數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料理工

1、數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料 (理工 )第七講 曲面積分（一）內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示1. 第一型 (對面積 )曲面積分 .注意無方向 (側(cè) )問題 ,一般計算 (化為投影域上的二重積分)程序 : (1) 畫出曲面 及其投影域 D 的草圖 ;(2)由曲面方程 , 例如 z=z(x, y)寫出面積元素 dS=122dxdy; (3) 計算投影域上的二zxzy重積分 I=f ( x, y, z)dSf (x, y, z( x, y) 1zx2zy2 dxdy.D若曲面由參數(shù)方程x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)表示 ,令E= xu2yu2zu2 , Fxu xvyu yvzu zv

2、, G xv2yv2zv2 ,則 dSEG F 2 dudv.(1) 化為投影域上的二重積分計算 .2y2z21 的上半部分 , 點(diǎn) P(x, y, z) S, 為 S 在點(diǎn) P 處的切平面 ,例 7.1.設(shè) S 為橢球面 x22( x, y, z)為點(diǎn) O(0, 0, 0)到平面 的距離 , 求z(x , y, z)S解 . S 在點(diǎn) P( x, y, z) 處的切平面 的方程為xXyY22d .(2005天津競賽)S1, (, )( x2y22 )1zZz2 .由xy z44z= 1 (x2y2zx2 ,zy22 ) ,xx2yy2 1 (x2y22 1 ()2222, dS4 x2y 2

3、)2 1 ( x 2y 2)22dxdy, 因此z12223d(4 r) rdr(x, y, z) dS402 .S0(2) 第一型曲面積分的對稱性用法 .命題 7.1.若曲面片 S 關(guān)于 xy 平面對稱 , 可積函數(shù) f(x,y , z)=f(x, y, z), 則f (x, y, z)dS =0 .S命題 7.2.若曲面片 S 關(guān)于 xy 平面對稱 , 可積函數(shù) f(x,y,z)=f(x, y, z), 則f (x, y, z)dS2f ( x, y, z)dS, S1 為 S 的上半部分 .SS1命題 7.3.若曲面片 S 關(guān)于原點(diǎn)對稱 , 可積函數(shù) f(x,y,z)=f(x, y, z

4、), 則 f ( x, y, z)dS =0.S命題 6.4.若曲面片 S 關(guān)于原點(diǎn)對稱 , 可積函數(shù) f(x,y,z)= f(x, y, z), 則f (x, y, z)dS2f ( x, y, z)dS, S1 為 S 的上半部分 .SS1例 7.2.設(shè) S:x2y 2z 2a 2 (z0), S1 為 S 在第一卦限中的部分,則有 ()(A)xdS4xdS.(B)ydS4 xdS. (C )zdS4xdS.SS1SS1SS1(D)xyzdS4xyzdS.(2003 天津競賽 )SS1解 .運(yùn)用對稱性可知應(yīng)選 C .例 7.3.設(shè)曲面 :| x|+|y|+| z| =1 , 則( xy )

5、dS =. (07研招一 )解 .令 D : x 0, y 0, x+y 1.運(yùn)用對稱性可得積分 = 83ydxdy343.應(yīng)填 : 34 3.D例 7.4.設(shè) 為曲面 x2y2R2介于 0z R的部分 ,則dSz2 =. (2002 天津競賽 )x2 y 2解 .運(yùn)用對稱性 , 在 yz 平面的投影域 D :| y| R,0z R,1x22R1y2R1z2 dz12I= 2R2 z21 ( y )dydzRR 2y2 dy0R22.D例 7.5.設(shè)曲面 為 x 2y 2z24,則(x 2y 2 )dS =. (2002 北京競賽 )解 .運(yùn)用對稱性 , I= 1(222222) d128.x

6、yy zzx33S(3) 第一型曲面積分的應(yīng)用 .例 7.6.設(shè) S 為曲面 z=0, z=x+ 2, x2y 21圍成的立體V的邊界 .(1) 求曲面積分 I=xdS.(2) 若 S 有均勻密度 ( 常數(shù) ), 求 S 的質(zhì)量 M .S11x 2解.(1) I=d d2d d 2d d 0 2xdd.x x yxx yx1 x2x z1 1 x2x 0zD xyDxyDzx(2) M=dS(2.1)dxdy21dxdz1 x2SDxyDzx(2. 1)2122dx(2.5) .x1 1x例 7.7.求密度為 的均勻半球殼 x 2y 2z2a 2 (z0) 對于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量 .解 .記此

7、半球殼為S,則所求轉(zhuǎn)動慣量J=(x 2y2 )dS ,用球坐標(biāo)計算 . S 的參數(shù)方程為x=asin cos, y=asin sin , z=acos ,0 2 , 0 2 ,則E= a 2 , F0,Ga2 sin 2, EGF 2a2 sin ,2d22sin2a2sin d4a4.J=0a302. 第二型 (對坐標(biāo) )曲面積分 .注意有方向 (曲面的側(cè) ) 問題 ,一般計算方法有:(1) 通過投影化成二重積分計算第二型曲面積分.若積分曲面S : x=x(y, z)在 yz 平面的投影為D yz, 則 P( x, y, z)dydzP( x( y, z), y, z)dydz, 其中正負(fù)號

8、取決于S 為前側(cè)還是后側(cè) .SDyz對 Q(x, y, z)dzdx、 R(x, y, z)dxdy 的積分有類似公式, 正負(fù)號分別取決于S 為右側(cè)還是左側(cè)、上側(cè)還是下側(cè) .例 7.8.求 I=xdydzz2 dxdy,222和平面 z=a,z=a (a>0)圍成立體的外側(cè) .x222其中 是圓柱面 xyayz解 .被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在立體內(nèi)部不連續(xù),因此不能用高斯公式計算.現(xiàn)記 的四部分為 :1 : za, 上側(cè) ;2 : za,下側(cè) ; 3 : xa 2y 2 , 前側(cè) ; 4 : xa2y2 ,后側(cè) ,則I 1xdyd zz2dxdya2 dxd y, I 2xdydzz2dxdy

9、(a) 2 dxdy,x2 y2 z2x2y2 a 2x2 y2 z2x2 y2 ( a )21D1xy2D 2 xyI 3xdydzz2d xdya2 y2 dydzz2dxdya 2 y2 dydz,x2 y 2 z2a2 z2x 2 y2 z2a2 z23D3 yzD3xyD3 yzI 4xdydz z2dxdya2 y 2 dydzz2 dxd ya2 y2 dydzx2 y2 z2a 2 z2x2 y2 z2a2 z2,因此4D 4 yzD4 xyD 4 yzI= I1I2 I3I 42aaa22dy 8aaa2y21a2.dzdza a2 z2ay0 a 2 z20dy 2(2)

10、應(yīng)用高斯公式計算 .若曲面 S 為分片光滑閉合曲面,且取外側(cè) ,其包圍的空間立體為V,則積分PdydzQdzdxRdxdy( PxQRz )dxdydz .ySV應(yīng)注意條件 ,一是函數(shù) P、Q、R 在 V 上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),二是當(dāng) 不閉合時 ,要添加光滑曲面使其閉合后再用高斯公式 .例 7.9.求積分 I=2(1 x 2 )dydz 8xydzdx4xzdxdy, 其中 是由曲線 xey (0 y a)繞 x軸旋轉(zhuǎn)成的旋轉(zhuǎn)曲面外側(cè) .解 .用平面 x=e a 封閉 ,圍成立體 V ,則 I2(1 e2 a ) dydz2a2(e2a1).y2z2a 22例 7.10.計算曲面積分I=xzdy

11、dz 2zydzdx3xydxdy, 其中 為曲面 z1x2 y4 (0 z1)的上側(cè) . (2007 研 )解 .用平面 z=0 封閉 ,圍成立體 V ,記 V 的下底面的下側(cè)為S ,則(z2z0)dxdydz( 3xydxdy)1zdzdxdy0.I=3SSVx2y 20x2y 24 14 1 z例 7.11.計算I=xdydzydzdxzdxdy,其中 S 是1z( x 2)2( y 1)2(z 0)的上側(cè) .(1995 北京競賽 )372516S( x2 y2 z2 ) 2解 .用高斯公式 ,但封閉時應(yīng)避開原點(diǎn) ,即作原點(diǎn)為中心、充分小半徑的上半球面 : z2x 2y2 ,表 示 其下

12、 側(cè) , 再 用 xy 平 面 封 閉 , 由 此 得 立體 V, 其 邊 界 外 側(cè) 為S, 其中表示 V 的下底面的下側(cè),于是I= ()0xdydzydzdxzdxdy,SV再用一次高斯公式得I=3dv =2 .x2y2z2 1, z 0(3) 應(yīng)用向量的數(shù)量積計算 .設(shè)曲面 : z=f(x, y) ,法向量 n= f x , f y ,1, 則I= Pdydz Qdzdx Rdxdy0 P, Q, R dydz, dzdx,dxdyF n dS= Pdydz Qdzdx Rdxdy P,Q , R dydz, dzdx, dxdy0F n dSf xf y122= P,Q,R 1 f x

13、2 f y2,1 f x2 f y2,1 f x2 f y2 1 f xf ydxdy= P,Q, R f x ,f y ,1dxdy P, Q, R f x ,f y ,1dxdy ,D xy其中正號的取法需保持 的側(cè)與 n 的方向一致 , 否則取負(fù)號 .例 7.12.求積分 I=截出部分的外側(cè).ydzdx(z1)dxdy, 其中是圓柱面 x2y 2 =4 被平面 x+z= 2 和 z=0 所解 .記 : x+z= 2,上側(cè) ;S: z=0,下側(cè) ; , 與 S 圍成立體 V . 則I=(11)dv0,y, z11,0,1 dxdydxdySVS= 0( z 1)dxdy4(3 x)dxdy

14、 +4 =12 +4=8.DxyD xy(4) 第二型曲面積分的對稱性用法 .例 7.13.設(shè)曲面 是 z=4x 2y2 的上側(cè) ,則xydydzxdzdxx 2dxdy =. (08 研招一 )解 .記 在 xy 平面上的投影域為D ,運(yùn)用對稱性 ,得1221221222(xy)dxdy(xy)dxdydrrdr =4 .應(yīng)填 : 4 .原式 =0+0+ 2220D0例 7.14.計算 I=2dydzdzdxd xdy, 其中 S是球面 x2y2z21的外側(cè) . (1992 北京競賽 )2x2y2Sx coscoszcosz解 .應(yīng)用 S 的對稱性 , I=2 dxdydxdydxdy(11

15、2)d d ,其中12dd0,因zcos2z2z2z2zcosz coszcoscoszxycoszx ySSS此 I=dxdy2dxdy22d1rdr4 tan1.zcos2 zx2y 21x2y2 cos2 1x2 y 2001r 2 cos21r 2S1(5) 第二型曲面積分的應(yīng)用.例 7.15.求向量 A=xyi+yzj+zx k 穿過單位球面在第一卦限部分的流量m .解 .令 為單位球面在第一卦限部分的外側(cè), 并添加三個坐標(biāo)平面使封閉成立體V , 則運(yùn)用對稱性及高斯公式可得m 為xydydz yzdzdxzxdxdy3zxdxdy3xdvzxdxdyzxdxdyzxdxdyVz 0x

16、 0y 011z21=3dz 2 cos dr 2 dr316 . 或 3 2 d2dr3 sin dr .0000003.兩類曲面積分的聯(lián)系 .PdydzQdzdxRdxdy(P c o sQ c o sR c o s )dS,其中 cos 、 cos 、 cos 是有向曲面 上點(diǎn) (x, y, z)處法向量的方向余弦 .例 7.16.求 I=(x3 cosy3cosz3 cos)dS,是錐面 z2x 2y 2 在 1 z 0 的部分 ,cos 、cos 、 cos 是 上任一點(diǎn) (x, y, z)的法線向量的方向余弦,且 cos <0 . (1999 陜西競賽 )解 .給定的第一型曲

17、面積分轉(zhuǎn)換為第二型積分 ,再用平面 S : z= 1 的上側(cè)封閉成立體 V,根據(jù)高斯公式可得2222sec49I= 3(xyz)dvdxdy3d 3 sin ddr10 .0r10VS上044.斯托克斯公式 .dydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyz, 其中 L 的方向與 的側(cè)應(yīng)符合右手定則 .LPQR例 7.17.計算曲線積分( zy) dx( xz)dy ( xy) dz,其中 C是曲線x2y21, 從 z軸Cxy z2,正向往 z 軸負(fù)向看 C 的方向是順時針的. (1997 研 )解 .用斯托克斯公式 .令 S是平面 xy+z= 2 上 C 圍成的部分下側(cè) , D 為其在 xy

18、 平面上的投影 , 則積dydzdzdxdxdy分xyz2dxdy2dxdy2 .CSz yx zx ySD（二）習(xí)題7.1.填空題 :(1)設(shè) 是由錐面 z=x2y 2 與半球面 zR2x 2y 2圍成的空間區(qū)域, 是的整個邊界的外側(cè) , 則xdydzydzdxzdxdy =. (2005 研 )(2)設(shè) 是錐面z= x2y2(0z 1)的下側(cè)則xdydz（）dxdy=.,2 ydzdx 3 z1(2006 研)計算曲面積分2dydz sin xdxdy, 其中 是曲線y1 z2 2)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)7.2.I= xzx(1z0而成的旋轉(zhuǎn)面 , 其法線向量與z 軸正向的夾角為銳角 . (200

19、4天津競賽 )7.3.求積分 I=SzdS, S為錐面 zx2y 2 在柱體 x2y 22x內(nèi)的部分 .7.4.計算曲面積分I=(x3az2 )dydz ( y3ax 2 )d zdx( z3ay 2 )dxdy, 其中 為上半球面z= a2x 2y2的上側(cè) .(2001天津競賽 )7.5.計算曲面積分I=2x3 dydz2y 3dzdx3(z21)dxdy,其中 是曲面 z 1 x 2y2 (z 0)的上側(cè) . (2004 研 )7.6.計算axdydz(z a)dxdy, 其中 為下半球面 za2x2y2的上側(cè) , a 為大于零的常數(shù) .(x2y221z)2(1998 研 )7.7.設(shè) f

20、(u)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù) , 計算I=1y f ( yx )dydzx1 f ( yx )dzdxzdxdy,其中 是yx2z26, y8x 2z2所圍立體的外側(cè) . (2002 北京競賽 )7.8.計算曲面積分4 d d2 d d(1z2 )dd ,其中 為z ay(01)繞 zzx y zz z xx yy2, a>0, a軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的下側(cè).( 第二屆哈工大競賽 )7.9.計算 I=x 2dydz y 2dzdx z2 dxdy, 其中 是( xa) 2( yb)2( zc) 2r 2 的外側(cè) .(1991 北京化工大學(xué)競賽 )7.10. 求曲面積分x 2 dydzy2 dzdx,其中 是曲面 zx2y 2 的滿足z x 的部分的下側(cè) .(1992 北京輕工學(xué)院競賽)7.11.計算 I=ydzdx ( z 1)dxdy,其中是圓