平面向量及其加減運(yùn)算教師版

1、初中數(shù)學(xué)備課組教師班級(jí) 初二學(xué)生 日期 上課時(shí)間 教學(xué)內(nèi)容 平面向量及其加減運(yùn)算【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【要點(diǎn)點(diǎn)撥】一.平面向量 1.有向線段 規(guī)定了方向的線段叫做有向線段。 2.向量 既有大小又有方向的量叫做向量。 向量的大小也叫做向量的長(zhǎng)度。（或向量的模） 3.向量的表示 （1）向量可以用有向線段直觀表示 有向線段的長(zhǎng)度表示向量的長(zhǎng)度； 有向線段的方向表示向量的方向。 （2）常見(jiàn)的表示方法 向量，長(zhǎng)度記為； 向量、，長(zhǎng)度記為、。 4.相等的向量 方向相同且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量。 5.相反的向量 方向相反且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反的向量。 6.平行向量 方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行

2、向量。例1:判斷下列語(yǔ)句是否正確：（1）用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)不同但“同向且等長(zhǎng)”的有向線段表示相等的向量。（2）表示兩個(gè)向量的有向線段具有同一起點(diǎn)，那么當(dāng)兩個(gè)向量不相等時(shí)，兩個(gè)有向線段的終點(diǎn)有可能相同。（3）向量與向量是同一個(gè)向量。（4）相等向量一定是平行向量。（5）互為相反的向量不一定是平行向量。（6）平行向量一定是相等向量或互為相反的向量。解：（1） （2）× （3）× （4） （5）× （6）×例2:在梯形中，點(diǎn)在上，如果把圖中線段都畫(huà)成有向線段，那么在這些有向線段表示的向量中，指出（用符號(hào)表示）。 （1）所有與相等的向量。（2）所有與互為相

3、反的向量。（3）所有與平行的向量。解：（1）； （2）與互為相反的向量：、； （3）所有與平行的向量為：，。二.平面向量的加法 1.向量的加法 求兩個(gè)向量的和向量的運(yùn)算叫做向量的加法。 2.零向量 長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作。規(guī)定的方向可以是任意的（或者說(shuō)不確定）；。 因此，兩個(gè)相反向量的和向量是零向量，即：。 對(duì)于任意向量，都有，。 3.向量的加法滿足交換律：。 4.向量的加法滿足結(jié)合律：。 5.向量加法的三角形法則 求不平行的兩個(gè)向量的和向量時(shí)，只要把第二個(gè)向量與第一個(gè)向量首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是和向量。 6.向量加法的多邊形法則 幾個(gè)向

4、量相加，可把這幾個(gè)向量首尾順次相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這幾個(gè)向量的和向量。例1 如圖，已知向量與，求作。 略例2 計(jì)算：（1） ； . （2） 。 （3） 。三、平面向量的減法 1.向量的減法 已知兩個(gè)向量的和及其中一個(gè)向量，求另一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的減法。 減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，即：。 2.向量減法的三角形法則 在平面內(nèi)取一點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為公共起點(diǎn)作出這兩個(gè)向量，那么它們的差向量是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。 3.向量加法的平行四邊形法則 如果，是兩個(gè)不平行的向量，那么求它們的和向量時(shí)，可以在平面內(nèi)任取一

5、點(diǎn)為公共起點(diǎn)作兩個(gè)向量與，相等，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，然后以所取的公共起點(diǎn)為起點(diǎn)，作這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線向量，則這一對(duì)角線向量就是，的和向量，這個(gè)法則叫做向量加法的平行四邊形法則。4.另外一個(gè)對(duì)角線向量，即是，的差向量，這個(gè)差向量與被減向量共終點(diǎn)。例1 如圖，在圖中畫(huà)出向量。 略例2 計(jì)算： 。例3 如圖，多邊形是正六邊形，設(shè)，。試用向量和表示向量，。 解：； ； 。鞏固練習(xí)一、填空題1.已知下列各量:體積、人口數(shù)量、風(fēng)速、重力、用水量、拉力，其中向量有 風(fēng)速、重力、拉力 .2.已知向量與向量是互為相反的向量，如果，那么 -1 .3.如果與互為相反的向量，則 . 4.已知平行四邊形

6、中，向量，的和為 （或） .5.如右圖，梯形中，點(diǎn)在上，則6.在中，若，則 （用和表示）。7.如圖，四邊形OACB是平行四邊形，AB、OC是對(duì)角線。如果，那么= ，= 。二、選擇題 1.下列句子正確的是（ A ）A.向量是描述“兩個(gè)點(diǎn)得分相對(duì)位置差”的量B.向量與“平移”沒(méi)有關(guān)系 C.有向線段表示同一個(gè)向量必須起點(diǎn)相同且“同向等長(zhǎng)” D.兩條不同的有向線段分別表示的向量一定不是相等向量2.下列關(guān)于、的式子：；。如果、互為相反向量，那么上面式子中正確的個(gè)數(shù)為（ C ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.下列命題中，假命題的是（ D ）A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則4.下列

7、判斷中，不正確的是（ B ） A.如果，那么 B. C. D.5.下列命題中，假命題的是（ A ） A.零向量沒(méi)有方向 B.零向量和任意向量平行 C. D.如果，那么6.若O是等邊三角形ABC的三邊上的高的交點(diǎn)，則向量是（ C ）A.起點(diǎn)相同的量 B.平行的量 C.模相等的向量 D.相等的向量7.在平行四邊形中，下列等式成立的是（ D ）A. B. C. D.8.如圖，梯形ABCD中，AD/BC，AC、BD相交于O，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ C ）若，則梯形是等腰梯形； 若，則梯形是等腰梯形；若梯形是等腰梯形，則 若，則。A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)三、解答題 1.用有向線段（比例尺）

8、表示兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。（1）點(diǎn)在點(diǎn)的正南250米處。（2）點(diǎn)在點(diǎn)的東北150米處。（3）點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向的3米處。圖略2.如圖，等邊中，、分別是、 的中點(diǎn)，圖中點(diǎn)的邊都看成有向線段，那么（1）與相等的線段有 8 條。 （2）寫(xiě)出與向量相等的向量。 （3）寫(xiě)出與向量平行的向量。 解：（2）與向量相等的向量為：，。 （3）與向量平行的向量為：，。3.某人從出發(fā)向西走了200米到達(dá)點(diǎn)，然后改變了方向向北偏西走了450米到達(dá)點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200米到達(dá)點(diǎn)。 （1）作出向量、（比例尺為）。 （2）求。 解（1）圖略； （2）。4.如圖，已知，求作：。 圖略5.如圖，已知在梯形中，點(diǎn)在邊上，

9、聯(lián)結(jié)，。 （1）填空： ； 。 （2）求作：。 （2）圖略6.已知，用平行四邊形法則求（1）。（2）。 圖略7.如圖，點(diǎn)E在的對(duì)角線BD上。（1）填空： ； 。（2）求作：。（2）圖略8.如圖，點(diǎn)、在平行四邊形的對(duì)角線上，且，設(shè)，,。（1）填空： ； （或） 。（2）求作：。 （2）圖略家庭作業(yè)一.填空題1.在四邊形中，如果，那么與相等的向量是 .2.用向量的形式添加一個(gè)條件 ，使四邊形是平行四邊形.3.計(jì)算： .4.，方向向西，方向向東，則 3 . 5.計(jì)算：（1） . （2） .（3） . （4） .6.已知中，若，那么用和表示向量= .7.已知：矩形，對(duì)角線、相交于點(diǎn)。 （1）利用圖中的

10、向量表示： .（2）利用圖中的向量表示： （或） . （3）如果,則 . 二.選擇題1. 的負(fù)向量是（ C ）A.與方向相反的量 B.與符號(hào)相反的向量 C.與反向且大小相等的量 D.以上均不對(duì)2.如果，那么下列結(jié)論中，正確的是（ D ）A. B. C. D.3.若非零向量是的相反向量，則下列說(shuō)法不正確的是（ A ）A. 與的模不一定相等 B. 與平行 C. 與一定不相等 D. 也是的相反向量4.在四邊形中，向量、的和向量是（ D ） A. B. C. D.5.兩個(gè)非零向量，互為相反向量，則下列各式正確的個(gè)數(shù)是（ C ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6.下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是（ B ）A. B. C. D.7.下列等式中，不正確的是（ D ）A. B. C. D. 三簡(jiǎn)答題1.如圖，多邊形是正六邊形，設(shè)，。找出圖中與、相等的向量。 解：與相等的向量為：、。 與相等的向量為：、。2.已知在梯形中，是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)和。畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出所有與平行的向量。解：與平行的向量為：、。3.如圖，已知向量、。求作：向量。略4如圖，已知中，設(shè)，試用、表示下列向量：（1）。 （2）。 （3）。 （4）。（5）求作向量：。（6）求作向量：。解：（1）； （2）； （3）；