1.2—定積分的概念與性質(zhì)ppt課件

1、第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例P253P253）1 1、曲邊梯形的面積、曲邊梯形的面積: : 如圖如圖, ,由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y=f(x) y=f(x)，直線，直線 x=a x=a，x=b x=b 及及x x軸軸圍成的圖形稱為曲邊梯形圍成的圖形稱為曲邊梯形. .下面我們求曲邊梯形的面積下面我們求曲邊梯形的面積(1)(1)分割分割在在(a,b)內(nèi)插入內(nèi)插入n1個分點個分點bxxxxxann 1210 , , . ,112110nniixxxxxxxx ， 把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間記每一個小區(qū)間記每一個小區(qū)間 的長度為的

2、長度為1 (12)iiixxxin ， ，1,iixx abx( )yf x oy51 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(2) 取近似取近似 表示第表示第i個小曲邊梯形的面積個小曲邊梯形的面積,在小區(qū)間在小區(qū)間 內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點 ,過點過點 作作x軸的垂線與曲線軸的垂線與曲線交于點交于點 ,以以 為底為底, 為高做矩形為高做矩形,以此矩以此矩形做為小曲邊梯形面積的近似值形做為小曲邊梯形面積的近似值,那么那么iA 1,(1,2, )iixxin 1()iiiixx i (,()iiiPfix ()if ()iiiAxf a( )yf x MNoy(3)求和求和將所

3、有矩形面積求和將所有矩形面積求和1122 ()()()nnnAfxfxfx 1()niiifx xb過每個分點過每個分點 xi (i=1,2,n)作作y軸的平行線，將曲邊梯形軸的平行線，將曲邊梯形分割成分割成n個小曲邊梯形個小曲邊梯形.1ixixi前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(4)取極限取極限 記記 為所有小區(qū)間中長度的最大者為所有小區(qū)間中長度的最大者,即即 ,當當 時時,總和的極限就是曲邊梯形面積總和的極限就是曲邊梯形面積A,即即 1maxii nx 0 01lim()niiiAfx (1) 分割分割2、變力沿直線所做的功、變力沿直線所做的功. ,)( 做的功，求變力區(qū)間為連續(xù)函數(shù)，質(zhì)點的位移的

4、是位移已知變力設(shè)某質(zhì)點作直線運動，F(xiàn)bassF在在 插入插入n個分點個分點0121 innassssssb , a b那么那么 即是曲邊梯形面積的近似值即是曲邊梯形面積的近似值.nA前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁將閉區(qū)間將閉區(qū)間a,b分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間:011211 , ,iinns ss sssss 1 (1,2, )iiisssin 小區(qū)間的長度小區(qū)間的長度(2)取近似取近似 在每一個小區(qū)間在每一個小區(qū)間 上任取一點上任取一點 ,把把 做為做為質(zhì)點在小區(qū)間上受力的近似值質(zhì)點在小區(qū)間上受力的近似值,于是于是,力力F在小區(qū)間在小區(qū)間 上對質(zhì)點所做的功的近似值為上對質(zhì)點所做的功的近似值為1,i

5、iss i ()iF 1,iiss () (1,2, )iiiWFsin 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(3)求和求和11() nniiiiiWWFS 把各小區(qū)間上力把各小區(qū)間上力F所做的功的近似值加起來所做的功的近似值加起來,即得到即得到在區(qū)間在區(qū)間 上所做功的近似值上所做功的近似值,即即 ,a b(4)取極限取極限 把所有小區(qū)間的最大長度記為把所有小區(qū)間的最大長度記為 ,即即 ,則當則當 時時,和式的極限即為變力在區(qū)間和式的極限即為變力在區(qū)間 上對質(zhì)點上對質(zhì)點所做的功所做的功,即即 max()is 0 ,a b01 lim() niiiW =Fs 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁二、定積分的定義二、定積

6、分的定義P256P256）, , , :, :1,)( 1121101210nniinnxxxxxxxxnbabxxxxxanbabaxf個小區(qū)間分成把區(qū)間個分點中任意插入上有界，在在設(shè)函數(shù)定義定義),(1iiiixx上任取一點在每一個小區(qū)間各個小區(qū)間的長度為, 11iiiiixxxxxniiixf1)( )(簡稱積分和式作和式前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁，記作上的在區(qū)間數(shù)相等，則稱此極限為函述和式的極限都存在且時，上任意取法，只要當上點和小區(qū)間任一分法，如果對區(qū)間記 ,)( 0,.,max12baxfxxbaxxxiiini定積分(簡稱積分)01( )dlim(),nbiiaif xxfx 其中

7、其中f(x)叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式，叫做被積表達式，x 叫叫做積分變量，做積分變量，a叫做積分下限，叫做積分下限，b叫做積分上限，叫做積分上限，a,b叫做積分區(qū)間叫做積分區(qū)間.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個引例就可以用定積分概念來描述： 曲線 、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，即)0)()( xfxf.d )(xxfAba 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間a,b上的定積分存在，則稱函數(shù) f (x) 在區(qū)間a,b上可積. 質(zhì)點在變力F(s)作用下作直線運動

8、，由起始位置a移動到b，變力對質(zhì)點所做之功等于函數(shù)F(s)在a,b上的定積分，即( )dbaWF s s 可以證明可以證明:若函數(shù)若函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù),或只有有或只有有 限個第一類間斷點限個第一類間斷點,則則f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上可積上可積.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點: (1)定積分 是積分和式的極限，是一個數(shù)值，定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間a,b有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān).即有.d)(d)(d)( bababauufttfxxfxxfbad)( (2)函數(shù)函數(shù) f (x)在在a , b 上可積的充分條件是：上可積的充

9、分條件是： 定理定理1P258設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間a , b 上連續(xù)，上連續(xù)，則則f(x)在在a , b上可積。上可積。 定理定理2P258設(shè)設(shè)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a , b 上有界，且只上有界，且只有有限個間斷點，則有有限個間斷點，則f(x)在在a , b上可積。上可積。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 如果在a,b上 ，此時由曲線 y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，則定積分 在幾何上表示上述曲邊梯形的面積A的相反數(shù).定積分的幾何意義：（定積分的幾何意義：（P258P258） 如果在a,b上 ，那么 在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x

10、=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.0)( xf baxxfd)( )0f x( )dbaf xxax( )yf x oybax( )yf x oyb前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 如果在a,b上 f(x)既可取正值又可取負值，則定積分 在幾何上表示介于曲線 y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和. baxxfd)(1324( )d()()baf xxAAAA 1234AAAAx y= f (x)aboyA4A3A2A1() dbaAfxx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)P262） 在定積分在定積分 的定義中，總假設(shè)的定義中，總假設(shè) ，為了，為了今后的

11、使用方便，對于今后的使用方便，對于 時作如下規(guī)定：時作如下規(guī)定：xxfbad)( ba baba ，.d)(d)( ,0d)( xxfxxfbaxxfbabaabba 時時當當；時時，當當設(shè)下面函數(shù)設(shè)下面函數(shù)f (x)， fi (x)， g(x)在在a,b上可積上可積.性質(zhì)性質(zhì)1 1 兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù) 和，即和，即 ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁推廣性質(zhì)推廣性質(zhì)1 1知：知： 有限個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各有限個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的定積分的代數(shù)和，

12、即函數(shù)的定積分的代數(shù)和，即1212( )( )( )d ( )d( )d( )d .bnabbbnaaafxfxfxxfxxfxxfxx性質(zhì)性質(zhì)2 2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外. .).( d)(d)( 是常數(shù)kxxfkxxkfbaba性質(zhì)性質(zhì)3 3 如果積分區(qū)間a,b被分點c分成區(qū)間a,c和c,b, 那么( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 性質(zhì)3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分. 當c在區(qū)間a,b 之外時，上面表達式也成立.性質(zhì)性質(zhì)4 4，則則上上恒恒有有如如果果在

13、在區(qū)區(qū)間間1)(, xfba.d1d)(abxxxfbaba 性質(zhì)性質(zhì)5 5，則則上上恒恒有有如如果果在在區(qū)區(qū)間間0)(, xfba(0.)dbaf xx ，則則上上恒恒有有如如果果在在區(qū)區(qū)間間)()(,xgxfba 推論推論1 1 ( )d( )d .bbaaf xxg xx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁推論推論2|( )d |( ) d ().bbaaf xxf xxab性質(zhì)性質(zhì)6 (6 (估值定理估值定理) )則則上上的的最最大大值值及及最最小小值值，在在區(qū)區(qū)間間分分別別是是函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè),)( baxfmM).( )(d)()(baabMxxfabmba mM性質(zhì)性質(zhì)7(7(定積分中值定理定積分中值定理) ) 如果如果函數(shù)函數(shù)f(x)f(