波動(dòng)問題中的三維時(shí)域粘彈性人工邊界

1、第22卷第6期 工 程 力 學(xué) V ol.22 No.6 2005年 12 月ENGINEERING MECHANICSDec. 2005收稿日期:2003-12-03;修改日期:2004-05-24基金項(xiàng)目:國(guó)家973項(xiàng)目(2002CB412706;國(guó)家自然科學(xué)基金(50078028;北京市自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(8011002資助作者簡(jiǎn)介:*劉晶波(1956,男,遼寧新賓人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,從事結(jié)構(gòu)工程和防災(zāi)減災(zāi)工程研究(E-mail: liujb; 王振宇(1976,男,湖北石首人,博士,從事防災(zāi)減災(zāi)工程研究;杜修力(1963,男,四川廣安人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,從事結(jié)構(gòu)工程和

2、防災(zāi)減災(zāi)工程研究; 杜義欣(1979,男,河北保定人,博士生,從事結(jié)構(gòu)工程和人防工程研究.文章編號(hào):1000-4750(200506-0046-06波動(dòng)問題中的三維時(shí)域粘彈性人工邊界*劉晶波1,王振宇1,杜修力2,杜義欣1(1. 清華大學(xué)土木工程系,北京 100084;2. 北京工業(yè)大學(xué),北京 100022摘 要:應(yīng)用彈性波動(dòng)理論,發(fā)展了實(shí)現(xiàn)波動(dòng)直接模擬的三維時(shí)域粘彈性人工邊界。首先基于三維波動(dòng)方程推導(dǎo)了三維粘彈性人工邊界的法向與切向邊界方程,然后研究了時(shí)域粘彈性人工邊界的數(shù)值模擬技術(shù),最后通過典型的波動(dòng)問題算例證明了給出的三維人工邊界具有較高精度,可以方便地應(yīng)用于三維波動(dòng)問題的模擬分析。 關(guān)

3、鍵詞:波動(dòng);粘彈性人工邊界;三維介質(zhì);時(shí)域;無限域 中圖分類號(hào):O347.4, P315.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:ATHREE-DIMENSIONAL VISCO-ELASTIC ARTIFICIAL BOUNDARIESIN TIME DOMAIN FOR WA VE MOTION PROBLEMS*LIU Jing-bo 1 , WANG Zhen-yu 1 , DU Xiu-li 2 , DU Yi-xin 1(1. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 2. Beijing Un

4、iversity of Technology, Beijing 100022, ChinaAbstract: Three-dimensional visco-elastic artificial boundaries in time domain are developed by means of theory of elastic wave motion in this paper. Three-dimensional visco-elastic artificial boundary equations along normal and tangent directions are der

5、ived based on three-dimensional wave motion equations. Numerical simulation techniques of visco-elastic artificial boundaries in time domain are studied. Numerical examples of classic wave motion problems demonstrate that high precision is achieved by use of three-dimensional visco-elastic boundarie

6、s, and that the boundaries can be used in analysis of three-dimensional wave motion problems easily.Key words: wave motion; visco-elastic artificial boundary; three-dimensional media; time domain; infinitedomain二十世紀(jì)七十年代以來,與土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問題相關(guān)的動(dòng)力基礎(chǔ)振動(dòng)、地震波散射等近場(chǎng)波動(dòng)問題的數(shù)值模擬方法得到了很大的發(fā)展13。在無限域介質(zhì)的瞬態(tài)波動(dòng)問題模擬中,一種廣泛采用的數(shù)

7、值模擬技術(shù)是引入虛擬的人工邊界從無限介質(zhì)中切取出有限尺寸的近場(chǎng)計(jì)算區(qū);然后對(duì)計(jì)算區(qū)采用有限元(或有限差分技術(shù)完成運(yùn)動(dòng)微分方程和物理邊界條件的時(shí)空離散化,使對(duì)波動(dòng)的模擬歸結(jié)為代數(shù)和算術(shù)運(yùn)算,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)波動(dòng)的直接模擬。顯然,構(gòu)造合適的人工邊界是實(shí)現(xiàn)上述方法的關(guān)鍵,人工邊界的本質(zhì)在于允許來自廣義結(jié)構(gòu)的外行散射波穿過人工邊界進(jìn)入無限域。以此為出發(fā)點(diǎn),近三十年來國(guó)內(nèi)外對(duì)人工邊界進(jìn)行了廣泛而深入的研究,并發(fā)表了一系列綜述35。在人工邊界波動(dòng)問題中的三維時(shí)域粘彈性人工邊界 47兩個(gè)主要方向:全局與局部人工邊界的研究中,后者由于其時(shí)空解耦特性和廣泛適用性,在無限域波動(dòng)模擬問題中受到重視。在局部人工邊界的發(fā)

8、展歷程中,較早出現(xiàn)的粘性邊界因其概念清楚、應(yīng)用方便,在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用6,7。但粘性邊界僅考慮了對(duì)散射波能量的吸收,從物理概念上理解,施加粘性邊界后的力學(xué)模型為懸浮在空中的脫離體,在低頻力作用下可能發(fā)生整體漂移;此外,粘性邊界是基于一維波動(dòng)理論提出的,簡(jiǎn)單地將其推廣到多維情況將導(dǎo)致相當(dāng)誤差8。為了克服上述缺點(diǎn),Deeks 9、劉晶波8,10基于柱面波動(dòng)方程建立了二維粘彈性人工邊界,并指出該邊界相對(duì)于粘性邊界的優(yōu)點(diǎn)是能模擬人工邊界外半無限介質(zhì)的彈性恢復(fù)性能,具有良好的高頻和低頻穩(wěn)定性。實(shí)際的波動(dòng)問題在很多情況下是三維的,一方面我們?nèi)狈θS形式的粘彈性人工邊界,另一方面簡(jiǎn)單地將低維邊界

9、應(yīng)用于多維情況將不可避免地導(dǎo)致理論的合理性和應(yīng)用的可靠性問題。因此,發(fā)展實(shí)用的三維粘彈性人工邊界及其數(shù)值模擬技術(shù)具有重要意義,本文將基于近場(chǎng)彈性波動(dòng)理論推導(dǎo)三維粘彈性人工邊界方程,并討論相應(yīng)的數(shù)值模擬技術(shù),最后通過經(jīng)典波動(dòng)問題數(shù)值模擬結(jié)果與解析解的對(duì)比,證明三維粘彈性人工邊界的可靠性與實(shí)用性。1 三維粘彈性人工邊界法向條件1.1 法向邊界方程球坐標(biāo)系中球面膨脹波(P 波的波動(dòng)方程為22222(1t R c R R p =(1 其中為位移勢(shì)函數(shù),c p 為介質(zhì)的P 波波速,R 為徑向坐標(biāo)。方程(1的通解可表示為 (1(1,(t c R g Rt c R f R t R P P += (2式中f

10、(和g (為任意函數(shù),分別表示外行擴(kuò)散波和內(nèi)行會(huì)聚波?？紤]外行擴(kuò)散波,垂直于波陣面的位移可寫為(1(12t c R f Rt c R f R R u p p = (3而法向應(yīng)力由下式計(jì)算R uRu µ22(+= (4式中、µ為拉梅常數(shù)。由式(3可得(2(2(132t c R f R t c R f R t c R f R R u p p p += (5(1(132t c R f Rt c R f R R u p p = (6 式(5、(6代入式(4可得波陣面上用函數(shù)f (表示的法向應(yīng)力為(4(4(232t c R f R t c R f R t c R f R p p p

11、+=µµµ (7 為建立法向應(yīng)力與位移u 之間的關(guān)系式,引入以下方程(2t c R f R c t c R f R c t uup p p p +=& (8 (22222t c R f R c t c R f Rc t u up p p p =&& (9(4(4(232t c R f R c t c R f R c t c R f R c t p p p p p p+=µµµ(10 由式(3、式(7至(10可得在波陣面上法向應(yīng)力和位移滿足+=+uG R u c R u R G c R pp &&

12、&&442 (11 方程(11即為三維法向人工邊界方程,該方程給出了波陣面上法向應(yīng)力與位移的關(guān)系式,式中µ=G 為介質(zhì)剪切模量,為介質(zhì)密度。注意推導(dǎo)方程(11時(shí)利用了關(guān)系式:22p c µ=+ (12 式(12中、µ為拉梅常數(shù),為介質(zhì)密度。當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí),三維法向人工邊界方程(11退化為u RG4= (13 式(13即為靜力邊界方程11,該方程表示彈性體中球形空腔受均勻壓力時(shí),空腔附近位移與應(yīng)力的關(guān)系。1.2 法向邊界數(shù)值模擬技術(shù)為建立人工邊界,將無限連續(xù)介質(zhì)截?cái)?在截?cái)嗵?即人工邊界上施加連續(xù)的彈簧-阻尼器-集中質(zhì)量系統(tǒng),如圖1所示。圖1給出

13、的物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為48 工 程 力 學(xué)=+(M R R u uC Ku && (14 0(=+R M M u u C uM &&&& (15 式(14與(15中R u 、M u 分別表示人工邊界節(jié)點(diǎn)與集中質(zhì)量沿荷載作用方向位移。 圖1 法向邊界上施加的物理系統(tǒng)Fig.1 Physical system imposed on vertical boundary由式(14可得(1+=R R M uC Ku C u && (16 (1&&&&&&+=R R M u C u K Cu(1

14、7 式(16、(17代入式(15,可得到關(guān)于施加物理系統(tǒng)的人工邊界節(jié)點(diǎn)應(yīng)力與位移滿足的微分方程:+=+22t u K M t u C M u K t C M R R R (18 將式(11與(18進(jìn)行對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)物理元件參數(shù)為RGK 4=;p c C =;R M = (19 時(shí),人工邊界上力和位移的條件與原連續(xù)介質(zhì)的完全相同,即只須采用相應(yīng)參數(shù)的彈簧、阻尼器和集中質(zhì)量單元即可實(shí)現(xiàn)三維粘彈性人工邊界。應(yīng)該說明,在實(shí)際的有限元實(shí)現(xiàn)過程中,連續(xù)分布的物理常數(shù)可采用一定規(guī)則進(jìn)行離散化,例如,法向邊界參數(shù)采用式(19的量值與對(duì)應(yīng)有限元節(jié)點(diǎn)所代表網(wǎng)格面積的乘積。2 三維粘彈性人工邊界切向條件2.1 切

15、向邊界方程球坐標(biāo)系中球面剪切波動(dòng)(S 波位移的近似解為12(1(1,(t c R g Rt c R f R t R u s s += (20其中s c 為介質(zhì)剪切波(S 波波速,等式右邊第一和第二項(xiàng)分別表示外行擴(kuò)散波和內(nèi)行會(huì)聚波?？紤]擴(kuò)散的球面剪切波,波陣面的切向位移為(1,(t c R f Rt R u s = (21由式(21所確定的剪應(yīng)變和剪應(yīng)力分別為(1(2,(2t c R f R t c R f RR uR u t R s s +=(22+=(1(2,(2t c R f R t c R f R G G t R s s (23在坐標(biāo)R 處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為(,(t c R f R c t

16、 t R u u s s =& (24由式(22、(23、(24可得在波陣面上: ,(,(2,(t R uc t R u RGt R s &= (25 式(25即為三維切向人工邊界方程,該方程給出了波陣面上切向應(yīng)力與位移的關(guān)系式,式中µ=G 為介質(zhì)剪切模量,為介質(zhì)密度。注意推導(dǎo)方程(25時(shí)利用了關(guān)系式2s c G =。2.2 切向邊界數(shù)值模擬技術(shù)對(duì)于如式(25所示的三維切向邊界方程,容易證明該方程等價(jià)于并聯(lián)的彈簧-阻尼器系統(tǒng),對(duì)應(yīng)物理元件的參數(shù)為RGK 2=;s c C = (26 同樣,在實(shí)際的有限元實(shí)現(xiàn)過程中,切向邊界物理元件參數(shù)的實(shí)際取值等于式(26給出的量值與

17、對(duì)應(yīng)有限元節(jié)點(diǎn)所代表網(wǎng)格面積的乘積。3 粘彈性人工邊界為了模擬實(shí)際連續(xù)介質(zhì)條件,方程(19、(26分別給出了人工邊界法向和切向應(yīng)施加的物理元件形式,其中法向邊界物理元件中的質(zhì)量M 與阻尼器相連(如圖1所示,顯然這是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。為了克服實(shí)際處理和計(jì)算時(shí)可能引起的不便,我們將質(zhì)量M 忽略,并將與質(zhì)量M 相連的阻尼器的一端固定,從而形成粘性阻尼器+彈簧的人工邊界,與切向的人工邊界一起,統(tǒng)稱為粘(阻尼器彈(彈簧性人工邊界(Viscous-Spring Boundary,關(guān)于這一處理的有效性和精度將通過算例證明。應(yīng)當(dāng)注意,粘彈性人工邊界所模擬的是人工邊界上的應(yīng)力條件,因此,這是一種連續(xù)分布的人工邊

18、界條件。當(dāng)采用有限元法或其它離散化方法將人工邊界所包圍的計(jì)算區(qū)離散化時(shí),人工邊界面也將隨之離散化,此時(shí),可以采用有限元法的形函數(shù)將連續(xù)分布的人工波動(dòng)問題中的三維時(shí)域粘彈性人工邊界 49 邊界物理元件化為耦聯(lián)的人工邊界,可稱為一致粘彈性人工邊界;也可以簡(jiǎn)單地采用集中處理方法,形成解耦的人工邊界,稱為集中粘彈性人工邊界。一般情況下,可以采用相對(duì)簡(jiǎn)單的集中粘彈性人工邊界條件,其具體實(shí)施方法如圖2所示,圖中坐標(biāo)X 、Y 沿人工邊界的切向,Z 為法向,圖中粘彈性人工邊界節(jié)點(diǎn)上物理元件的參數(shù)為=Ii ip Ii i Ii i s Ii i A c C A R G K A c C C A R G K K 1

19、313121121,4,2 (27其中,A i 為人工邊界上節(jié)點(diǎn)所代表的面積,對(duì)圖2所示情況I =4。 圖2 三維粘彈性人工邊界示意圖 Fig.2 Three dimensional viscous-spring boundary4 數(shù)值算例為了驗(yàn)證本文提出三維粘彈性人工邊界的精度和可靠性,考察兩個(gè)具有解析解的半無限介質(zhì)波動(dòng)問題,通過不同計(jì)算條件下結(jié)果的對(duì)比,分析三維粘彈性人工邊界的精度和適用性。算例中采用的人工邊界為集中粘彈性邊界。 4.1 Lamb 問題算例考察Lamb 表面源問題:一均勻、各向同性半空間,在自由面上受加載函數(shù)的集中垂直荷載作用,如圖3所示。圖3中加載函數(shù)的表達(dá)式為 1(4

20、3(421(641(4(16(44444+=G G G G G (28Tt H G =,(34 其中T 為持續(xù)時(shí)間,(H 為Heaviside 階梯函數(shù)。圖3 Lamb 問題算例示意圖 Fig.3 Lambs problem算例中對(duì)應(yīng)于加載函數(shù)的解析解由Lamb 問題基本解13,14積分求得。而對(duì)應(yīng)的數(shù)值解則分別采用不同的人工邊界獲得,這些邊界為:三維粘彈性邊界(3D viscous-spring boundary、粘性邊界(viscous boundary、固定邊界(fixed boundary。此外為了與帶有懸掛質(zhì)量塊的粘彈性人工邊界(mass-viscous-spring boundar

21、y進(jìn)行對(duì)比,也同時(shí)計(jì)算了有懸掛質(zhì)量塊的人工邊界工況,算例中稱為三維帶質(zhì)量塊粘彈性邊界。從理論上講,人工邊界的形狀采用圖3所示的半球形將提供更好的模擬精度。但考慮到實(shí)際有限元計(jì)算中模型選取和對(duì)人工邊界處理的簡(jiǎn)便性,算例均取平直的人工邊界,即取人工邊界方向與直角坐標(biāo)軸垂直,空間上形成矩形計(jì)算區(qū)。此外,人工邊界物理元件參數(shù)中的距離R 并不取坐標(biāo)原點(diǎn)到人工邊界各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的距離,而是統(tǒng)一取為坐標(biāo)原點(diǎn)到相應(yīng)人工邊界面的最短距離,即每一個(gè)平直人工邊界上物理元件的參數(shù)相同。數(shù)值計(jì)算對(duì)象范圍選取5.0=b b x x ,b z =1.0;有限元網(wǎng)格1.0=z y x ;介質(zhì)剪切波速C s =4;密度=1.0;泊

22、松比=0.25。觀測(cè)量為自由面上點(diǎn)A (r =0.2與B (r =0.4的垂直位移反應(yīng)。圖4和圖5分別為觀測(cè)點(diǎn)A 和B 的位移反應(yīng)時(shí)程曲線,可以清楚看到,粘性邊界導(dǎo)致了明顯的漂移,而本文給出的三維粘彈性人工邊界具有較高的精度,其模擬效果明顯優(yōu)于粘性邊界與固定邊界。從圖中還可以發(fā)現(xiàn),采用三維粘彈性邊界和帶懸掛質(zhì)量的三維粘彈性邊界給出的位移時(shí)程曲線符合較好,這說明對(duì)于本問題,三維粘彈性邊界與帶懸掛質(zhì)量的三維粘彈性邊界的模擬精度相同。50工 程 力 學(xué) -0.0050.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045位移/m時(shí)間/s 圖4觀測(cè)點(diǎn)A(r

23、=0.2位移時(shí)程比較Fig.4 Displacement time-history of observation point A (r =0.2 -0.0050.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030位移/m時(shí)間/s圖5 觀測(cè)點(diǎn)B(r =0.4位移時(shí)程比較Fig.5 Displacement time-history of observation point B (r =0.44.2 內(nèi)源問題算例考察在均勻、各向同性線彈性無限介質(zhì)中集中力源產(chǎn)生的波動(dòng)。采用直角坐標(biāo)系,集中力作用于坐標(biāo)原點(diǎn),如圖6所示。 圖6 內(nèi)源問題示意圖 Fig.6 Inner source pr

24、oblem數(shù)值計(jì)算對(duì)象范圍選取5.0=b b b z x x |,觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)為x =y =z =0.1,其它計(jì)算參數(shù)與前述表面源Lamb 問題相同。圖7給出了采用不同人工邊界條件下觀測(cè)點(diǎn)z 向位移時(shí)程與解析解的對(duì)比情況。由圖7可以看出,同Lamb 問題算例一樣,粘性邊界導(dǎo)致了明顯的漂移,而此時(shí)三維粘彈性邊界仍然具有良好精度。同時(shí)也可以看到,當(dāng)參數(shù)R 不是取坐標(biāo)原點(diǎn)至人工邊界的最短距離0.5,而是統(tǒng)一取為R=0.707時(shí),粘彈性人工邊界的模擬精度進(jìn)一步提高。位移/m時(shí)間/s圖7 內(nèi)源問題加載函數(shù)作用下觀測(cè)點(diǎn)z 向位移時(shí)程 Fig.7 Displacement time-history in z

25、 direction of observationpoint under -function in inner source problem5 結(jié)語建立合理有效、有足夠模擬精度且簡(jiǎn)單易用的三維人工邊界對(duì)于無限域介質(zhì)中的波動(dòng)模擬具有重要意義。本文基于彈性波動(dòng)理論推導(dǎo)了三維時(shí)域粘彈性人工邊界,研究了相應(yīng)的數(shù)值模擬技術(shù)。數(shù)值算例表明,三維時(shí)域粘彈性人工邊界具有較高精度;等效離散后的人工邊界條件方程與有限元方法相結(jié)合,可以方便地求解無限域介質(zhì)的瞬態(tài)波動(dòng)問題。另外,數(shù)值算例還表明三維時(shí)域粘彈性人工邊界的精度與帶懸掛質(zhì)量的粘彈性人工邊界相當(dāng),但三維時(shí)域粘彈性人工邊界的應(yīng)用更方便。時(shí)域粘彈性人工邊界中,彈簧

26、剛度對(duì)人工邊界的模擬精度有重要影響,它的選取與波源到人工邊界點(diǎn)的距離有關(guān),同時(shí)與波動(dòng)傳播方向與人工邊界法向之間的夾角有關(guān)。本文算例僅簡(jiǎn)單地取波源到人工邊界面的距離代替波源到人工邊界上各節(jié)點(diǎn)的距離,并假設(shè)散射波的入射方向與人工邊界法向之間的夾角為零,因此,彈簧剛度的取值總體偏大。波動(dòng)問題中的三維時(shí)域粘彈性人工邊界 51 另外，本文推導(dǎo)粘彈性人工邊界時(shí)，應(yīng)用的是彈性 全空間理論，全空間中波動(dòng)的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)與半 空間中的有所不同，基于全空間理論得到的粘彈性 邊界用于處理實(shí)際的半空間問題時(shí)，為提高模擬精 度，相關(guān)參數(shù)需予以調(diào)整和修正。粘彈性人工邊界 彈簧剛度的優(yōu)化選取方案及其魯棒性是兩個(gè)值得 進(jìn)一步

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