1.2-多元函數(shù)的基本概念ppt課件

1、一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)四、小結(jié) 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念（1鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 ),(00 PU |00PPP .)()(0| ),(2020 yyxxyx（2區(qū)域區(qū)域EP 41),(221 yxyxE例如，例如，即為開(kāi)集即為開(kāi)集內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn), 開(kāi)集開(kāi)集, 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn),EP 連通連通, 連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界

2、一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.例如，例如，.41| ),(22 yxyx例如，例如，.41| ),(22 yxyx0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例如，例如，41| ),(22 yxyx有界區(qū)域有界區(qū)域,無(wú)界區(qū)域無(wú)界區(qū)域,（3聚點(diǎn)聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn). 10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)，該集合中點(diǎn)點(diǎn)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)

3、，該集合中點(diǎn)點(diǎn)是聚點(diǎn)是聚點(diǎn)（4n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx的全體為的全體為n維空間，而每個(gè)維空間，而每個(gè)n元元數(shù)組數(shù)組),(21nxxx稱為稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)，維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)數(shù)ix稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo). 1. n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nR2. n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3. n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特

4、殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. .（5二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同

5、樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 12 :.ln()zxy 例求的定義域例求的定義域 例例設(shè)設(shè)求求223 :(,)( ,).xfxyxyf x yy 2 22 22 2xyxyx xx x例例已已知知f(x,y)=f(x,y)=x x求求f(1,1),f(0,0),f(1,xy).f(1,1),f(0,0),

6、f(1,xy).22204 :,00yyy二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.（6） 二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形定 義定 義1 1 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于，使得對(duì)于 D D 中中適合不等式適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)),(),(000yxpyxp趨趨于于時(shí)的極限，時(shí)

7、的極限， 記為記為 Ayxfyxyx ),(lim),(),(00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. 二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限說(shuō)明：說(shuō)明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例例5 5 求極求極限限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 例例6 6證明證明263)0,0(),(limyxyxyx 不存在不存在.確定極限不存在的方法確定極限不存在的方法:找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式,使二重

8、極限存在使二重極限存在,但兩者不相但兩者不相等等 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)集集0, PD是是其其聚聚點(diǎn)點(diǎn)且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處連連續(xù)續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例7 7 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 22220limx

9、kxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2介值定理介

10、值定理（3有界定理有界定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界有界多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點(diǎn)

11、點(diǎn)在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時(shí)時(shí)，如如果果一一般般地地，求求( , )(0,1)11lim.x yxyxy 例例如如: :求求多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)四、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義思考題思考題思考題解答思考題解答1.不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0

12、(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. . 6 6、函函數(shù)數(shù)yxz 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、函函數(shù)數(shù)xyzarcsin 的的定定義義域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8、函函數(shù)數(shù)xyxyz2222 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是