三角形輔助線拓展習(xí)題一(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線

2、段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等【方法精講】常用輔助線添加方法倍長(zhǎng)中線 ABC中 方式1： 延長(zhǎng)AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長(zhǎng) 作CFAD于F， 延長(zhǎng)MD到N， 作BEAD的延長(zhǎng)線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD1. （全等）如圖，點(diǎn)是中點(diǎn)，求證：2. （全等）如圖，在中，是邊的中線.求證：3. （全等）如

3、圖，在中，平分，為的中點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于.求證：4. （全等）如圖，等腰直角與等腰直角，為中點(diǎn)，連接、.探究、的關(guān)系.7.如圖1，正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn).操作：將三角板中的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，使這個(gè)角落在的內(nèi)部，兩邊分別與正方形的邊、交于、.當(dāng)、的位置發(fā)生變化時(shí)，請(qǐng)你通過測(cè)量并回答，每組、三條線段中，哪一條線段是中始終最長(zhǎng).以、這三條線段能否組成以為斜邊的直角三角形？若能，請(qǐng)你證明；若不能，請(qǐng)你說明理由.探究：如圖2，點(diǎn)是斜線的中點(diǎn)，當(dāng)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，使這個(gè)角在的內(nèi)部繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你證明.2、 截長(zhǎng)補(bǔ)短 截長(zhǎng)補(bǔ)短法遇到求證一條線段等于另兩 條線段之和，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短

4、法 截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；  補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。（截長(zhǎng)為兩短，一段為一短，另一證全等，補(bǔ)短與長(zhǎng)等，還是用全等） 截長(zhǎng)法：（1）過某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線  （2）在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等 補(bǔ)短法:（1）延長(zhǎng)短邊。（2）通過旋轉(zhuǎn)使兩短邊拼合到一起。  這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】 已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【例

5、2】 如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【例3】 如圖2-9所示已知正方形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，且BAE=2DAM求證：AE=BC+CE分析證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種：(1)通過添輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和()，再證所構(gòu)造的線段與求證中那一條線段相等(2)通過添輔助線先在求證中長(zhǎng)線段()上截取與線段中的某一段(如)相等的線段，再證明截剩的部分與線段中的另一段()相等 【例4】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【例5】 五邊形A

6、BCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求證：AD平分CDE【例6】 如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng) 變形：在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎

7、？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示） 板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 由已知條件可以想到將折線“拉直”成，利用角平分線可以構(gòu)造全等三角形.同樣地，將拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現(xiàn)出關(guān)于角平分線“對(duì)稱”的思想. 上述方法我們分別稱之為“補(bǔ)短法”和“截長(zhǎng)法”，它們是證明等量關(guān)系時(shí)優(yōu)先考慮的方法.【例8】 在正內(nèi)取一點(diǎn)，使，在外取一點(diǎn)，使，且，求. 借助角平分線造全等幾何問題中,若出現(xiàn)角平分線這一條件時(shí),可聯(lián)想角平分

8、線的特性,靈活利用角平分線的特性來解決問題.1.顯“距離”, 用性質(zhì) 很多時(shí)候,題意中只給角平分線這個(gè)條件,圖上并沒有出現(xiàn)“距離”,而角平分線性質(zhì)的運(yùn)用又離不開這個(gè)“距離”,所以同學(xué)們應(yīng)大膽地讓“距離”現(xiàn)身（過角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段）例：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，你知道這是為什么嗎？ 分析：我們知道兩條直線是交于一點(diǎn)的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過前兩條角平分線的交點(diǎn) 已知：如圖，ABC的角平分線AD與BE交于點(diǎn)I，求證：點(diǎn)I在ACB的平分線上 【例2】已知：如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P，PDBM于D，PFBN于F求證：BP為MB

9、N的平分線 【分析】要證BP為MBN的平分線，只需證PD=PF，而PA、PC為外角平分線，故可過P作PEAC于E根據(jù)角平分線性質(zhì)定理有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問題得證 2.構(gòu)距離,造全等有角平分線時(shí)常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊引垂線，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等,可構(gòu)造處相應(yīng)的全等三角形而巧妙解決問題例3ABC中，C=90°，AC=BC，DA平分CAB交BC于D點(diǎn)，問能否在AB上確定一點(diǎn)E使BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)請(qǐng)說明理由例4如圖，B=C=90°，M是BC上一點(diǎn)，且DM平分ADC，AM平分DAB求證：AD=CD+AB 3.巧翻折, 造全等以角平分線為對(duì)稱軸，構(gòu)造兩三角形全等即在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形例5.如圖，已知ABC中BAC=90°，AB=AC，CD垂直于ABC的平分線BD于D，BD交AC于E，求證：BE=2CD 分析：要證BE=2CD，想到要構(gòu)造等于2CD的線段，結(jié)合角平分線，利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重疊到BA所在的直線上，即構(gòu)造全等三角形（BCDBFD），然后證明BE和CF（2CD）所在的三角形全等 例6.如圖，已知ACBD、EA、EB分別平分