建筑工程測(cè)量-測(cè)量誤差的基本知識(shí)講解

1、第五節(jié) 測(cè)量誤差基礎(chǔ)知識(shí)一、測(cè)量誤差概述1測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因 測(cè)量時(shí)，由于各種因素會(huì)造成少許的誤差，這些因素必須去了解，并有效的 解決，方可使整個(gè)測(cè)量過程中誤差減至最少。實(shí)踐證明，產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因主 要有以下三個(gè)方面。（ 1）人為因素。 由于人為因素所造成的誤差，包括觀測(cè)者的技術(shù)水平和感 覺器管的鑒別能力有一定的局限性，主要體現(xiàn)在儀器的對(duì)中、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面。（2）測(cè)量儀器的原因。 由于測(cè)量儀器的因素所造成的誤差，包括測(cè)量儀器 在構(gòu)造上的缺陷、儀器本身的精度、磨耗誤差及使用前未經(jīng)校正等因素。（ 3）環(huán)境因素。 外界觀測(cè)條件是指野外觀測(cè)過程中，外界條件的因素，如 天氣的變化、植被的不同、地面土

2、質(zhì)松緊的差異、地形的起伏、周圍建筑物的狀 況，以及太陽光線的強(qiáng)弱、照射的角度大小等。測(cè)量時(shí)受環(huán)境或場(chǎng)地之不同，可能造成的誤差有熱變形誤差和隨機(jī)誤差為最顯 著。熱變形誤差通常發(fā)生于因室溫、人體接觸及加工后工件溫度等情形下，因此 必須在溫濕度控制下，不可用手接觸工件及量具、工件加工后待冷卻后才測(cè)量。 但為了縮短加工時(shí)在加工中需實(shí)時(shí)測(cè)量，因此必須考慮各種材料之熱脹系數(shù) 作為 補(bǔ)償，以因應(yīng)溫度材料的熱膨脹系數(shù) 不同所造成的誤差。在實(shí)際的測(cè)量工作中，大量實(shí)踐表明，當(dāng)對(duì)某一未知量進(jìn)行多次觀測(cè)時(shí)，不 論測(cè)量儀器有多精密，觀測(cè)進(jìn)行得多么仔細(xì)，所得的觀測(cè)值之間總是不盡相同。 這種差異都是由于測(cè)量中存在誤差的緣故

3、。測(cè)量所獲得的數(shù)值稱為 觀測(cè)值 。由于 觀測(cè)中誤差的存在而往往導(dǎo)致各觀測(cè)值與其真實(shí)值（簡(jiǎn)稱為 真值 ）之間存在差異， 這種差異稱為 測(cè)量誤差 （或觀測(cè)誤差）。用 L 代表觀測(cè)值， X 代表真值，則誤差 = 觀測(cè)值 L真值 X，即76LX5-1)這種誤差通常又稱之為 真誤差 。由于任何測(cè)量工作都是由觀測(cè)者使用某種儀器、工具，在一定的外界條件下 進(jìn)行的，所以，觀測(cè)誤差來源于以下三個(gè)方面：觀測(cè)者的視覺鑒別能力和技術(shù)水 平；儀器、工具的精密程度；觀測(cè)時(shí)外界條件的好壞。通常我們把這三個(gè)方面綜 合起來稱為 觀測(cè)條件 。觀測(cè)條件將影響觀測(cè)成果的精度：若觀測(cè)條件好，則測(cè)量 誤差小，測(cè)量的精度就高；反之，則測(cè)量

4、誤差大，精度就低；若觀測(cè)條件相同， 則可認(rèn)為精度相同。在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè)稱為 等精度觀測(cè) ；在不 同觀測(cè)條件下進(jìn)行的一系列觀測(cè)稱為 不等精度觀測(cè) 。由于在測(cè)量的結(jié)果中含有誤差是不可避免的，因此，研究誤差理論的目的不 是為了去消滅誤差，而是要對(duì)誤差的來源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律進(jìn)行研究， 以便解決測(cè)量工作中遇到的一些實(shí)際問題。例如：在一系列的觀測(cè)值中，如何確 定觀測(cè)量的最可靠值；如何來評(píng)定測(cè)量的精度；以及如何確定誤差的限度等。所 有這些問題，運(yùn)用測(cè)量誤差理論均可得到解決。二、測(cè)量誤差的分類測(cè)量誤差按其性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類：（一）系統(tǒng)誤差 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一未知

5、量進(jìn)行一系列觀測(cè)，若誤差的大小和符號(hào) 保持不變，或按照一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為 系統(tǒng)誤差 。例如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn) 軸與水準(zhǔn)管軸不平行而引起的讀數(shù)誤差，與視線的長度成正比且符號(hào)不變；經(jīng)緯 儀因視準(zhǔn)軸與橫軸不垂直而引起的方向誤差，隨視線豎直角的大小而變化且符號(hào) 不變；距離測(cè)量尺長不準(zhǔn)產(chǎn)生的誤差隨尺段數(shù)成比例增加且符號(hào)不變。這些誤差 都屬于系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差主要來源于儀器工具上的某些缺陷；來源于觀測(cè)者的某些習(xí)慣的影 響，例如有些人習(xí)慣地把讀數(shù)估讀得偏大或偏??；也有來源于外界環(huán)境的影響， 如風(fēng)力、溫度及大氣折光等的影響。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是具有累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響較大，因此，應(yīng)盡量設(shè)法消77 除或減弱它

6、對(duì)測(cè)量成果的影響。方法有兩種：一是在觀測(cè)方法和觀測(cè)程序上采取 一定的措施來消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響。例如在水準(zhǔn)測(cè)量中，保持前視和后視 距離相等，來消除視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行所產(chǎn)生的誤差；在測(cè)水平角時(shí)，采取 盤左和盤右觀測(cè)取其平均值，以消除視準(zhǔn)軸與橫軸不垂直所引起的誤差。另一種 是找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因和規(guī)律，對(duì)測(cè)量結(jié)果加以改正。例如在鋼尺量距中， 可對(duì)測(cè)量結(jié)果加尺長改正和溫度改正，以消除鋼尺長度的影響。（二）偶然誤差 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的大小 和符號(hào)沒有明顯的規(guī)律性，即從表面上看，誤差的大小和符號(hào)均呈現(xiàn)偶然性，這 種誤差稱為 偶然誤差 。例如在水平角測(cè)

7、量中照準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)，可能稍偏左也可能稍偏 右，偏差的大小也不一樣；又如在水準(zhǔn)測(cè)量或鋼尺量距中估讀毫米數(shù)時(shí)，可能偏 大也可能偏小，其大小也不一樣，這些都屬于偶然誤差。產(chǎn)生偶然誤差的原因很多，主要是由于儀器或人的感覺器官能力的限制，如 觀測(cè)者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等，以及環(huán)境中不能控制的因素如不斷變化著的溫 度、風(fēng)力等外界環(huán)境所造成。偶然誤差在測(cè)量過程中是不可避免的，從單個(gè)誤差來看，其大小和符號(hào)沒有 一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)在觀測(cè)值內(nèi)部卻隱 藏著一種必然的規(guī)律，這給偶然誤差的處理提供了可能性。測(cè)量成果中除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差以外，還可能出現(xiàn) 錯(cuò)誤 （有時(shí)也稱之為 粗差）。錯(cuò)

8、誤產(chǎn)生的原因較多，可能由作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀 錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照錯(cuò)了目標(biāo)等；也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故 障引起的；還有可能是容許誤差取值過小造成的。錯(cuò)誤對(duì)觀測(cè)成果的影響極大， 所以在測(cè)量成果中絕對(duì)不允許有錯(cuò)誤存在。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的方法是：進(jìn)行必要的重復(fù) 觀測(cè)，通過多余觀測(cè)條件，進(jìn)行檢核驗(yàn)算；嚴(yán)格按照國家有關(guān)部門制定的各種測(cè) 量規(guī)范進(jìn)行作業(yè)等。在測(cè)量的成果中，錯(cuò)誤可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤 差是不可避免的，它在測(cè)量成果中占主導(dǎo)地位，所以測(cè)量誤差理論主要是處理偶78 然誤差的影響。下面詳細(xì)分析偶然誤差的特性。三、偶然誤差的特性 偶然誤差的特點(diǎn)具有隨機(jī)性

9、，所以它是一種隨機(jī)誤差。偶然誤差就單個(gè)而言 具有隨機(jī)性，但在總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。在測(cè)量實(shí)踐中，根據(jù)偶然誤差的分布，我們可以明顯地看出它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 例如在相同的觀測(cè)條件下，觀測(cè)了 217 個(gè)三角形的全部內(nèi)角。已知三角形內(nèi)角之 和等于 180°，這是三內(nèi)角之和的理論值即真值 X，實(shí)際觀測(cè)所得的三內(nèi)角之和即 觀測(cè)值 L。由于各觀測(cè)值中都含有偶然誤差，因此各觀測(cè)值不一定等于真值，其差 即真誤差 。以下分兩種方法來分析：（一）表格法由（ 5-1 ）式計(jì)算可得 217 個(gè)內(nèi)角和的真誤差，按其大小和一定的區(qū)間（本例 為 d =3），分別統(tǒng)計(jì)在各區(qū)間正負(fù)誤差出現(xiàn)的

10、個(gè)數(shù)k 及其出現(xiàn)的頻率 k/n（n=217），列于表 5-1 中。從表 5-1 中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù) 比大誤差多；絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率大致相等；最大誤差不 超過 27。實(shí)踐證明，對(duì)大量測(cè)量誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，都可以得出上述同樣的規(guī)律，且 觀測(cè)的個(gè)數(shù)越多，這種規(guī)律就越明顯。表 5-1 三角形內(nèi)角和真誤差統(tǒng)計(jì)表誤 差區(qū)間 d正誤差負(fù)誤差合計(jì)個(gè) 數(shù)k頻 率 k/n個(gè) 數(shù)k頻 率 k/ n個(gè) 數(shù)k頻 率 k/n7900.10.23380.17230.0340.16970.08960.0920.193069290.059529210.02083410

11、.1121565180.0333812140.01673300.1151255100.022011580.0846160.01853760.011741820.023740.02112300.01512100.002800.024090.018240.0090.0270500527000以上合1080.41090.52171.0計(jì)980200二）直方圖法80為了更直觀地表現(xiàn)誤差的分布，可將表 5-1 的數(shù)據(jù)用較直觀的頻率直方圖來 表示。以真誤差的大小為橫坐標(biāo)， 以各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率 k/n與區(qū)間 d的比值為縱坐標(biāo)，在每一區(qū)間上根據(jù)相應(yīng)的縱坐標(biāo)值畫出一矩形，則各矩形的面積等 于誤差出現(xiàn)在該區(qū)

12、間內(nèi)的頻率 k/ n。如圖 5-1中有斜線的矩形面積， 表示誤差出現(xiàn) 在+6 +9之間的頻率，等于 0.069 。顯然，所有矩形面積的總和等于 1。5-2)12f（ ） 1 e 2 2 2可以設(shè)想，如果在相同的條件下，所觀測(cè)的三角形個(gè)數(shù)不斷增加，則誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的頻率就趨向于一個(gè)穩(wěn)定值。 當(dāng) n時(shí)， 各區(qū)間的頻率也就趨向于個(gè)完全確定的數(shù)值概率。若無限縮小誤差區(qū)間，即d 0，則圖 5-1 各矩形 的上部折線，就趨向于一條以縱軸為對(duì)稱的光滑曲線（如圖 5-2 所示），稱為 誤差 概率分布曲線 ，簡(jiǎn)稱誤差分布曲線，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，它服從于正態(tài)分布，該曲線 的方程式為式中： 為偶然誤差； （ 0）為與

13、觀測(cè)條件有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，稱為誤差分 布的標(biāo)準(zhǔn)差，它的大小可以反映觀測(cè)精度的高低。其定義為：在圖 5-1 中各矩形的面積是頻率 k/ n。由概率統(tǒng)計(jì)原理可知， 頻率即真誤差出5-3)81現(xiàn)在區(qū)間 d上的概率 P（ ），記為5-4)82根據(jù)上述分析，可以總結(jié)出偶然誤差具有如下四個(gè)特性：（1）有限性： 在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；（2）集中性：即絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；（3）對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；（4）抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即lim nn0（5-5）式中 1 2 n i i1在數(shù)理統(tǒng)

14、計(jì)中，也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，用公式表示為E（） =0圖 5-2 中的誤差分布曲線，是對(duì)應(yīng)著某一觀測(cè)條件的，當(dāng)觀測(cè)條件不同時(shí)，其相應(yīng)誤差分布曲線的形狀也將隨之改變。例如圖 5-3 中，曲線 I 、II 為對(duì)應(yīng)著 兩組不同觀測(cè)條件得出的兩組誤差分布曲線，它們均屬于正態(tài)分布，但從兩曲線11的形狀中可以看出兩組觀測(cè)的差異12當(dāng)=0 時(shí)，f1( )，f2( ) 。11222是這兩誤差分布曲線的峰值， 其中曲線 I 的峰值較曲線 II 的高，22即1<2，故第 I 組觀測(cè)小誤差出現(xiàn)的概率較第 II 組的大。由于誤差分布曲線 到橫坐標(biāo)軸之間的面積恒等于 1，所以當(dāng)小誤差出現(xiàn)的概率較大時(shí)， 大誤差

15、出現(xiàn)的 概率必然要小。因此，曲線 I 表現(xiàn)為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小， 因而觀測(cè)精度較高。而曲線 II 相對(duì)來說較為平緩，即離散度較大，因而觀測(cè)精度 較低。第二節(jié) 評(píng)定精度的指標(biāo)研究測(cè)量誤差理論的主要任務(wù)之一，是要評(píng)定測(cè)量成果的精度。在圖 5-3 中， 從兩組觀測(cè)的誤差分布曲線可以看出：凡是分布較為密集即離散度較小的，表示 該組觀測(cè)精度較高；而分布較為分散即離散度較大的，則表示該組觀測(cè)精度較低。 用分布曲線或直方圖雖然可以比較出觀測(cè)精度的高低，但這種方法即不方便也不 實(shí)用。因?yàn)樵趯?shí)際測(cè)量問題中并不需要求出它的分布情況，而需要有一個(gè)數(shù)字特 征能反映誤差分布的離散程度，用它來評(píng)定觀測(cè)

16、成果的精度，就是說需要有評(píng)定 精度的指標(biāo)。在測(cè)量中評(píng)定精度的指標(biāo)有下列幾種：一、中誤差由上節(jié)可知（ 5-3 ）式定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種指標(biāo)，但那是理論上的表達(dá)式。在測(cè)量實(shí)踐中觀測(cè)次數(shù)不可能無限多，因此實(shí)際應(yīng)用中，以有限次觀測(cè)個(gè)數(shù) n 計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差的估值定義為 中誤差 m，作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)， 計(jì)算公式5-6)例 5-1 】有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測(cè)了六個(gè)三角形的內(nèi)角，得三角形的閉合差（即三角形內(nèi)角和的真誤差）分別為：83甲： +3、 +1、 -2 、 -10-3乙：+6、-5、 +1、 -4 、 -3 、 +5試分析兩組的觀測(cè)精度。解】用中誤差公式（ 5-6 ）計(jì)算得：m甲m乙

17、從上述兩組結(jié)果中可以看出，甲組的中誤差較小，所以觀測(cè)精度高于乙組。而直接從觀測(cè)誤差的分布來看，也可看出甲組觀測(cè)的小誤差比較集中，離散度較 小，因而觀測(cè)精度高于乙組。所以在測(cè)量工作中，普遍采用中誤差來評(píng)定測(cè)量成 果的精度。注意：在一組同精度的觀測(cè)值中，盡管各觀測(cè)值的真誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào) 各異，而觀測(cè)值的中誤差卻是相同的，因?yàn)橹姓`差反映觀測(cè)的精度，只要觀測(cè)條 件相同，則中誤差不變。在公式（ 5-2 ）中，如果令 f （）的二階導(dǎo)數(shù)等于 0，可求得曲線拐點(diǎn)的橫 坐標(biāo) =± m。也就是說，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn) 的橫坐標(biāo)。從圖 5-3 也可看出，兩條觀測(cè)條件不同的誤差

18、分布曲線，其拐點(diǎn)的橫 坐標(biāo)值也不同：離散度較小的曲線 I ，其觀測(cè)精度較高，中誤差較?。环粗x散度 較大的曲線 II ，其觀測(cè)精度較低，中誤差則較大。二、相對(duì)誤差真誤差和中誤差都有符號(hào)，并且有與觀測(cè)值相同的單位，它們被稱為“絕對(duì)誤差”。絕對(duì)誤差可用于衡量那些諸如角度、方向等其誤差與觀測(cè)值大小無關(guān)的觀 測(cè)值的精度。但在某些測(cè)量工作中，絕對(duì)誤差不能完全反映出觀測(cè)的質(zhì)量。例如， 用鋼尺丈量長度分別為 100 m和 200 m的兩段距離，若觀測(cè)值的中誤差都是± 2 cm， 不能認(rèn)為兩者的精度相等，顯然后者要比前者的精度高，這時(shí)采用相對(duì)誤差就比 較合理。 相對(duì)誤差 K 等于誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀

19、測(cè)值的比值。它是一個(gè)不名數(shù)， 常用分子為 1 的分式表示，即84式中當(dāng)誤差的絕對(duì)值為中誤差 m的絕對(duì)值時(shí)， K稱為 相對(duì)中誤差m1KDD5-7)1/5000 和在上例中用相對(duì)誤差來衡量，則兩段距離的相對(duì)誤差分別為1/10000 ，后者精度較高。在距離測(cè)量中還常用往返測(cè)量結(jié)果的 相對(duì)較差 來進(jìn)行檢 核。相對(duì)較差定義為D平均D1D 平均D 平均5-8)D相對(duì)較差是真誤差的相對(duì)誤差，它反映的只是往返測(cè)的符合程度，顯然，相 對(duì)較差愈小，觀測(cè)結(jié)果愈可靠。三、極限誤差和容許誤差（一）極限誤差 由偶然誤差的特性一可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超 過一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。在一組等精

20、度觀測(cè)值中，絕對(duì)值大于 m （中誤差）的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為 31.7%；絕對(duì)值大于 2m的偶然誤差，其 出現(xiàn)的概率為 4.5%；絕對(duì)值大于 3m的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為 0.3%。根據(jù)式（ 5-2 ）和式（ 5-4 ）有e2 2d 0.683P f( )d上式表示真誤差出現(xiàn)在區(qū)間（ - ，+）內(nèi)的概率等于 0.683 ，或者說誤差出 現(xiàn)在該區(qū)間外的概率為 0.317 。同法可得852122 2P 22f( )de 22d 0.9 5 52223132 2P 33f( )de 2 2 d 0.9 9 73 2 3 上列三式的概率含義是：在一組等精度觀測(cè)值中，絕對(duì)值大于 的偶然誤差， 其出

21、現(xiàn)的概率為 31.7%；絕對(duì)值大于 2的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為 4.5%；絕對(duì) 值大于 3的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為 0.3%。在測(cè)量工作中，要求對(duì)觀測(cè)誤差有一定的限值。若以 m作為觀測(cè)誤差的限值， 則將有近 32%的觀測(cè)會(huì)超過限值而被認(rèn)為不合格， 顯然這樣要求過分苛刻。 而大于 3m 的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)只有 3，在有限的觀測(cè)次數(shù)中，實(shí)際上不大可能出現(xiàn)。所 以可取 3m作為偶然誤差的極限值，稱 極限誤差， 極 3m 。(二)容許誤差 在實(shí)際工作中，測(cè)量規(guī)范要求觀測(cè)中不容許存在較大的誤差，可由極限誤差 來確定測(cè)量誤差的容許值，稱為 容許誤差 ，即 容 3m當(dāng)要求嚴(yán)格時(shí)，也可取兩倍的中誤差作為容許

22、誤差，即 容 2m如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于所規(guī)定的容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不 可靠，應(yīng)舍去不用或重測(cè)。第三節(jié) 誤差傳播定律前面已經(jīng)敘述了評(píng)定觀測(cè)值的精度指標(biāo)，并指出在測(cè)量工作中一般采用中誤 差作為評(píng)定精度的指標(biāo)。但在實(shí)際測(cè)量工作中，往往會(huì)碰到有些未知量是不可能 或者是不便于直接觀測(cè)的，而由一些可以直接觀測(cè)的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算 得出，這些量稱為間接觀測(cè)量。例如用水準(zhǔn)儀測(cè)量兩點(diǎn)間的高差h，通過后視讀數(shù)a 和前視讀數(shù) b 來求得的， h=a b。由于直接觀測(cè)值中都帶有誤差，因此未知量也 必然受到影響而產(chǎn)生誤差。說明觀測(cè)值的中誤差與其函數(shù)的中誤差之間關(guān)系的定 律，叫做 誤差傳播定律 ，它

23、在測(cè)量學(xué)中有著廣泛的用途。一、誤差傳播定律設(shè) Z 是獨(dú)立觀測(cè)量 x1， x2， xn 的函數(shù)，即Z f ( x1，x2， ，xn)86(a)式中：x1，x2，xn 為直接觀測(cè)量，它們相應(yīng)觀測(cè)值的中誤差分別為 m1，m2， mn，欲求觀測(cè)值的函數(shù) Z 的中誤差 mZ。設(shè)各獨(dú)立變量 xi（i =1，2， n）相應(yīng)的觀測(cè)值為 Li ，真誤差分別為 xi， 相應(yīng)函數(shù) Z 的真誤差為 Z。則Z Z f （x1 x1， x2 x2， ，xn xn）因真誤差xi 均為微小的量，故可將上式按泰勒級(jí)數(shù)展開， 并舍去二次及以上 的各項(xiàng)，得 :fffZ Z f （x1，x2， ，xn） （x1x2xn）x1x2xn

24、（ b）（a）減去（ b）式，得Z fx1fx2fxnx1x2xn上式即為函數(shù) Z的真誤差與獨(dú)立觀測(cè)值 Li的真誤差之間的關(guān)系式。 式中 f 為xi 函數(shù) Z 分別對(duì)各變量 xi 的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測(cè)值（ xi =Li ）代入偏導(dǎo)數(shù)后的值，故均 為常數(shù)。Z (1) f x1(1)f x2(1) f xn(1)x1x2 xnZ (2) fx1(2)fx2(2)fxn(2)x1x2xnZ （k） fx1（k）fx2（k）fxn（k）x1x2xn若對(duì)各獨(dú)立觀測(cè)量都觀測(cè)了 k 次，則可寫出 k 個(gè)類似于（ c）式的關(guān)系式將以上各式等號(hào)兩邊平方后再相加，得Z2fx1x22fxn22xnnii,jj1f x

25、i87上式兩端各除以 k，因各變量 xi的觀測(cè)值 Li均為彼此獨(dú)立的觀測(cè)，則 xixj當(dāng) ij 時(shí)，亦為偶 然誤差。根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性可知，上式的末項(xiàng)當(dāng) k時(shí)趨近于 0，即x1limlim Z 2 k lim lim lim k k k2 x12f 2x2 21 xi kxj x20x1f 2 xn2 xnkf fxi x j1 xixjf2 xn2xnki, j 1 ij故上式可寫為根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成當(dāng) k 為有限值時(shí)，即22f2f12f22x1x2xnx22 z2 n2m22xf 2mn2xn2mz5-9)mzx12m12 f2 x22m22fmxn m5-10)代入偏導(dǎo)數(shù)

26、式中 f 為函數(shù) Z分別對(duì)各變量 xi 的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測(cè)值（ xi =Li）xi后的值，故均為常數(shù)。公式（ 5-9 ）或（ 5-10）即為計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。從公式的推導(dǎo)過程，可以總結(jié)出求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟如下：1列出獨(dú)立觀測(cè)量的函數(shù)式： Z f （x1，x2， ，xn ）2求出真誤差關(guān)系式。對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，得 dZ f dx1 f dx2f dxnx1x2xn因 dZ、 dx1 、 dx2、都是微小的變量，可看成是相應(yīng)的真誤差 Z、 x1 、88x2 、，因此上式就相當(dāng)于真誤差關(guān)系式，系數(shù)f 均為常數(shù)。xi3求出中誤差關(guān)系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數(shù)也平方，即可

27、 直接寫出中誤差關(guān)系式：mz2fm12fm22fmn2zx11x22xn n按上述方法可導(dǎo)出幾種常用的簡(jiǎn)單函數(shù)中誤差的公式 , 如表 5-2 所列,計(jì)算時(shí) 可直接應(yīng)用。表 5-2 常用函數(shù)的中誤差公式函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù) z kx和差函數(shù) z x1 x2xn線性函數(shù) z k1x1 k2x2knxnmz kmx2 2 2mzm1 m2mn若 m1 m2mn 時(shí) mz m nmzk12m12 k22m22kn2mn2二、應(yīng)用舉例 誤差傳播定律在測(cè)繪領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，利用它不僅可以求得觀測(cè)值函數(shù)的 中誤差，而且還可以研究確定容許誤差值。下面舉例說明其應(yīng)用方法。【例 5-2 】在比例尺為 1：5

28、00 的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長度為 d=23.4 mm， 其中誤差 md=±0.2 mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離 D及其中誤差 mD。解：函數(shù)關(guān)系式為 D=Md，屬倍數(shù)函數(shù)， M=500 是地形圖比例尺分母。D Md 500 23.4 11700mm 11.7mmD Mmd 500 ( 0.2) 100mm 0.1m 兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為 11.7 m±0.1 m。89【例 5-3 】水準(zhǔn)測(cè)量中，已知后視讀數(shù) a=1.734 m，前視讀數(shù) b=0.476 m，中 誤差分別為 ma=±0.002 m，mb=±0.003 m ，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。解：

29、函數(shù)關(guān)系式為 h=a- b，屬和差函數(shù)，得h a b 1.734 0.476 1.258m2 2 2 2mhma2 mb20. 002 2 0. 003 20.004m兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為 1.258 m±0.004 m【例 5-4 】在斜坡上丈量距離，其斜距為 L=247.50 m，中誤差 mL=±0.05 m， 并測(cè)得傾斜角 =10°34，其中誤差 m=±3，求水平距離 D及其中誤差 mD。解：首先列出函數(shù)式 D Lcos水平距離D 247.50 cos10 34' 243.303m這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，先求出各偏導(dǎo)值如

30、下：cos10 34' 0.9830LD L sin10 34' 247.50 sin10 34' 45.3 864寫成中誤差形式mD0.98302 0.052 ( 45.3864)23438'0.06m故得 D=243.30 m±0.06 m ?！纠?5-5 】圖根水準(zhǔn)測(cè)量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為 mi=±2 mm，假定 視距平均長度為 50 m，若以 3倍中誤差為容許誤差，試求在測(cè)段長度為 L km的水 準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測(cè)量往返測(cè)所得高差閉合差的容許值。解：已知每站觀測(cè)高差為： h a b則每站觀測(cè)高差的中誤差為： mh 2mi

31、2 2 mm因視距平均長度為 50 m，則每公里可觀測(cè) 10個(gè)測(cè)站， L公里共觀測(cè) 10L 個(gè)測(cè)站， L 公里高差之和為： h h1 h2h10L90L 公里高差和的中誤差為： m 10Lmh 4 5L mm 往返高差的較差（即高差閉合差）為： fh h往 h返 高差閉合差的中誤差為： mf2m 4 10L mm以 3 倍 中 誤 差 為 容 許 誤 差 ， 則 高 差 閉 合 差 的 容 許 值 為 ： fh 容 3mfh 12 10L 38 L mm在前面水準(zhǔn)測(cè)量的學(xué)習(xí)中，我們?nèi)?fh容 40 L （mm）作為閉合差的容許值是 考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的

32、 i 角誤差 等）。三、注意事項(xiàng) 應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（一）要正確列出函數(shù)式例：用長 30 m的鋼尺丈量了 10 個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為 ml=±5 mm，求 全長 D及其中誤差 mD。全長 D 10l 10 30 300m， D 10l 為倍乘函數(shù)。但實(shí)際上全 長應(yīng)是 10 個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為 D l1 l2l10 （為和差函數(shù)）。用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為 mD 10ml 16mm若按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出 mD 10ml 50mm 按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯(cuò)誤的。（二）在函數(shù)式中各個(gè)觀測(cè)

33、值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。如有函數(shù)式 z y1 2y2 1（a）y1 3x； y2 2x 2（ b）若已知 x 的中誤差為 mx，求 Z 的中誤差 mz。若直接用公式計(jì)算 , 由（ a）式得：mz m2y1 4m2y2（c）91my1 3mx ， my2 2mx將以上兩式代入( c)式得mz (3mx )2 4(2mx )2 5mx但上面所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。因?yàn)?y1 和 y2 都是 x 的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立 的觀測(cè)值， 因此在(a)式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。 正確的做法是先把 (b) 式代入 (a) 式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。z 3x 2(2x 2) 1 7x

34、5 mz 7mx第四節(jié) 等精度直接觀測(cè)平差 當(dāng)測(cè)定一個(gè)角度、一點(diǎn)高程或一段距離的值時(shí)，按理說觀測(cè)一次就可以獲得。但僅有一個(gè)觀測(cè)值，測(cè)的對(duì)錯(cuò)與否，精確與否，都無從知道。如果進(jìn)行多余觀測(cè)， 就可以有效地解決上述問題，它可以提高觀測(cè)成果的質(zhì)量，也可以發(fā)現(xiàn)和消除錯(cuò) 誤。重復(fù)觀測(cè)形成了多余觀測(cè)，也就產(chǎn)生了觀測(cè)值之間互不相等這樣的矛盾。如 何由這些互不相等的觀測(cè)值求出觀測(cè)值的最佳估值，同時(shí)對(duì)觀測(cè)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估， 即是“測(cè)量平差”所研究的內(nèi)容。對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差，稱為直接觀測(cè)平差。根據(jù)觀測(cè)條件， 有等精度直接觀測(cè)平差 和不等精度直接觀測(cè)平差 。平差的結(jié)果是得到未知量最可 靠的估值，它最接近真值，

35、平差中一般稱這個(gè)最接近真值的估值為“最或然值 ”，或“最可靠值”，有時(shí)也稱“最或是值” ，一般用 x 表示。本節(jié)將討論如何求等精 度直接觀測(cè)值的最或然值及其精度的評(píng)定。一、等精度直接觀測(cè)值的最或然值 等精度直接觀測(cè)值的最或然值即是各觀測(cè)值的算術(shù)平均值 。用誤差理論證明 如下：設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為 L1、L2、 Ln，該量的 真值設(shè)為 X，各觀測(cè)值的真誤差為 1、2、n，則i=Li-X(i =1，2，n)， 將各式取和再除以次數(shù) n，得 L X92即 L Xnn根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性有 lim L Xnn所以 lim 0nn由此可見，當(dāng)觀測(cè)次數(shù) n 趨近于無窮大時(shí)，

36、算術(shù)平均值就趨向于未知量的真 值。當(dāng) n 為有限值時(shí)，算術(shù)平均值最接近于真值，因此在實(shí)際測(cè)量工作中，將算 術(shù)平均值作為觀測(cè)的最后結(jié)果，增加觀測(cè)次數(shù)則可提高觀測(cè)結(jié)果的精度。二、評(píng)定精度（一） 觀測(cè)值的中誤差1由真誤差來計(jì)算當(dāng)觀測(cè)量的真值已知時(shí)，可根據(jù)中誤差的定義即由觀測(cè)值的真誤差來計(jì)算其中誤差。2由改正數(shù)來計(jì)算 在實(shí)際工作中，觀測(cè)量的真值除少數(shù)情況外一般是不易求得的。因此在多數(shù) 情況下，我們只能按觀測(cè)值的最或然值來求觀測(cè)值的中誤差。（1）改正數(shù)及其特征5-11)最或然值 x 與各觀測(cè)值 Li 之差稱為觀測(cè)值的 改正數(shù) ，其表達(dá)式為vi x Li (i 1,2， ， n)在等精度直接觀測(cè)中，最或然值x 即是各觀測(cè)值的算術(shù)平均值。即5-12)93L顯然nv （x Li ） nx L 0 i1上式是改正數(shù)的一個(gè)重要特征，在檢核計(jì)算中有用（2）公式推導(dǎo)已知 i Li X ，將此式與式（ 5-8 ）相加，得vii x Xa）令 x X ，則i vi（ b）對(duì)上面各式兩端取平方，再求和2 vv 2 v n 2由于 v 0，故 vv n 2c）x X L X L X ， n n n22 21222222(1222n22 1 2 2 2 3 2 n1 n)n2 n2 2( 1 2 2 3 n 1 n ) 22nn根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng) n時(shí)，上式的第