第三章穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

1、Sunday, February 06, 20221第五節(jié) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)Sunday, February 06, 20222一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務(wù)之一。穩(wěn)定的充要條件和屬性q 穩(wěn)定的基本概念： 設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作

2、用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng) 。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。Sunday, February 06, 20223q 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復根?；蛘哒f，特征方程的根應全部位于s平面的左半部，則系統(tǒng)的暫態(tài)分量隨時間增加逐漸消失為零，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果有一個或一個以上的閉環(huán)特征根位于s平面右半部或虛軸上，則此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的充要條件和屬性穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定mIeRS平面Sunday, February 06, 20224充要條件說明

3、 如果特征方程中有一個正實根，它所對應的指數(shù)項將隨時間單調(diào)增長； 如果特征方程中有一對實部為正的共軛復根，它的對應項是發(fā)散的周期振蕩。 上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果特征方程中有一個零根，它所對應于一個常數(shù)項，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)； 如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。 從控制工程的角度認為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定mIeRS平面Sunday, February 06, 20225Sunday, February 06, 20226充要條件說明注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性

4、，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點有關(guān)，與零點無關(guān)。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為 則該系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為：1、特征多項式所有的系數(shù)符號相同；2、特征多項式所有系數(shù)都不為零。 （無缺項）如果系統(tǒng)的特征方程成不滿足上述條件，則可立即斷定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果滿足上述條件，系統(tǒng)不一定是穩(wěn)定的，因為它只是必要條件。01110nnnnasasasaSunday, February 06, 20227sssss234)5(10)( (1)4)(1(1)( (4)2ssss43)( (3)3ssks1210)( (2)23ssss不穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定 但對于三階或以上系

5、統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。Sunday, February 06, 20228二、 勞斯穩(wěn)定性判據(jù)（一）勞斯判據(jù) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為01110nnnnasasasa勞斯陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，項系數(shù)組成，第二行為2，4，6，項系數(shù)組成。勞斯判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列各元素嚴格為正。反之，如果第一列出現(xiàn)小于或等于零的元素，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各元素符號的改變次數(shù)，代表特征方程正實部根的數(shù)目。Sunday, February 06, 20229Sunday, February 06, 202210例：

6、系統(tǒng)特征方程為 ，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，確定正實部根的個數(shù)。05432234ssss解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且第一列數(shù)字元素有兩次變號，故系統(tǒng)有兩個正實部的根。Sunday, February 06, 202211例：系統(tǒng)特征方程為 ，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。02233234ssss解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且第一列數(shù)字元素有兩次變號，故系統(tǒng)有兩個正實部的根。 為了簡化計算，用某個正數(shù)去乘或除勞斯表中任意一行的系數(shù)，并不會改變系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。Sunday, February 06, 202212 在運用勞斯判據(jù)判斷判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時，有時會遇到

7、兩種特殊情況，這時必須進行一些相應的數(shù)學處理。（1）勞斯陣列某一行中的第一列數(shù)字元素等于零，而該行的其余各列元素不為零或不全為零。處理辦法：用一個小正數(shù) 來代替該行第一列元素零，據(jù)此算出其余各項元素，完成勞斯陣列的排列。如果 與其上項或下項元素的符號相反，則記作一次符號變化。如果勞斯陣列第一列元素的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該系統(tǒng)在S右半平面上特征根的數(shù)目，表明該系統(tǒng)不穩(wěn)定。Sunday, February 06, 202213例：系統(tǒng)特征方程為 ，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0122234ssss解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素有兩次變號，因此系統(tǒng)有兩個正實部的根。Sunday,

8、February 06, 202214例：系統(tǒng)特征方程為 ，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0433234ssss解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素有兩次變號，因此系統(tǒng)有兩個正實部的根。Sunday, February 06, 202215（2）勞斯陣列某一行的所有元素全部為零 這種情況表明系統(tǒng)的特征方程存在著大小相等而徑向位置相反的根，至少存在下述幾種特征根之一，比如大小相等、符號相反的一對實數(shù)，或共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復根。這說明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定的。處理辦法：利用該全零行的上一行元素構(gòu)成一個輔助方程，并將該輔助方程對復變量s求導，用求導以后方程的系數(shù)取代全零行元素，繼續(xù)勞斯

9、陣列的排列。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它的根即為那些大小相等而徑向位置相反的根。Sunday, February 06, 202216例：系統(tǒng)特征方程為 ，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。022332345sssss解：列勞斯表，即023)(24sssQ顯然，系統(tǒng)不穩(wěn)定。用 一行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程：4s對s求導后得到新方程：0643 ssSunday, February 06, 202217其系數(shù)（即4和6）代替第三行全為零的元素，然后繼續(xù)進行計算Sunday, February 06, 202218 可見，系統(tǒng)雖不穩(wěn)定，但第一列數(shù)字元素并不變號，所以系統(tǒng)沒有在右半S平面的根。實際上系統(tǒng)有位于虛軸上的純虛

10、根，可由輔助方程求得。 系統(tǒng)的輔助方程為02324 ss 則有0)2)(1(22ss 故系統(tǒng)的純虛根為24, 32, 1jsjsSunday, February 06, 202219例：系統(tǒng)特征方程為0161620128223456ssssss解：列勞斯表，即試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用 行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程：4s01612224ss上式對s求導，得02483ssSunday, February 06, 202220 第一列元素沒有符號變化，表明該系統(tǒng)在S右半平面沒有特征根，但是具有共軛虛根。 解輔助方程可得共軛虛根為：224, 32, 1jsjsSunday, February 06,

11、202221例：已知系統(tǒng)的特征為02245sss解：特征方程中s的各次冪的系數(shù)不全為正，則不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。列勞斯表計算S右半平面的特征根數(shù)：試應用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；如不穩(wěn)定，求出系統(tǒng)在S右半平面的特征根數(shù)。Sunday, February 06, 202222勞斯表第一列元素變號一次，說明系統(tǒng)有一個正根。20162200800202101012345ssssss022)(4 ssF利用此行構(gòu)造輔助方程083s求導得改第一列元素0為任意小的正數(shù) ，繼續(xù)計算勞斯表。Sunday, February 06, 202223jss4,32, 11014s解輔助方程 ，得

12、利用輔助方程和多項式除法，特征方程變?yōu)?)1)(2(4ss所以特征方程得另一個根為25sSunday, February 06, 202224三、 穩(wěn)定性判據(jù)的應用1、參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以確定個別參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。例：設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下，試確定滿足穩(wěn)定要求時 的臨界值和開環(huán)放大倍數(shù)臨界值 。gKcKSunday, February 06, 202225解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為ggggKsssKKsssKs23)2)(1()(23其特征方程為023)(23gKssssD為使系統(tǒng)穩(wěn)定，應有（1）特征方程各系數(shù)均大于零，即要求

13、。（2）滿足關(guān)系式 ，即 ，則有0gK03021aaaa0123gK6gKSunday, February 06, 202226因此，滿足穩(wěn)定要求時， 的取值范圍是 ，故 的臨界值為6。gK60gKgK由于系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù) ，因此開環(huán)放大倍數(shù)的臨界值2gKK 3cK 可見， 越大，越接近 ，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越差，當 時，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。KcKK cKSunday, February 06, 202227例：設(shè)系統(tǒng)特征方程式解：列勞斯表，即0100102234sTsss試按穩(wěn)定要求確定T的取值范圍。100052001010050102100101234sTsTssTs5T25T25TSunda

14、y, February 06, 2022282、檢驗穩(wěn)定裕度 zs 將S平面的虛軸向左移動某個數(shù)值，即令 ( 為正實數(shù))，并代入特征方程中，得到 的多項式。利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)對新的特征多項式進行判別，即可檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，即相對穩(wěn)定性。若新特征方程式的所有根均在新虛軸之左，則說明系統(tǒng)至少具有穩(wěn)定裕量 。zSunday, February 06, 202229例：系統(tǒng)的特征方程為 ，試檢驗系統(tǒng)是否具有 的穩(wěn)定裕量。1041310223sss解：首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（1）所有系數(shù)均大于零。（2） 所以原系統(tǒng)穩(wěn)定。012242131030212aaaaD014223zzz將 代入特征方程可得：1z

15、zsSunday, February 06, 202230014223zzz 可見，第一列數(shù)字元素符號改變一次，因此有一個特征根在 （即新虛軸）右邊，故穩(wěn)定裕量達不到1。1sSunday, February 06, 202231)(sR)(sC) 1)(12 . 0(sssK例：下圖是某控制系統(tǒng)的方塊圖，若系統(tǒng)以 的角頻率作等幅振蕩，試確定此時K和 的值。srad /5 解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為0)2 . 0(2 . 023KsssSunday, February 06, 202232勞斯行列表為：0123ssssKKK 0 2 .02 .01 2 .0 1 .20 系統(tǒng)作等幅振蕩，所以存在一對虛根。且 ，這相當于勞斯陣列中有一行全為0，在本例中，要求 行為0，而第一列