值如下:查表得(2) F測驗(yàn)查表得與t測驗(yàn)結(jié)果相同。將不顯著的變量x2和x1 x3從回歸方程中剔除，則回歸方