1.2 分部積分法ppt課件

1、 第四節(jié)第四節(jié) 分部積分法分部積分法對(duì)于一些特殊的積分他們就解決不了了。比如對(duì)于一些特殊的積分他們就解決不了了。比如直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計(jì)算直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計(jì)算, 可是可是xdxln.1Cx？.1lndxxduxu，則設(shè)xdxlnxduu？這個(gè)積分用直接積分和換元法都無(wú)法計(jì)算，類(lèi)似的積分還有很多，這個(gè)積分用直接積分和換元法都無(wú)法計(jì)算，類(lèi)似的積分還有很多，sin d ,ln d , arctan d ,sin dxxx xxx xx xex x 這些積分可以分部積這些積分可以分部積形如形如分法來(lái)計(jì)算。分法來(lái)計(jì)算。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u= u(x)及及

2、v = v(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 那么那么()uvu vuv上式兩邊求不定積分上式兩邊求不定積分, , 得得移項(xiàng)得移項(xiàng)得()uvuvu vvdxudxuvdxvu)(.)()( CxFdxxF.易于計(jì)算要比 udvvdu，因此轉(zhuǎn)化時(shí)要使轉(zhuǎn)化為積分此公式是把積分vduudv. 1，可以便于擇適當(dāng)?shù)氖俏覀冏约哼x擇的，選公式里的vuvu,. 2dduv xuvvu x上述公式稱(chēng)為分部積分公式上述公式稱(chēng)為分部積分公式. 使用時(shí)要注意：使用時(shí)要注意：.積分的計(jì)算ddu vuvv udxxfxdf)( )(例例1:1:求求,ln xu 設(shè)原式xv .)1ln(2dxx解：解：).2( ,11

3、44P練習(xí)：,ln dxxduvuvxxdxxlnlnCxxxln求求1(2)原式.arctan22)1ln(2Cxxxx)1ln()1ln(22xxdxxdxxxxx1lndxxx1lnxdxxxxx21)1ln(22dxxxxx22212)1ln(dxxxxx2221112)1ln(dxxxx)111 (2)1ln(22xdxxxd211)1ln(22uvxxde.dxxexxdxxsin:求練習(xí).2cos xdxx解：.Cexexx原式dxexexxxde例例2 求求當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，一般要用微分公式把其中當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，一般要用微分公式把其中一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為積分

4、變量，然后再使用分部積分公式一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為積分變量，然后再使用分部積分公式.例例3 求求原式解：xxd2sin21xd2sin21xdxxx2sin212sin21xxdxx22sin412sin21.2cos412sin21Cxxxxxd cosxdxxxcoscos.sincosCxxx時(shí)函數(shù)類(lèi)似于如果兩個(gè)函數(shù)中有一個(gè)xxaxxe,cos,sin,xdxxsin注意：.最后利用分部積分公式的形式一起轉(zhuǎn)化為一般都把這些函數(shù)與dudx當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時(shí)當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時(shí), 注注一般采用分部積分法一般采用分部積分法, 并選擇對(duì)數(shù)函數(shù)或反

5、三角函數(shù)為并選擇對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u.2ln dxx x2ln dxx x 例例4 求求 解解3ln d()3xx33lndln33xxxx321lnd33xxxx331ln39xxxC).1 ( 1 ,:144P練習(xí)ddxx233/1x).1 ( 1dxxx) 1ln(2) 1ln(21dxx) 1ln() 1ln(2122xdxxxdxxxxx1) 1ln(2122dxxxxx111) 1ln(2122dxxxxxx11) 1)(1() 1ln(212dxxxxx111) 1ln(212.| 1|ln21) 1ln(2122Cxxxxx例例5 5.dxex求tdtet2解：原式.2,2

6、tdtdxtxxt則設(shè)分部積分法也可以和直接積分法、換元法結(jié)合起來(lái)使用分部積分法也可以和直接積分法、換元法結(jié)合起來(lái)使用tdtet2ttde2dteettt22.22Ceettt).7( , 1 ,144P練習(xí)：1,(7)1,(7).3dxex解：原式.2,2tdtdxtxxt則設(shè)te3tdt2dttet 32ttde332dteettt333232tdeettt3332923.923233Ceettt3.解：,)(2xexf的一個(gè)原函數(shù)是.222Cexx,)(2Cedxxfx)(xf且.222xxxee)(xfxd( )dxfxxxdxfxxf)()(. 3 ,144P練習(xí)：)(xfxd)(xexf且.)(Cedxxfx例例6 6已知已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)是,xe( )dxfxx求求解：因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)的一個(gè)原函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)是,xe( )dxfxxxdxfxxf)()(xxxeeC .xe,cosxdxex練習(xí)：求sin dxex xsin dxex x 1sin d(sincos )2xxex xexxCsindsinxxexexsincos dxxexex xsincos dxxexx esincossin dxxxexexex x例例7