壓軸題專題練習(xí)———放縮法.

1、教師訚威學(xué)生嚴(yán)斯文上課時(shí)間學(xué)科數(shù)學(xué)年級高三教材版本課題壓軸題專題練習(xí)放縮法重難點(diǎn)數(shù)列與函數(shù)的放縮法的訓(xùn)練證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力， 因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項(xiàng)放縮n2的值 ;(2)求證 : n15 .例 1.(1)求k 14k 21k1 k 23教學(xué)過程奇巧積累 :(1)144211(2)1211n224n2C n11 Cn2(n1

2、)n(n 1)n(n 1)n(n 1)4n12n 12n 1(3) Tr 1Cnr1n!11111 ( r2)nrr! ( n r )! n rr !r ( r 1)r 1r(4) (11 )n1 11115n2132n(n1)2(5)111(6)1n2n2 n ( 2n1) 2 n1 2 nn 2(7) 2(n1n )12(nn1)(8)21111n2n 1 2 n 3 2 n(2n 1) 2 n 1(2n 3) 2n(9)1k )1k11,1k )11n1kk (n1n 1kn1n(n 1k 1n1(10)n11(11)1222(n 1) !n ! (n 1) !2( 2n 12n 1)n

3、2n12n111nn22(11)2n2n2n2 n 111(n2)( 2n1)2(2 n1)( 2n1)(2n1)(2n2)(2 n1)(2n 11)2n 11 2n1(12)111111n3nn2n(n1)(n1)n(n1)n (n1)n1n111n1n111n1n12nn1n 1(13)2 n12 2n(31) 2 n33(2 n1)2n2n12n12 n32 n1 3(14)k211(15)1nn1(n2)k!(k1)!( k2)!(k1) !(k2) !n( n1)(15)i 21j 21i2j 2ij1ij( ij )( i21j 21)i 21j 21例 2.(1)求證 :1111

4、71( n2)3 25 2(2n1)262(2n1)(2)求證 : 111111(3)求證: 113 1351 35( 2n 1)2n 1 1416364n 22 4n224 24624 62n(4) 求證： 2( n11)1112 (2n 11)13n2例 3.求證 :6n1115( n 1)( 2n 1)19n234例 4.(2008 年全國一卷 )設(shè)函數(shù) f (x)x x ln x .數(shù)列an滿足 0 a1.af (a ) .1n 1n設(shè)b (a1，1)，整數(shù)ka1b .證明 : ab .k 1a1 ln b例 5.已知 n, mN , x1,Sm1m 2m 3mnm ,求證 : nm

5、1 (m 1)Sn (n 1) m 1 1.例 6.已知 an4n2n ,Tn2n,求證:T T TTn3 .an1232a1 a2例 7.已知 x1 1,n(n 2k1,kZ) ,求證 :111xn2k ,kZ)4 x2 x34 x4 x52( n 1 1)( n N *)n 1(n4 x2n x2n 1二、函數(shù)放縮例 8.求證：ln 2ln 3ln 4ln 3nn5n 6*) .234n3(nN36例 9.求證 :(1)2, ln 2ln 3ln n2n2n 1 (n 2)23n2(n1)例 10.求證 : 111ln( n 1) 11123n 12n例 11.求證 : (1 1 )(11

6、 )(1 1 ) e 和(11)(11)(11)e.2!3!n!9813 2n例 12.求證 : (112) (123)1n(n1)e2n 3例 13.證明 : ln 2ln 3ln 4ln nn(n 1)345n 1(n N*, n 1)4例 14. 已知1,an 1 (111 證明 an e2 .a1n2n)an2n .例 15.(2008 年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)f ( x)xln x. 若 a0, b0,證明 : f (a)( ab) ln 2f (ab)f (b).例 16.(2008 年廈門市質(zhì)檢) 已知函數(shù)f ( x) 是在 ( 0, ) 上處處可導(dǎo)的函數(shù) ,若 x f '

7、 ( x) f ( x) 在 x 0 上恒成立 .(I) 求證：函數(shù)(III) 已知不等式g( x)f ( x) 在 (0,) 上是增函數(shù)；(II) 當(dāng) x10, x2 0時(shí),證明 : f (x1 ) f (x2 )f ( x1 x2 ) ；xln(1x) x在x1且x 0 時(shí)恒成立，求證： 12 ln 2212 ln 3212 ln 4212 ln( n 1) 2n(n N * ).234(n 1)2(n 1)(n2)三、分式放縮姐妹不等式 : bbm (ba0, m0) 和 bbm (ab0, m0)aamaam記憶口訣 ”小者小 ,大者大 ”解釋 :看 b,若 b 小 ,則不等號是小于號

8、,反之 .例 19.姐妹不等式 :(11)(111)1)2n1 和1)(11111也可以表示成為)(15(1(1)(1)(1)2n 132 n 12462n24 62n1 和1 3 5(2n 1)11 3 52n2 4 62n2 n 1( 2n 1)例 20.證明 : (1 1)(11)(11) (11)3 3n 1.473n2四、分類放縮例 21.求證 :111n132n122例22.(2004 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編) 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中 , y 軸正半軸上的點(diǎn)列A 與曲線ny2x（ x 0）上的點(diǎn)列 Bn滿足 OAOBn1 ，直線 An Bn 在 x 軸上的截距為an .點(diǎn)

9、Bn 的橫坐標(biāo)為 bn , n N .nn例 23.(2007 年泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù) f (x) x2bxc(b1, c R) ，若 f (x) 的定義域?yàn)?1， 0，值域也為 1， 0.若數(shù)列 bn 滿足f (n )*，記數(shù)列 bn 的前n 項(xiàng)和為 Tn ，問是否存在正常數(shù)A，使得對于bnn3 (nN )任意正整數(shù) n 都有 TnA ？并證明你的結(jié)論。例 24.(2008 年中學(xué)教學(xué)參考 )設(shè)不等式組x0,表示的平面區(qū)域?yàn)?Dn ,y0,ynx3n設(shè) Dn 內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an .設(shè) Sn111 , 當(dāng) n2時(shí),求證 : 11117n 11.an 1an 2a2na1a2a3a

10、n362五、迭代放縮例 25. 已知 xn 1xn4 , x11 ,求證 :當(dāng) n2 時(shí) , n| xi 2 | 2 21 nxn1i1例26.設(shè)sin 1!sin 2!sin n! ,求證 : 對任意的正整數(shù)1Snk,若 kn 恒有 :|Sn+k Sn|<21222 nn六、借助數(shù)列遞推關(guān)系例 27.求證 : 1131 3 51 356( 2n 1)2n 2 1224246242 n例 28.求證 :11 313 51 35(2n 1)112242462462n2n例 29. 若 a1 1, an 1 a nn1,求證 : 111n11)a 1a 22 (a n解析 : an 2an 1n 2 anan 1 11a n 2anan1所以就有1111a2a12 an 1 an a2 2 n 1 2a1a2anan 1a na1七、分類討論例 30.已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 Sn2an ( 1)n , n 1. 證明：對任意的整數(shù)m 4 ，有 1117a4a 5a m8八、線性規(guī)劃型放縮例 31. 設(shè)函數(shù) f ( x)2x1 .若對一切 xR ， 3 af ( x