小學(xué)奧數(shù)-幾何模型分類(lèi)總結(jié)(鳥(niǎo)頭、燕尾、風(fēng)箏、一般模型等)

目錄TOC\o"1-3"\h\u17627目錄 13021模型一——《等積變換》 219636一、知識(shí)點(diǎn)梳理 229245二、例題精講 33226三、自我提升 54489四、答案與解析 726585模型二——《一半模型》 1120994一、知識(shí)點(diǎn)梳理 1114056二、例題精講 137688三、自我提升 1526463四、答案與解析 173743模型三——《鳥(niǎo)頭（共角）模型》 1920673一、知識(shí)點(diǎn)梳理 1923975二、例題精講 203143三、自我提升 2221218四、答案與解析 2420560模型四——《蝴蝶模型》 2618995一、知識(shí)點(diǎn)梳理 265169二、例題精講 279397模型五——《沙漏模型》 3310083一、知識(shí)點(diǎn)梳理 3317303二、例題精講 3432627三、自我提升 3625320四、答案與解析 3823069模型六——《燕尾模型》 397095一、知識(shí)點(diǎn)梳理 3932108二、例題精講 4020528三、自我提升 4228138四、答案與解析 446555模塊七——《長(zhǎng)、正方體、圓柱、圓錐》 4629462一、知識(shí)點(diǎn)梳理 4620335二、例題精講 4717592三、自我提升 4914288四、自我提升答案 5120443模型八——《圓、扇形》 5313621一、知識(shí)點(diǎn)梳理 5314437二、例題精講 548715三、自我提升 569386四、答案與解析 58

模型一——《等積變換》一、知識(shí)點(diǎn)梳理二、例題精講三、自我提升四、答案與解析

模型二——《一半模型》一、知識(shí)點(diǎn)梳理一半模型其實(shí)是等積變換模型的延伸，只是將三角形和平行四邊形進(jìn)行了整合與綜合考查，但是學(xué)生往往遇到此類(lèi)題目之后很難想到用等積變換，所以我們專(zhuān)門(mén)提煉出一半模型，幫助學(xué)生加深此部分知識(shí)點(diǎn)的理解，提高應(yīng)用能力。平行四邊形同理不規(guī)則圖形拓展圖形（比例應(yīng)用）常見(jiàn)圖形的認(rèn)識(shí)二、例題精講例1如圖所示，四邊形與都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等．例2如例3如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，1.5，2．長(zhǎng)方形EFGH的面積為．例4圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米．例5正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？例6如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，點(diǎn)、、分別是長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積例7如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)、、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影部分的面積．三、自我提升1、右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是厘米，求三角形的面積．2、如圖，與均為正方形，三角形的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積為．3、長(zhǎng)方形ABCD的面積是2011平方厘米．梯形AFGE的頂點(diǎn)F在BC上，D是腰EG的中點(diǎn)．試求梯形AFGE的面積．4、已知正方形邊長(zhǎng)為10，正方形邊長(zhǎng)為6，求陰影部分的面積．5、右圖中，和是兩個(gè)正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面積等于6平方厘米，求五邊形的面積．如圖，正方形ABCG和正方形FCDE并排放置，BE與FC相交于點(diǎn)H，已知AB=6厘米，則陰影部分的面積是_________________平方厘米？四、答案與解析【分析】如圖所示，連接AD，則BC平行AD，三角形ABC和三角形BCD等底等高，因此三角形ABC的面積就等于小正方形的面積的一半，據(jù)此即可得解．解：據(jù)分析可知：

4×4÷2=8（平方厘米）；

答：三角形ABC的面積是8平方厘米．【分析】方法一：如圖所示，連接AF和BD，則AF平行BD，三角形FAD與三角形FAB等底等高，即面積相同。又因三角形FAD與三角形FAB有共同的部分，即三角形FAH。所以三角形FHD與三角形HAB面積相同等于6平方厘米。方法二：根據(jù)梯形面積公式和三角形面積公式可得：梯形GFDA的面積=三角形GBF的面積，都減去公共部分AHFG的面積，可得圖中陰影部分的面積=三角形ABH的面積．解：梯形GFDA的面積=（GF+AD）×AG÷2，

三角形GBF的面積=（AG+AB）×GF÷2，

因?yàn)锳BCD與AEFG均為正方形，

所以（GF+AD）×AG÷2=（AG+AB）×GF÷2，

則梯形GFDA的面積=三角形GBF的面積，

則陰影部分的面積=三角形ABH的面積=6平方厘米．

答：圖中陰影部分的面積是6平方厘米．【分析】根據(jù)題意可連接DF，三角形ADF和長(zhǎng)方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，因?yàn)辄c(diǎn)D是EG的中點(diǎn)，AE平行與FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面積的一半，因?yàn)辄c(diǎn)D是線段EG的中點(diǎn)，所以三角形ADE和三角形DGF的面積就為梯形AFGE面積的一半，即梯形的面積等于長(zhǎng)方形的面積，據(jù)此解答即可．解：如圖，連接DF．

三角形ADF=2011÷2=1005.5（平方厘米），

因?yàn)辄c(diǎn)D為EG的中點(diǎn)，

所以三角形AED+三角形DFG=1005.5（平方厘米），

梯形AFGE的面積：1005.5+1005.5=2011（平方厘米），

答：梯形AFGE的面積是2011平方厘米．【分析】連接IC、FC，如下圖，由正方形的對(duì)角線易知IC∥DF；等積變換得到：三角形DFI的面積等于三角形DFC的面積，由此求出三角形DFI的面積。解：連接IC，F(xiàn)C，∠FDC=∠ICD由正方形的對(duì)角線易知IC平行DF；等積變換得到：三角形DFI的面積=三角形DFC的面積=10×4×0.5=20。5、【分析】說(shuō)明：這道題等后面學(xué)習(xí)了所有模型之后會(huì)變得更簡(jiǎn)單，但因?yàn)槲覀儾胖v到了一半模型和等積變換模型，所以暫時(shí)用此方法來(lái)接。鏈接FG和AG，所以?xún)蓷l對(duì)角線AC平行FG，所以三角形ACG和三角形ACF等底等高面積相同。因?yàn)槿切蜟GH的面積是6所以三角形AHF的面積也是6（三角形ACH是兩個(gè)三角形的共同部分）。又因?yàn)镕H:HC=2:1，所以三角形FHG的面積是12.66366331.5解：五邊形的面積=3+1.5+3+6+18×2=49.5.6、【分析】將三角形GHD的D點(diǎn)移動(dòng)到E點(diǎn)，等底等高，可形成大三角形EBG。再連接對(duì)角線EC，則EC平行于GB，則三角形BGE面積等于三角形BGC，三角形又占正方形ABCG的一半，答案為18平方厘米。6×6÷2=18.

模型三——《鳥(niǎo)頭（共角）模型》一、知識(shí)點(diǎn)梳理常見(jiàn)模型鳥(niǎo)頭定理為什么又叫共角定理呢？其實(shí)是我們開(kāi)始就叫反了，真名就叫共角定理，因?yàn)檫@類(lèi)模型的特點(diǎn)是兩個(gè)具有相同角或者是兩角互補(bǔ)的三角形之間的特殊線段關(guān)系，又因?yàn)槟Ｐ秃芟聒B(niǎo)頭，為了方便學(xué)生記憶，所以起了一個(gè)形象的名字，叫鳥(niǎo)頭。接下來(lái)我們一起證明和認(rèn)識(shí)一下以下幾種模型。模型一：根據(jù)等積變換模型中等高不等底，我們很容易證得：為了很好的應(yīng)用線段比，鏈接EC（也可以是FB），可得，模型二：三角形ABC和三角形AEF不在一個(gè)三角形內(nèi)，不便研究，所以鏈接EC，構(gòu)造一個(gè)大三角形EBC，根據(jù)等積變換模型可得模型三：三角形ABC和三角形AEF不在一個(gè)三角形內(nèi)，不便研究，所以鏈接EC或者FB，構(gòu)造一個(gè)大三角形EFC或者EFB，根據(jù)等積變換模型可得模型四：關(guān)鍵是∠FAB+∠EAC=180o，即∠BAC+∠FAE=180o（互補(bǔ)）。將三角形AEF旋轉(zhuǎn)，使FA和AB重合或使EA和AC重合，可得到模型二。證明略。二、例題精講三、自我提升求三角形CDE的面積？求三角形CDE的面積？四、答案與解析

模型四——《蝴蝶模型》一、知識(shí)點(diǎn)梳理二、例題精講自我提升

模型五——《沙漏模型》一、知識(shí)點(diǎn)梳理所謂的沙漏（金字塔）模型，就是指形狀相同，大小不同的兩個(gè)三角形，一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例的模型，如圖所示（第一個(gè)圖翻上去跟第二個(gè)圖是一樣的長(zhǎng)相）：沙漏模型金字塔模型如果DE平行BC，那么沙漏模型金字塔模型這樣的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的邊長(zhǎng)比的平方二、例題精講三、自我提升四、答案與解析【分析】要根據(jù)三角形DEC，求解三角形DEO，所以需要知道OE和EC的線段關(guān)系。構(gòu)造一個(gè)沙漏，即連接OF，因?yàn)樵谌切蜝DC中，O和F都為中點(diǎn)，所以O(shè)F是中位線，即平行于DC且等于1/2DC。因?yàn)镺F：DC=1:2，所以O(shè)E：EC=1:2，又三角形DEC等于6，所以DEO等于3（平方厘米）66【分析】根據(jù)題意，S2=S4=2，S2:S3=2：4=1：2,因?yàn)閷?duì)應(yīng)的線段相同，所以S1：S4=1：2，又因S4=2，所以S1=1。所以題型面積為1+2+4+2=9.【分析】因?yàn)镃D：AB=4:6=2:3，根據(jù)沙漏模型，CD：AB=DO:OB=OC:OA=2：3，又SDOC：SABO:SOBC：SADO=22:33:2×3：2×3=4:9:6:6，則SCOB=5×6/25=1.2【分析】因?yàn)锽E:AD=1:3，根據(jù)沙漏模型，EF：AF=1：3，又根據(jù)正方形鳥(niǎo)頭，三角形ABE面積=10×10×1/3×1/2,則陰影面積=10×10×1/3×1/2×3/4=12.5【分析】因?yàn)镃E:BC=CE：AD=1：2，根據(jù)沙漏模型，CE:AD=CF:FD=1：2.DF是FC的2倍?！痉治觥挎溄覣C、HC、GC。因?yàn)锳O=OC，所以S△AGH=S△CGH。又因?yàn)锽E：AD=1：2;DF:AB=1:3.根據(jù)沙漏模型，DH:HB=1：3.BG:GD=1：2.再根據(jù)鳥(niǎo)頭模型：設(shè)三角形HDF為1份。則三角形HFC=2份，三角形HBC=9份，三角形BDC=12份，平行四邊形面積=24份。三角形BEG=12×1/2×1/3=2份，三角形GEC=2份。三角形HGC=12-1-2-2-2=5份。所以陰影面積=1+2+5=8份。所以占8÷24=1/3.

模型六——《燕尾模型》一、知識(shí)點(diǎn)梳理S△S△BOF二、例題精講三、自我提升BDEBDE四、答案與解析【分析】根據(jù)燕尾模型，BF：BC=1：1,所以S△DEC=S△BDC=6.又因?yàn)锽O:OD=1：1，所以S△DEC=S△BEC=6又因?yàn)锽F=FC，所以S△BEF=3.故三角形BDF面積等于9。

模塊七——《長(zhǎng)、正方體、圓柱、圓錐》一、知識(shí)點(diǎn)梳理長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的表面積：；長(zhǎng)方體的體積：．正方體是各棱相等的長(zhǎng)方體，它是長(zhǎng)方體的特例，它的六個(gè)面都是正方形．如果它的棱長(zhǎng)為，那么：，．圓柱圓錐注：是母線，即從頂點(diǎn)到底面圓上的線段長(zhǎng)常考題型水中浸物（阿基米德原理應(yīng)用）——鐵塊浸沒(méi)不規(guī)則體積求體積或是表面積常用辦法直接法間接法：①整體減空白，②平移，③割補(bǔ)二、例題精講例1小明星期天請(qǐng)6名同學(xué)來(lái)家做客，他選用一盒用長(zhǎng)方體（如下圖（1））包裝的飲料招待同學(xué)，給每個(gè)同學(xué)倒上一滿杯（如下圖（2））后，他自己還有喝的飲料嗎？（寫(xiě)出主要過(guò)程）6厘米6厘米15厘米12厘米8厘米底面積20cm2（1）（2）例2如下圖，長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是24.84分米，利用圖中的陰影部分剛好能做成一個(gè)圓柱體油桶（接頭處忽略不計(jì)）。這個(gè)油桶的表面積是多少平方分米？（取3.14）例3如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為20厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個(gè)大小相同的小立方體后，表面積變?yōu)?454平方厘米，挖掉的小立方體的棱長(zhǎng)是________厘米．例4從一個(gè)長(zhǎng)8厘米、寬7厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體中截下一個(gè)最大的正方體(如下圖)，剩下部分的表面積之和是多少平方厘米？例5如圖，一個(gè)酒瓶身呈圓柱形，深30厘米，底內(nèi)直徑是10厘米，瓶里酒深15厘米．把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立，這時(shí)酒深25厘米，問(wèn)：酒瓶容積是多少？（π取3）例6如圖所示，有一個(gè)5×5×5的立方體，在一個(gè)方向開(kāi)有1×1×5的孔，在另一個(gè)方向上開(kāi)有2×1×5的孔，在第三個(gè)方向上開(kāi)有3×1×5的孔，請(qǐng)問(wèn)剩余部分的體積是多少？表面積是多少？三、自我提升1、一個(gè)高15厘米的圓柱形容器，其底面積是100平方厘米，裝有1000毫升的水，（1）.向容器中投入一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體鐵塊，則水面高度變?yōu)槎嗌倮迕?？?）.向容器放入一個(gè)底面積為20平方厘米，高為15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，則水面高度變?yōu)槎嗌倮迕?？?）.向容器中放入一個(gè)底面積為40平方厘米，高為14厘米的長(zhǎng)方體鐵塊；則水面高度變?yōu)槎嗌倮迕祝?、如圖是一張長(zhǎng)方形鐵皮，剪下圖中兩個(gè)圓及中間的一塊長(zhǎng)方形正好做成一個(gè)圓柱體．這個(gè)圓柱體的體積是多少？3、由一個(gè)大正方體、四個(gè)中正方體、四個(gè)小正方體拼成如右圖的立體圖形，已知大、中、小三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為5厘米、2厘米、1厘米．那么，這個(gè)立體圖形的表面積是平方厘米．4、把11塊相同的長(zhǎng)方體磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知每塊磚的體積是288立方厘米，大長(zhǎng)方體的表面積是_______平方厘米5、一個(gè)的立方體挖掉一些小方塊后，從前后、左右、上下三個(gè)方向觀察，視圖均為下圖．這個(gè)立方體的表面積是________．6、圖a是一個(gè)密封水瓶的切面圖，上半部為圓錐狀，下半部為圓柱狀，底面直徑都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度為12厘米．將水瓶倒置后，如圖2b，瓶中液面的高度是16厘米，則圖2b中，水瓶中圓錐部分的高度為厘米．四、自我提升答案1【分析】原水高=1000÷100=10（cm），因?yàn)殍F塊高5cm＜水高10cm，所以是完全浸沒(méi)。則實(shí)際水高=（1000+5×5×5）÷100=11.25（cm）假設(shè)完全浸沒(méi)，則水高=（1000+20×15）÷100=13（cm）。因?yàn)樗?3cm＜鐵塊高15cm，所以假設(shè)不成立。即是不完全浸沒(méi)，水高=1000÷（100-20）=12.5（cm）。假設(shè)完全浸沒(méi)，則水高=（1000+40×15）÷100=15.6（cm）。因?yàn)樗?5.6cm＞鐵塊高14cm，所以假設(shè)成立。又因?yàn)樗?5.6cm＞容器高15cm，所以水溢出。實(shí)際水高=15cm。2【分析】根據(jù)題意，圓柱的底面半徑為10厘米，圓柱的高為（10×2）厘米，然后根據(jù)圓柱的體積公式=底面積×高進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．解：3.14×102×（10×2），

=314×20，

=6280（立方厘米），

答：這個(gè)圓柱體的體積是6280立方厘米；3【分析】用三視圖的方法計(jì)算正方體的表面積，準(zhǔn)確計(jì)算出遮擋部分的面積也是做題的關(guān)鍵。正面面積=5×5+（2×2+1×1）×2=35側(cè)面面積=5×5+（2×2+1×1）×2=35上面面積=5×5=25遮擋部分面積=（2×2+1×1）×8=40總面積=（35+35+25）×2+40=2304【分析】設(shè)磚的寬為a，則長(zhǎng)=3a/2，高=3a/2÷4=3a/8.則體積288=a×3a/2×3a/8，a3=288×16÷9=512.a=8。表面積=（12×24+12×11+12×11）×2=13685【分析】以一面為例，分析這一面上可被計(jì)算的表面積，如左上角的點(diǎn)由于后面沒(méi)有任何一面沒(méi)有被挖掉所以面積為1，標(biāo)1；又如第一行第二點(diǎn)，由于小正方體上表面被挖出一個(gè)十字小方塊，所以從這一側(cè)看相當(dāng)于計(jì)算兩次一個(gè)正方形的表面積，標(biāo)2；以此類(lèi)推，可以標(biāo)出如下圖所示的結(jié)果：1222122022200022202212221所以從每一面分析這一側(cè)的表面積都為36，總共的立方體表面積為36×6=216。6【分析】?jī)蓚€(gè)瓶中空氣部分的體積不變，所以左圖中空氣部分的體積就等于右圖中高為26-16=10（厘米）空氣柱的體積，所以瓶的容積是：π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米）；如果把瓶看作高為26厘米的圓柱的話，體積比原來(lái)多：π×（10÷2）2×26-550π=100π（立方厘米）；這部分多的體積相當(dāng)于水瓶中圓錐部分的體積的2倍，所以根據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式可求出高．解：26-16=10（厘米），

π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米），

π×（10÷2）2×26-550π=100π（立方厘米），

100π÷2÷1/3÷[π×（10÷2）2]=6（厘米）

答：水瓶中圓錐部分的高度為6厘米．

模型八——《圓、扇形》一、知識(shí)點(diǎn)梳理圓圓的面積；扇形的面積；圓的周長(zhǎng)；扇形的弧長(zhǎng)；?？碱}型二、例題精講例1已知AB=120米，從A到B有三條半圓弧線路可走，走_(dá)______圓弧線路的距離最短,最短距離是_______米（π=3）

例2如圖中的三個(gè)圓的半徑都是5厘米，三個(gè)圓兩兩相交于圓心，求陰影部分的面積．（π=3）例3如圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑。已知AB=BC=10，那么陰影部分的面積是多少？（π=3）例4如圖中陰影甲的面積比陰影乙的面積多25平方厘米，AB=8厘米，三角形ABC是直角三角形，求BC的長(zhǎng)。（π=3）例5圖中等腰直角三角形ABC的面積是24平方厘米，求陰影部分面積．（π=3）

例6如圖，一只羊被拴在一個(gè)長(zhǎng)為4米，寬為3米的長(zhǎng)方形的羊圈內(nèi)。在B處有一個(gè)缺口，樣可以自由出入，拴繩長(zhǎng)9米在D處，那么羊能夠到達(dá)的地方的面積約為_(kāi)_______平方米。（π=3）三、自我提升如圖，陰影部分的面積是多少？2、如圖，分別以一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以2厘米為半徑畫(huà)弧，那么陰影圖形的周長(zhǎng)是_______厘米（π=3）3、如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，那么著兩個(gè)部分的面積之比是多少？（π=3）4、如下圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，弧AC=弧CD=弧DB，M是弧CD的中點(diǎn)，H是弦CD的中點(diǎn)。若N是OB上一點(diǎn)，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積是_______平方厘米。5、如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，做扇形ABE，交AD延長(zhǎng)線于E，做扇形CBF，交CD于F，求陰影部分的面積。（π=3）6、如圖所示，圖中空白部分為長(zhǎng)方形，求陰影部分的面積。（π=3）四、答案與解析1【分析】法一，第一個(gè)小長(zhǎng)方形的陰影部分移至第二個(gè)小長(zhǎng)方形右側(cè)，將第三個(gè)小長(zhǎng)方形的陰影部分移至第二個(gè)小長(zhǎng)方形左側(cè)，即構(gòu)成一個(gè)完整的長(zhǎng)方形，其面積為2×4=8法