三角形輔助線拓展習(xí)題一(共11頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形問(wèn)題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線

2、段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等【方法精講】常用輔助線添加方法倍長(zhǎng)中線 ABC中 方式1： 延長(zhǎng)AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長(zhǎng) 作CFAD于F， 延長(zhǎng)MD到N， 作BEAD的延長(zhǎng)線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD1. （全等）如圖，點(diǎn)是中點(diǎn)，求證：2. （全等）如圖，在中，是邊的中線.求證：3. （全等）如

3、圖，在中，平分，為的中點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于.求證：4. （全等）如圖，等腰直角與等腰直角，為中點(diǎn)，連接、.探究、的關(guān)系.7.如圖1，正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn).操作：將三角板中的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，使這個(gè)角落在的內(nèi)部，兩邊分別與正方形的邊、交于、.當(dāng)、的位置發(fā)生變化時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)測(cè)量并回答，每組、三條線段中，哪一條線段是中始終最長(zhǎng).以、這三條線段能否組成以為斜邊的直角三角形？若能，請(qǐng)你證明；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由.探究：如圖2，點(diǎn)是斜線的中點(diǎn)，當(dāng)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，使這個(gè)角在的內(nèi)部繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你證明.2、 截長(zhǎng)補(bǔ)短 截長(zhǎng)補(bǔ)短法遇到求證一條線段等于另兩 條線段之和，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短

4、法 截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；  補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。（截長(zhǎng)為兩短，一段為一短，另一證全等，補(bǔ)短與長(zhǎng)等，還是用全等） 截長(zhǎng)法：（1）過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線  （2）在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等 補(bǔ)短法:（1）延長(zhǎng)短邊。（2）通過(guò)旋轉(zhuǎn)使兩短邊拼合到一起。  這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】 已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【例

5、2】 如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【例3】 如圖2-9所示已知正方形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，且BAE=2DAM求證：AE=BC+CE分析證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種：(1)通過(guò)添輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和()，再證所構(gòu)造的線段與求證中那一條線段相等(2)通過(guò)添輔助線先在求證中長(zhǎng)線段()上截取與線段中的某一段(如)相等的線段，再證明截剩的部分與線段中的另一段()相等 【例4】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【例5】 五邊形A

6、BCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求證：AD平分CDE【例6】 如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng) 變形：在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎

7、？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示） 板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 由已知條件可以想到將折線“拉直”成，利用角平分線可以構(gòu)造全等三角形.同樣地，將拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要說(shuō)明的是，無(wú)論采取哪種方法，都體現(xiàn)出關(guān)于角平分線“對(duì)稱”的思想. 上述方法我們分別稱之為“補(bǔ)短法”和“截長(zhǎng)法”，它們是證明等量關(guān)系時(shí)優(yōu)先考慮的方法.【例8】 在正內(nèi)取一點(diǎn)，使，在外取一點(diǎn)，使，且，求. 借助角平分線造全等幾何問(wèn)題中,若出現(xiàn)角平分線這一條件時(shí),可聯(lián)想角平分

8、線的特性,靈活利用角平分線的特性來(lái)解決問(wèn)題.1.顯“距離”, 用性質(zhì) 很多時(shí)候,題意中只給角平分線這個(gè)條件,圖上并沒有出現(xiàn)“距離”,而角平分線性質(zhì)的運(yùn)用又離不開這個(gè)“距離”,所以同學(xué)們應(yīng)大膽地讓“距離”現(xiàn)身（過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段）例：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，你知道這是為什么嗎？ 分析：我們知道兩條直線是交于一點(diǎn)的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過(guò)前兩條角平分線的交點(diǎn) 已知：如圖，ABC的角平分線AD與BE交于點(diǎn)I，求證：點(diǎn)I在ACB的平分線上 【例2】已知：如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P，PDBM于D，PFBN于F求證：BP為MB

9、N的平分線 【分析】要證BP為MBN的平分線，只需證PD=PF，而PA、PC為外角平分線，故可過(guò)P作PEAC于E根據(jù)角平分線性質(zhì)定理有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問(wèn)題得證 2.構(gòu)距離,造全等有角平分線時(shí)常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊引垂線，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等,可構(gòu)造處相應(yīng)的全等三角形而巧妙解決問(wèn)題例3ABC中，C=90°，AC=BC，DA平分CAB交BC于D點(diǎn)，問(wèn)能否在AB上確定一點(diǎn)E使BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)請(qǐng)說(shuō)明理由例4如圖，B=C=90°，M是BC上一點(diǎn)，且DM平分ADC，AM平分DAB求證：AD=CD+AB 3.巧翻折, 造全等以角平分線為對(duì)稱軸，構(gòu)造兩三角形全等即在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形例5.如圖，已知ABC中BAC=90°，AB=AC，CD垂直于ABC的平分線BD于D，BD交AC于E，求證：BE=2CD 分析：要證BE=2CD，想到要構(gòu)造等于2CD的線段，結(jié)合角平分線，利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重疊到BA所在的直線上，即構(gòu)造全等三角形（BCDBFD），然后證明BE和CF（2CD）所在的三角形全等 例6.如圖，已知ACBD、EA、EB分別平分