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1、完全平方公式講解第一部分 概念導(dǎo)入1問(wèn)題:根據(jù)乘方的定義,我們知道:a2=a·a,那么(a+b)2 應(yīng)該寫(xiě)成什么樣的形式呢?(a+b)2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律?計(jì)算下列各式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_; (m+2)2=_;(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_; (m-2)2=_;2學(xué)生計(jì)算3得到結(jié)果:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1 (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 (2)(p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 (m-2)2=(m-2)(m-2=m2-4m+44分析推廣:結(jié)果中有兩個(gè)

2、數(shù)的平方和,而2p=2·p·1,4m=2·m·2,恰好是兩個(gè)數(shù)乘積的二倍。(1)(2)之間只差一個(gè)符號(hào)。 推廣:計(jì)算(a+b)2=_ _ (a-b)2=_ _ 【2】 得到公式,分析公式 (1)結(jié)論:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即:兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加(或減)它們的積的2倍(2)公式特征左邊:二項(xiàng)式的平方右邊:二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方與這兩項(xiàng)乘積2倍的和注意:公式右邊2ab的符號(hào)取決于左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的符號(hào)若這兩項(xiàng)同號(hào),則2ab取“”,若這兩項(xiàng)異號(hào),則2ab的符號(hào)為“”(3)公式中字母可代表的含義

3、公式中的a和b可代表一個(gè)字母,一個(gè)數(shù)字及單項(xiàng)式(4)幾何解釋圖15圖15中最大正方形的面積可用兩種形式表示:(ab)2 a22abb2,由于這兩個(gè)代數(shù)式表示同一塊面積,所以應(yīng)相等,即(ab)2a22abb2因此,用幾何圖形證明了完全平方公式的正確性【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】例1計(jì)算(1)(3a2b)2 (2)(mnn2)2點(diǎn)撥:運(yùn)用完全平方式的時(shí)候,要搞清楚公式中a,b在題目中分別代表什么,在展開(kāi)的過(guò)程中要把它們當(dāng)作整體來(lái)做,適當(dāng)?shù)牡胤綉?yīng)打括號(hào),如:進(jìn)行平方的時(shí)候同時(shí)應(yīng)注意公式中2ab的符號(hào)解:(1)(3a2b)2(3a)22·(3a)·(2b)(2b)29a212ab4b2注意:(

4、2)中n2的指數(shù)2與公式中b2的二次方所代表含義不同,所以在展開(kāi)過(guò)程中不要漏掉“二次方”例2計(jì)算(1)(mn)2 (2)(5a2)(5a2)點(diǎn)撥:(1)可直接用完全平方公式由于m與n是同號(hào),所以公式中的2ab取“”(2)中兩個(gè)二項(xiàng)式雖然不同,但若將第一個(gè)括號(hào)中的“”提出,則剩下的兩個(gè)括號(hào)里的項(xiàng)完全相同,可利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算解:(1)(mn)2(m)22·(m)(n)(n)2m22mnn2(2)(5a2)(5a2)(5a2)(5a2)(5a2)2(25a220a4)25a220a4小結(jié):由(2)可知,將兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,兩個(gè)括號(hào)里的每一項(xiàng)都相反的話,可先作適當(dāng)調(diào)整,再利用完全平方公

5、式進(jìn)行計(jì)算例3計(jì)算(1)(x2y)2(xy)(xy)(2)(mn)(m2n2)(mn)點(diǎn)撥:(1)可分別應(yīng)用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行乘法運(yùn)算,再化簡(jiǎn)(2)可先利用平方差公式將mn與mn相乘,再將所得結(jié)果m2n2與中間括號(hào)里的m2n2相乘,可利用完全平方公式解:(1)(x2y)2(xy)(xy)(x24xy4y2)(x2y2)x24xy4y2x2y24xy5y2(2)(mn)(m2n2)(mn)(mn)(mn)(m2n2)(m2n2)(m2n2)(m2)22·m2·n2(n2)2m42m2n2n4說(shuō)明:這兩題在能用公式的地方盡量用公式,是因?yàn)閼?yīng)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,若想不到

6、,用多乘多也可例4計(jì)算:(x)2(x)2點(diǎn)撥:第一種方法是利用完全平方公式直接展開(kāi),第二種方法是可利用平方差公式逆運(yùn)算:a2b2(ab)(ab),將此題轉(zhuǎn)化為平方差公式進(jìn)行計(jì)算解法一:(x)2(x)2(x2xy)(x2xy)x2xyx2xy2xy解法二:例5計(jì)算:(a2b1)(a2b1)點(diǎn)撥:此題“三項(xiàng)式乘三項(xiàng)式”,且這兩個(gè)括號(hào)中的三項(xiàng)只有符號(hào)不同先找出兩個(gè)括號(hào)中完全相同的項(xiàng)放在一起,再把互為相反數(shù)的項(xiàng)放在一起,構(gòu)成(ab)(ab)的形式,利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算關(guān)鍵:此題最重要一步就是由到的過(guò)程轉(zhuǎn)化,要保證代數(shù)式在形式發(fā)生變化的同時(shí),大小不變!隨堂練習(xí)一、選擇題1下列運(yùn)算中,正確的是( )

7、 A3a+2b=5ab B(a1)2=a22a+1 Ca6÷a3=a2 D(a4)5=a92下列運(yùn)算中,利用完全平方公式計(jì)算正確的是( ) A(x+y)2=x2+y2 B(xy)2=x2y2 C(x+y)2=x22xy+y2 D(xy)2=x22xy+y23下列各式計(jì)算結(jié)果為2xyx2y2的是( ) A(xy)2 B(xy)2 C(x+y)2 D(xy)24若等式(x4)2=x28x+m2成立,則m的值是( ) A16 B4 C4 D4或4二、填空題5(x2y)2=_6若(3x+4y)2=(3x4y)2+B,則B=_7若ab=3,ab=2,則a2+b2=_8(_y)2=x2xy+_;

8、(_)2=a26ab+_三、解答題9利用完全平方公式計(jì)算:(1)20082; (2)78210 先化簡(jiǎn),再求值:(2x1)(x+2)(x2)2(x+2)2,其中x=11.利用公式計(jì)算:196212.某正方形邊長(zhǎng)a cm,若把這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)減小3 cm,則面積減少了多少?13. 已知x+y=1,求x2+xy+y2的值14.已知a+=5,分別求a2+,(a)2的值15.為了擴(kuò)大綠化面積,若將一個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)增加3米,則它的面積就增加39平方米,求這個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)16.小明在計(jì)算時(shí),找不到計(jì)算器,去向小華借,小華看了看題說(shuō)根本不需要用計(jì)算器,而且很快說(shuō)出了答案你知道他是怎么做的嗎?17已知

9、:ab5,ab6,求a2b218. 利用公式計(jì)算:992119. 計(jì)算 (1); (2); (3)102; (4)99. (5);(6).20.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加3cm,它的面積就增加39,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少?21.當(dāng)?shù)闹?2. 求證:當(dāng)n為整數(shù)時(shí),兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)23.觀察下列等式:,請(qǐng)用含自然數(shù)n的等式表示這種規(guī)律為:_.24. 已知是一個(gè)完全平方式,求M的值.25.2005年12月1日是星期四,請(qǐng)問(wèn):再過(guò)2005天的后一天是星期幾?答案一、1B2C 點(diǎn)撥:(x+y)2=x2+2xy+y2,所以A不正確;(xy2=x22xy+y2,所以B不正確;(x+y)2=(x)2+

10、2(x)·y+y2=x22xy+y2,所以C正確;(xy)2=(x+y)2=x2+2xy+y2,所以D也不正確,故選C3D4D 點(diǎn)撥:因?yàn)椋▁4)2=28x+16,所以若(x4)2=x28x+m2成立,則m2=16,從而得m=±4,故選D二、5x2+4xy+4y2 點(diǎn)撥:(x2y)2=(x+2y) 2=(x+2y)2=x2+4xy+4y2648xy 點(diǎn)撥:B=(3x+4y)2(3x4y)2=9x2+24xy+16y2(9x224xy+16y2)=9x2+24xy+16y292+24xy16y2=48xy713 點(diǎn)撥:因?yàn)閍b=3,ab=2,所以a2+b2=(ab)2+2ab

11、=32+2×2=9+4=138x;y2;a4b;16b2三、9解:(1)20082=(2000+8)2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064;(2)782=(802)2=8022×80×2+22=6400320+4=608410解:(2x1)(x+2)(x2)2(x+2)2=2x2+4xx2(x24x+4)(x2+4x+4)=2x2+3x2x2+4x4x24x4=3x10當(dāng)x=時(shí),原式=3×()10=110=1111.思路:196接近整數(shù)200,故1962004,則此題可化為(2004)

12、2,利用完全平方公式計(jì)算解:1962(2004)220022×200×4424000016001638416說(shuō)明:可轉(zhuǎn)化為完全平方的形式的數(shù)必須較接近一個(gè)整數(shù)才較易進(jìn)行計(jì)算12.思路:先分別表示出新舊正方形的邊長(zhǎng),再根據(jù)“正方形面積邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”,表示出兩個(gè)正方形的面積,用“大小”即可得出所求計(jì)算的關(guān)鍵在完全平方式的展開(kāi)解:原正方形面積:a2現(xiàn)正方形面積:(a3)2面積減少了a2(a3)2a2(a26a9)a2a26a9(6a9)(cm2)答:面積減少了(6a9) cm213.解:因?yàn)閤+y=1,所以(x+y)2=1,即x2+2xy+y2=1所以x2+xy+y2=(

13、x2+2xy+y2)=×1= 點(diǎn)撥:通過(guò)平方將已知條件轉(zhuǎn)化為完全平方公式,從而巧妙求值14.因?yàn)閍+=5,所以a2+=(a+)22·a·=522=23,所以(a)2=a2+2·a·=232=21 點(diǎn)撥:注意公式的一些變形形式,例如:a2+b2=(a+b)22ab,a2+b2=(ab)2+2ab,(a+b)2=(ab)2+4ab,(ab)2=(a+b)24ab等等15.解:設(shè)這個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)為x米,依題意列方程得,(x+3)2x2=39,即x2+6x+9x2=39,6x=30,x=5答:這個(gè)正方形花壇的邊長(zhǎng)為5米 點(diǎn)撥:適當(dāng)引進(jìn)未知數(shù),根據(jù)題

14、中的相等關(guān)系得到方程,解方程即可16解:知道,做法如下:= 點(diǎn)撥:由200920072=(200920081)2,200920092=(20092008+1)2,運(yùn)用完全平方公式化簡(jiǎn)即可17.點(diǎn)撥:同時(shí)存在ab,ab,a2b2的公式為完全平方公式(ab)2a22abb2,將題目中所給條件分別看作整體,代入公式即可注意:不要分別求出a和b,運(yùn)算繁瑣若已知ab(或ab),ab,a2b2中的二者,都可利用完全平方公式求出第三者解:a2b2(ab)22ab當(dāng)ab5,ab6時(shí)原式(5)22×(6)25123718.點(diǎn)撥:可分別用完全平方公式或平方差公式兩種方法得到相同的答案19.【點(diǎn)撥】(1)

15、符合平方差公式的特征,只要將ab看成是a,1看成是b來(lái)計(jì)算.(2)利用加法交換律將原式變形為,然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算.(3)可將102改寫(xiě)為,利用兩數(shù)和的平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.(4)可將99改寫(xiě)為,利用兩數(shù)差的平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.解:(1)=;(2)= =;(3)102= =;(4)99=. 【點(diǎn)撥】(5,6)兩個(gè)因式中都含有三項(xiàng),把三項(xiàng)看成是兩項(xiàng),符號(hào)相同的看作是一項(xiàng),符號(hào)相反的看作是一項(xiàng),運(yùn)用公式計(jì)算,本題可將看作是一項(xiàng).先將三項(xiàng)看成是兩項(xiàng),用完全平方公式,然后再用完全平方公式計(jì)算.解:(5)=;(6)=.【點(diǎn)評(píng)】1.在運(yùn)用平方差公式時(shí),應(yīng)分清兩個(gè)因式中是不是有一項(xiàng)完全相同,有一項(xiàng)互為相

16、反數(shù),這樣才可以用平方差公式,否則不能用;2.完全平方公式就是求一個(gè)二項(xiàng)式的平方,其結(jié)果是一個(gè)完全平方式,兩數(shù)和或差的平方,等于這兩個(gè)數(shù)的平方和,加上或減去這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍,在計(jì)算時(shí)不要發(fā)生:或這樣的錯(cuò)誤;3.當(dāng)因式中含有三項(xiàng)或三項(xiàng)以上時(shí),要適當(dāng)?shù)姆纸M,看成是兩項(xiàng),用平方差公式或完全平方公式.20.【點(diǎn)撥】如果設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為xcm,根據(jù)題意和正方形的面積公式可列出方程求解.解:設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則即,解得 x=5.答:這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是5.21.【點(diǎn)撥】先用乘法公式計(jì)算,去括號(hào)、合并同類項(xiàng)后,再將a、b的值代入計(jì)算出結(jié)果.解:=;當(dāng) =8(-1)=-4.22.【點(diǎn)撥】運(yùn)用完全平方公式將化簡(jiǎn),看所得的結(jié)果是否是8整數(shù)倍.證明:=,又n為整數(shù),8n也為整數(shù)且是8的倍數(shù).23.【點(diǎn)撥】本題是屬于閱讀理解,探索規(guī)律的

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