數(shù)列通項(xiàng)公式求法(3)

1、n觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系n例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：9，99，999，9999，解：（1）變形為：1011，1021，1031，1041， 通項(xiàng)公式為：1.觀察法觀察法101nna （3）.541,431,321,21111nnanndmnadnaamn)() 1(1 mnmnnqaqaa 11)0( qn當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。需求得首項(xiàng)及公差公比。11(1)(2)nnnsnassn 主主要要是是公公式式的的運(yùn)運(yùn)用用3

2、.S 3.S n n法法（1 1）若）若f(n)f(n)為常數(shù)為常數(shù), ,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此時(shí)數(shù)列為等此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則差數(shù)列，則a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d（2 2）若）若f(n)f(n)為為n n的函數(shù)時(shí)，用累加法的函數(shù)時(shí)，用累加法. .方法如下：方法如下： 由由 a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)得：當(dāng)?shù)茫寒?dāng)n1n1時(shí)，有時(shí)，有 a an n=a=an-1n-1+ f(n-1)+ f(n-1) a an-1 n-1 =a=an-2n-2+ f(n-2) + f(n-2) a a3 3= a= a2 2 +

3、 f(2) + f(2) a a2 2 = a= a1 1 + f (1)+ f (1)所以各式相加得所以各式相加得a an n-a-a1 1 =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1) =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1). 一般地，對于型如一般地，對于型如 an+1=an+f(n)的通項(xiàng)公式，的通項(xiàng)公式，只要只要f(n)能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。4. 4. 疊加法疊加法( (也稱累加法）也稱累加法） 例 已知數(shù)列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解： an - an-1 = 2n-1 - (

4、n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 1當(dāng)n=1時(shí)，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1已知已知, ,a a1 1=a=a， an+1=an+f(n),其中其中f(n)f(n)可以是關(guān)于可以是關(guān)于n n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng)求通項(xiàng). .

5、若若f(n)f(n)是關(guān)于是關(guān)于n n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和差數(shù)列求和; ;若若f(n)f(n)是關(guān)于是關(guān)于n n的二次函數(shù)，累加后可分組求和的二次函數(shù)，累加后可分組求和; ;若若f(n)f(n)是關(guān)于是關(guān)于n n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和比數(shù)列求和; ;若若f(n)f(n)是關(guān)于是關(guān)于n n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。和。備 注：11 ,1,1.nnnnanaaana 例例 已已知知數(shù)數(shù)列列中中求求數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式（1 1）當(dāng)）當(dāng)f(n)f(n)為常數(shù)為常數(shù), ,即：即

6、： （其中（其中q q是不為是不為0 0的數(shù)）的數(shù)）, ,此時(shí)此時(shí), ,數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，a an n=a=a1 1qqn-1n-1. .（2 2）當(dāng)）當(dāng)f(n)f(n)為為n n的函數(shù)時(shí)的函數(shù)時(shí), ,用累乘法用累乘法. . 由由 得得n1 n1 時(shí)，時(shí)， ，5.5.疊乘法疊乘法對于型如：對于型如：a an+1n+1=f(n)a=f(n)an n 類的通項(xiàng)公式，當(dāng)類的通項(xiàng)公式，當(dāng)f(1)f(2)f(n)f(1)f(2)f(n)的值可以求得時(shí)，宜采用此方的值可以求得時(shí)，宜采用此方法。法。1nnaqa ( (也稱累乘法、累積法）也稱累乘法、累積法） 1( )nnaf na 1(1)n

7、naf na 121121nnnnnaaaaaaaa 1( )(1)(1)f n f nfa （1 1）若）若c=1c=1時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列anan為等差數(shù)列為等差數(shù)列; ;（2 2）若）若d=0d=0時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列anan為等比數(shù)列為等比數(shù)列; ;（3 3）若）若c1c1且且d0d0時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列anan為線性遞推數(shù)列，為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來求其通項(xiàng)可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來求. .方法方法1 1：待定系數(shù)法：待定系數(shù)法 設(shè)設(shè)a an+1n+1+m=c( a+m=c( an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m, +(c-1)m, 與題

8、設(shè)與題設(shè)a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比較系數(shù)得比較系數(shù)得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此數(shù)列因此數(shù)列 構(gòu)成以構(gòu)成以 為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以c c為公比的等比數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，6.6.輔助數(shù)列法輔助數(shù)列法這種方法類似于換元法這種方法類似于換元法, , 用于形如用于形如a an+1n+1=ca=can n+d+d(c (c0,a0,a1 1=a)=a)的已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。的已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11(

9、)11nnddaaccc 即即：（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）例已知數(shù)列例已知數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求數(shù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式列的通項(xiàng)公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以2 2為公比的等為公比的等比數(shù)列，所以比數(shù)列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法

10、2 2：因?yàn)橐驗(yàn)閍 an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1時(shí)，時(shí)，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，兩式相減，得：，兩式相減，得：a an+1 n+1 - a- an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1). ).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以2 2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1)2)2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-

11、a-an-2n-2)+ +(a)+ +(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)構(gòu)造法構(gòu)造法輔助數(shù)列法輔助數(shù)列法待定系數(shù)法）待定系數(shù)法）)1, 0,(1 qqdqdqaann為常數(shù)),1(11 qdaqqdann),(1為非零常數(shù)dcdacaannn cacdann1111 構(gòu)造法構(gòu)造法)1, 1,(1 dqdqdqaannn且為非零常數(shù)ddadqdannnn111 nnndab 令令構(gòu)造法構(gòu)造法類型類型7 其它類型其它類型求法：按題中指明方向求解求法：按題中指明方向求解.1111(1)=121(*)

12、1222(1)(*)1212.1nnnnnnnnaaanNaaanNaaa 證證：，是是公公比比為為 的的等等比比數(shù)數(shù)列列111(2)1(1) 222221(*)nnnnnnaaanN 解解： 由由( (1 1) )知知 11 13=121(*)+1nnnnaaanNaa 例例 （中中）已已知知數(shù)數(shù)列列滿滿足足，( (1 1) )求求證證：數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列; ;( (2 2) )求求的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .),(1為非零常數(shù)dcdacaannn cacdann1111 1, 0, 0, 01 ppcacaanpnncapannlglglg1 構(gòu)造法構(gòu)造法)1, 1,(1 dqdq

13、dqaannn且為非零常數(shù)ddadqdannnn111 nnndab 令令構(gòu)造法構(gòu)造法 22111,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana 例例設(shè)設(shè)是是首首項(xiàng)項(xiàng)為為 的的正正數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)列列 且且求求的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan 由由本題是關(guān)于本題是關(guān)于a an n和和a an+1n+1的二次齊次式，可以通過的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到a an n與與a an+1n+1的更為明顯的關(guān)系式，從而求出的更為明顯的關(guān)系式，從而求出. .)2(:)1(), 4 , 3)(2(

14、31, 2, 112121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求數(shù)列求數(shù)列是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；數(shù)列數(shù)列求證求證滿足滿足設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 例例8類型類型7 其它類型其它類型求法：按題中指明方向求解求法：按題中指明方向求解.類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：滿足與若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)一nnaa1)(),(為常數(shù)dq則可考慮待定系數(shù)法設(shè)則可考慮待定系數(shù)法設(shè) xaqxann1為待定系數(shù)，其中x ()dqxx滿足構(gòu)造新的輔助數(shù)列構(gòu)造新的輔助數(shù)列 xan是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 xa 1公比為公比為q的等比數(shù)列，求出的等比數(shù)列，求出 xan ,再進(jìn)一步求通項(xiàng)再

15、進(jìn)一步求通項(xiàng) na 的通項(xiàng)公式求數(shù)列，滿足項(xiàng)和為的前例：數(shù)列nnnnnaNnnaSSna )( 121211nnaa兩式相減整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為故數(shù)列2121221aannnnnaa212212121故dqaann1)2(2121nnaadqxx 歸納提高：滿足這樣的歸納提高：滿足這樣的推遞關(guān)系的推遞關(guān)系的數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)求解問題（的通項(xiàng)求解問題（陌生的，難陌生的，難的，不會的的，不會的），可用），可用待定系數(shù)法待定系數(shù)法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為特殊數(shù)列特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的通項(xiàng)問題（列）的通項(xiàng)問題（熟悉的，易，我

16、熟悉的，易，我們會的們會的） ,借助等差（比）數(shù)列的借助等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求輔助數(shù)列的通項(xiàng)，從而通項(xiàng)公式求輔助數(shù)列的通項(xiàng)，從而解決問題。解決問題。數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。方方法法2 2： 1,nnacad 當(dāng)當(dāng)2 2時(shí)時(shí)1,nnnacad 兩兩式式相相減減，得得：11()nnnnaac aa 11nnnnaacaa 2 2數(shù)數(shù)列列是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以 為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a

17、a = =（1211)1nca ac )1, 0,(1 qqdqdqaann為常數(shù)),1(11 qdaqqdann),(1為非零常數(shù)dcdacaannn cacdann1111 1, 0, 0, 01 ppcacaanpnncapannlglglg1 )1, 1,(1 dqdqdqaannn且為非零常數(shù)ddadqdannnn111 nnndab 令令類型類型7其它類型其它類型求法：按題中指明方向求解求法：按題中指明方向求解.方法四：歸納、猜想、證明方法四：歸納、猜想、證明. . 先計(jì)算出先計(jì)算出a a1 1,a ,a2 2,a ,a3 3; ; 再猜想出通項(xiàng)再猜想出通項(xiàng)an;an;1. 1.

18、最后用數(shù)學(xué)歸納法證明最后用數(shù)學(xué)歸納法證明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacad c cadd c ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 遞推式遞推式直接迭代得直接迭代得例已知數(shù)列例已知數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求數(shù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式列的通項(xiàng)公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+

19、3是以是以a a1 1+3+3為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以2 2為公比的等為公比的等比數(shù)列，所以比數(shù)列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因?yàn)橐驗(yàn)閍 an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1時(shí)，時(shí)，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，兩式相減，得：，兩式相減，得：a an+1 n+1 - a- an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1). ).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6為首項(xiàng)，以為首項(xiàng)，以2 2為公比的等

20、比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1)2)2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-a-an-2n-2)+ +(a)+ +(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)2*1 1210(),6263.23nnna xaxnNa 例 （中）設(shè)二次方程例 （中）設(shè)二次方程有兩根滿足有兩根滿足求證：是等比數(shù)列。求證：是等比數(shù)列。n+1+ =1nnaaa 證證：依依題題

21、意意，由由韋韋達(dá)達(dá)定定理理可可知知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa 又又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa 是是以以 為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列1111(1)=121(*)1222(1)(*)1212.1nnnnnnnnaaanNaaanNaaa 證證：，是是公公比比為為 的的等等比比數(shù)數(shù)列列111(2)1(1) 222221(*)nnnnnnaaanN 解解： 由由( (1 1) )知知 11 13=121(*)+1nnnnaaanNaa 例例 （中中）已已知知數(shù)數(shù)列列滿滿足足，( (1 1) )求求證證：數(shù)數(shù)列列是是等等

22、比比數(shù)數(shù)列列; ;( (2 2) )求求的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式. .例例. .已知已知，111,1nnanana 求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .解解：11,nnanan 11,nnanan （1 1）11(1),nnan a 又又11a 即即110a 10na 由由得得：，11(1)1nnana 故由累乘法，得：故由累乘法，得：1321122111111(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa 1(1)! (1)nana1(1) (2) (3)2 1 (1)nnna 例例. . 已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=1,=1, a an+1n+1+3a+3

23、an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：111-3naa 是是以以為為首首項(xiàng)項(xiàng)，以以 為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列111(1) ( 3)1(1) ( 3)43nnaann 143nan 7.7.逐差法逐差法 形如形如a an+1n+1+a+an n=f(n)=f(n)的數(shù)列的數(shù)列. .（1 1）若）若a an+1n+1+a+an n=d =d （d d為常數(shù)），則數(shù)列為常數(shù)），則數(shù)列 a an n 為為“等和數(shù)列等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為，它是一個(gè)周期數(shù)列

24、，周期為2 2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論; ;（2 2）若）若f(n)f(n)為為n n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為造轉(zhuǎn)化為a an+1n+1-a-an n=f(n) =f(n) 型，通過累加來求出通項(xiàng)型，通過累加來求出通項(xiàng); ;或用逐差法或用逐差法( (兩式相減兩式相減) )轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為a an+1n+1-a-an-1n-1=f(n)-f(n-1),=f(n)-f(n-1),分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng)分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng). .n例例. . 數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a1=0, aa1=0, an+1n+1+a+an n=2n, =2

25、n, 求求數(shù)列數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式.分分析析1 1. .構(gòu)構(gòu)造造轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為型型1( )nnaaf n 解解法法1 1：令令( 1)nnnba 則則111111( 1)( 1)( 1)() ( 1)2nnnnnnnnnnbbaaaan 時(shí)時(shí)111222111( 1) 2(1)( 1)2(2)2 ,( 1) 2 10nnnnnnbbnbbnnbbba 1322 ( 1) (1) ( 1) (2)( 1) 2 ( 1) 1nnnbnn 各式相加得：各式相加得：當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，22 (1)( 1)2nnnbnn 此此時(shí)時(shí)，nnabn 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，12()12nnnbn 此此時(shí)時(shí)，nnba 1nan 為為奇奇數(shù)數(shù)故故為為偶偶數(shù)