本章思考與練習

1、本章思考與練習7.1 考慮AR(1)模型，其中，（1）證明如果，那么對所有的t均有，也即，期望值與方差和時間t無關(guān)。注意到，如果，那么為無窮大；如果，那么為負值。（2）證明，即只取決于兩期的距離s。根據(jù)（1）和（2）證明，AR(1)模型是弱平穩(wěn)的。（3）產(chǎn)生一個AR(1)序列，其中T250，0.25，的取值分別為。繪出該AR(1)序列并求出關(guān)于s的自相關(guān)函數(shù)。7.2 考慮MR(1)模型，其中（1）證明期望值與方差與時間t無關(guān)，即，。（2）證明，且當時，有，即證明的取值與s無關(guān)。根據(jù)（1）和（2）證明，MR(1)模型是弱平穩(wěn)的。（3）產(chǎn)生一個MR(1)序列，其中T250，0.25，的取值分別為。

2、繪出這個MR(1)序列并求出關(guān)于s的自相關(guān)函數(shù)。7.3 應用我國的消費收入數(shù)據(jù)完成下列題目：（1）計算滯后m13期的收入以及其一階差分序列的樣本自相關(guān)系數(shù)，并繪出兩者的樣本自相關(guān)圖。（2）應用LjungBox的QLB統(tǒng)計量檢驗零假設，對所有的。（3）進行（7.6）式給出的DickeyFuller回歸，并對收入進行單位根檢驗。（4）在回歸方程右側(cè)增加的1期、2期、3期滯后，根據(jù)（7.7）式進行擴展的DickeyFuller回歸。（5）定義，將對和常數(shù)項做回歸。檢驗收入的一階差分序列是平穩(wěn)的。你能得到什么結(jié)論？是I（1）過程嗎？（6）運行（7.22）式的回歸，進行EngleGranger（1987

3、）協(xié)整檢驗。（7）假設（7.13）式的擾動項是一個ARCH（2）過程，進行異方差檢驗。（8）應用和的數(shù)據(jù)重做（1）到（7），得到的結(jié)果會發(fā)生變化嗎？7.4 分析下面問題：（1）生成隨機游走序列和yt，服從，T25。運行回歸，分別在1、5、10的顯著性水平上使用t統(tǒng)計量檢驗零假設H0；。重復1000次，說明在每個顯著性水平被拒絕的頻率。你能得到什么結(jié)論？（2）當T=100和T=500時重復（1）。（3）生成如（7.13）所描述的帶漂移的隨機游走序列和yt，服從，。重復（1）和（2）。（4）生成如（7.13）所描述的無約束的趨勢平穩(wěn)過程序列和yt，服從，。重復（1）和（2）。（5）描述在（1）到（

4、4）中，由不同樣本規(guī)模和時間序列生成方法所得到的統(tǒng)計量的頻率分布，能得到什么結(jié)論？提示：參考Grange和Newbold（1974）、Davidson和MacKinnon（1993）、Banarjee，Dolado，Galbraith和Hendry（1993）的Monte Carlo方法。7.5 搜集我國的貨幣供給、GNP和利率序列，請按下列要求分別建立適當?shù)娜匠蘓AR模型：（1）每個變量取滯后兩期。（2）每個變量取滯后三期。（3）計算（1）和（2）的似然比。（4）應用貨幣供給和利率兩變量的VAR模型進行因果檢驗，每個變量取三期滯后。檢驗利率不是引起貨幣供給變化的Granger原因。（5）如

5、果在（4）部分對每個變量只滯后兩期，檢驗的敏感性如何？7.6 簡單的確定性時間趨勢模型：，其中(1) 證明，自變量矩陣X的第t個觀測值為。(2) 已知和，證明時矩陣非正定。(3) 已知其中是一個的非奇異矩陣，證明是有限正定矩陣且。(4) 令，證明服從分布，服從分布，且，從而有。證明，當時，的漸近分布為。(5) 應用（3）和（4）的結(jié)論證明，的漸近分布為。由于有系數(shù)，而不是，所以稱其為超一致的。這意味著不僅依概率收斂于零，也是如此。注意得到這個結(jié)果并不需要正態(tài)分布假設。證明時要應用中心極限定理，所需要的假設為白噪聲有有限四階矩，詳見Sims，Stock和Watson（1990）或Hamilton

6、（1994）。7.7 確定性時間趨勢模型的假設檢驗。基于Hamilton（1994）。在7.6題中，我們證明到和分別以和的不同速率收斂于同一個值。不僅如此，即使不服從正態(tài)分布，通常的最小二乘法的t和F統(tǒng)計量仍然漸近有效。(1) 證明對有。(2) 檢驗，采用最小二乘法通常要計算，其中，由第6題給出。分子分母同乘以并利用問題7.6（3）的部分結(jié)果可以證明，t統(tǒng)計量與有相同的漸近分布，其中為問題7.6所定義的的（1，1）元素。應用問題7.6（5）的部分結(jié)果可以證明，漸近于N(0,1)分布。(3) 檢驗，采用最小二乘估計通常要計算，分子分母同乘以并利用問題 7.6（3）的部分結(jié)果可以證明，t統(tǒng)計量與有

7、相同的漸近分布，其中為問題6所定義的的（2，2）元素。利用問題7.6（5）的部分結(jié)果可以證明，漸近于N(0,1)分布。7.8 隨機游走模型。考慮以下隨機游走模型，（1）證明可以寫成，其中，即有。（2）將隨機游走方程的兩邊同時平方，求出。將累加，可以得到。兩邊同時除以，證明漸近服從分布。提示：。（3）已知，證明。提示：應用問題7.6中的表達式。（4）假設我們要估計的是一個AR（1）過程而不是隨機游走，也即，真實的。OLS估計為 ，證明。注意到分子部分已在(2)中考慮過，分母在(3)中考慮過?？梢宰C明時的漸近分布是隨機變量同一個非標準分布的比值。關(guān)于該問題的討論超出了本書的范圍，詳見Hamilton（1994）或Fuller（1976）。我們要證明的是，如果，那么不再服從正態(tài)分布，即時標準最小二乘法所得到的結(jié)果。同時，證明在非平穩(wěn)（隨機游走）模型中，的收斂速度T比在平穩(wěn)條件下的收斂速度快。由（3），顯然為得到一收斂分布，分母必須除以而不是T。7.9考慮（7.14）和（7.15）中的協(xié)整的例子，回答以下問題：（1）證明（7.16）和（7.21）式。（2）證明對回歸得到的的OLS估計量是超一致的，也即要證明當時，plim。（3）為研究EngleGranger兩步法的有限樣本偏倚，讓我們進行以下Monte Carlo實