待定系數(shù)法求數(shù)列通項公式

1、待定系數(shù)法求數(shù)列通項公式例題匚在數(shù)列務(wù)中，兔八礙十1,試求其通項公式.分帕 且然，這不是等差或等比數(shù)列，唱婦果在孔“忑+1的兩丈同對R上b鑿理 為珈+1打此時，把心十1和碼十1看作一個整體，或者換元 令卜=%十1， 那么吒".+1,即 = % 皤商斗1 = »因此,數(shù)列他十1或臨就是以2為首項, 以2為公二匕旳等比數(shù)列- + 1=2或者切=嚴(yán)進一步求出= 2K -1 -啟示*在這個問懸札 容易看出在左右兩邊加上1就構(gòu)成了新的等比數(shù)列g(shù)+1,那 不易看出在左右兩邊該加幾后構(gòu)成新的等比數(shù)列時.該怎么辦呢？其實，已知=加”十1,可變形為l + A = 2（-Z）的形式，然后展幵括

2、號、移 項后再與二妝亠】拒比較.利冃持定M«SW22-A=L1 = L t遡亜 對于形如“wg （其中嚴(yán)彳為需蠟 且pqZE、的逵推數(shù)列，先變?yōu)樾?+ 2一戶9產(chǎn)刃曲形式，贋開“移匝 利甬行定.系數(shù)注百P-1菲3-七*宀p-1p-1則數(shù)列騒+一）莒項為口廠旦掄比為卩的韋比數(shù)亂pljP-1二（助因此，形如 =P久“這一類軍藥數(shù)列.都可以利用待疋惑1法來求禪:那么若g變?yōu)楫xg 是關(guān)于加非零多項式時：該怎么辦呢？是否也自綣冃待定系數(shù)法呢了二色二鬥3目=0：巨戶1）型例題Z在數(shù)列他孔 卩=1,心F厲斗知+1,試求其通項公式.分析技照境題1的思路，在兩達(dá)軀切上某一常數(shù)同時也寒加上n的倍數(shù)，才能

3、使新的數(shù)列有一致的號式匸先變?yōu)間十7-亠如十1,曼開比軟得2=3.即i+ 3（片 + 1）"何+3 町+4進一歩取_1 + 3（“ + 1+ 4 二 2（ 3« + 4）則數(shù)列就十死一是迅十 活頊為他和xl十4Y公比為2的等尤取刃，所以同幣 韋如說_+-冬口+糾卄的違淮數(shù)刃，設(shè)+x（K ' 1） +v - pan - xn + ）展開、移項"藥理.比較洽應(yīng)系數(shù)胡尋.做出方匕(P-l)t = ?(p-l)y-x = r解得尸-1§工十尸y p-p-"負(fù)十二勺"Wp -1 (p - 1J" P -1則數(shù)列9 “9 ,4

4、P-1(P-1) P-1.是以呵+ 9 + q .+ r為首項，以卩為公比 P-1 9一】）P L的尊比數(shù)列，干是就可以洗一步求出%的通瓦:K咅巴,亠廠輕廠八5£"_山：足廠丁二4：三工+三刃主3工壬：工防一制用待定系數(shù)法求出其通項口比如當(dāng)_/的="葉嚴(yán)時，可設(shè)葉：一工（葉+ 1廣卄一= p（cfl十yiT +，招_呂）展開根據(jù)對應(yīng)系數(shù)分別相等求堺方程即可.幾町為II的三次、匹次=五次等多項式比也能弓同樣的忌路和方送進存求解口而如果當(dāng)/5）是n的指數(shù)式*即時，遞推公式又將如何變形呢？二化點=砂廣十曠十型(pqv 0. Bp * ?舌LpwQ例題亂在數(shù)列務(wù)中.珂=1

5、：備=3, + 2試求其通項耳分析b由于 = 3%十丁與例題1的區(qū)別在于2*是帶數(shù)比 可以冃上面的思蹺進行變形，在兩邊冋時初二耳才變?yōu)镴十2» = 3各典嚴(yán)即昭嚴(yán)2i = 3(4 2乍則數(shù)列仇+2”是首項為3,公比為3的等比散列心”=外 則分析缶如果埒弟數(shù)式先交為韋數(shù)，曲邊司除2一應(yīng)ian L 3%1-= + = * -I ” T：就回到了我們的類型一.逬一步也可求出 = r_2B.例題生在數(shù)列%中.a =3, % = 3gr+5> 2n -4.試求何的通頃務(wù)*分析；若按例琶住的岳路2.在右邊同時除以站雖然產(chǎn)生了竺.企.但是R增加 了呂.與原式并沒有大的變化.聽以只能運用在兩邊

6、同吋加上W2整瑾口4以 匸:(口十弘廠進一步+ 5x2-hi-3(,+5x22町?dāng)?shù)列；心+ 5 r + 2是苕項為10,公比為3釣等比數(shù)歹+5k2"+2-15x31-5x3fi即aH =5(3"-2*)-2啟示1己知數(shù)列耳的首項.碼嚴(yán)l十曙"十夙幽？ * 0且卩*1旳*M1)牛=o,即尸叫十呵1由例題3軌 有兩種恩路誑行變?yōu)?利用待定系數(shù)法構(gòu)造 譽頃和公土己知遵可求的尊比數(shù)列。思路一*在兩邊同時除Elgz.將不含點和的朮變?yōu)槌?shù).即P 5丄$ q q'1 qr為前面的類型一，再用類型一的持定系數(shù)法思想可得數(shù)興h電十沽，最終求解出%° 1Q的通項-

7、 思路二*在兩邊I弓旺加上的倍數(shù)F昜終能交形為Ch+i + Xff= p(au + xK)對應(yīng)系數(shù)用等得(p-nh = r+即x= PTs十一廠=譏務(wù)+* p_qpg求岀數(shù)列*厶空 的通項，坯一歩求出他的通項. 、p_q :2)當(dāng)石 hOE寸* S' ar;. =-s由洌4可知只能芒選薦思侶二.兩邊旣妾扣于的倍數(shù)，也妾幻蒔黃.最終龍變形為 應(yīng)I十笛小y = p(暫-呵J刃比較得心y的方程組 rX 即 P7(p-ly = si 二占,-1于是?3 + = pCjg15*)p-qp -Ip_ q P _1求出數(shù)列1耳+ 一.曠+丄的通項”進一步求岀尙的通項I P_Q P-J0= 口“ =西

8、-L孫*何型已知其中于何可以為常熱n的多項式或指數(shù)式 以只時丸為例口刪翹5.在數(shù)列%中.a =衛(wèi);=2耳：=上仏:+-an.試求他的通項°3"a斤 這杲二頊之間遞推數(shù)列，根據(jù)前面的思跖 可以把心:看瓦常數(shù)過行處生 可變 為嚴(yán)-；（也-耳）先求岀數(shù)列s血7的通項然后刑用累加法即可壬一步求出厲的通項牛對于形如金7=丹41十叫的遢推數(shù)列*可以&件：十珂.1 = /3”1十嗚1）畏開*利用對應(yīng)系數(shù)相學(xué) 列方程二是敦列.4廠和訃就是以叫-秤 沏首國.y為公比的等比數(shù)列.不難求出臨.1十5 ：的渥項 一步利冃梧關(guān)即可求出叫-同理* a2 = pa+90, + /（n）當(dāng)/

9、9;（町為非零多項式或者是指數(shù)式時.也可結(jié)合前 聞的思路進行處理.問題的關(guān)鍵在于先變形7 十X。-】=ylo_】十3片）+才0）然.仔攔件嚴(yán)耳看做一個整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋?。五；口? = p盤：（尸壬1且戸L肛FH（V工1）型* %為正項數(shù)列WS6.在數(shù)列毎中.殆*% =2山試求其通項分析！此苞和前面射幾詰糞型沒育相同之處，左邊是一淡式，而右過是二K弍，關(guān)縫左 于通過變形，使兩邊次數(shù)相同，由于務(wù)丸，所以可聯(lián)想到對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，對呻,=2 兩邊取對數(shù)，即lg%i = lg 2+ 誨此=*lga -+1g-就是前面的類型一了*即Iaa1-lg2-2（ltti7rt + lg2）lg-g2=(lf

10、2)x2L變形得厲"'7對于類似p心(廠1且* 兀Hl)的遞推數(shù)列.由于兩邊次數(shù)不一歎，又是正項數(shù)列.所以可以利用對數(shù)性質(zhì).兩邊同時取對埶 得覽叫田=1gPV； = Fg斗+1音P然后就是類型一了.就可以利用待定系數(shù)法進一步構(gòu)適疑列2加口+弊為己 知首項和公比的等比數(shù)列了 C求出|lg J亠甞最終就可以得出%的通項°同樣|如果將孤丄* 叫0*】fip0 r Osr * 1)中的p換為指數(shù)式礦時,同樣可以和用栢冋為方法卻環(huán)；(7 = fj17 n/(7兩邊取對數(shù)lg.；=】貳g" a： i =尸*氐十汨gg變?yōu)轭愋投?+x(M + l) + jj-= r(l

11、g an +xn + v)即可進一步得出%的通攻BU是些整或型的通推數(shù)列通項公式的求解接下耒再看看比較復(fù)雜的分式型謹(jǐn) 推數(shù)列乜六； - “15中占 5 *0)®叫+g7. &數(shù)宛何中.幻=1衛(wèi)心=占二，試求其通項丐口+ -分析：這是一個分式型如h如杲去分厚變?yōu)?也-心一 0后就無法進行曇理J兩邊同時取倒，數(shù)就是前團的類型一了. 丄斗"彳丄+ J應(yīng)一 T(1.所以數(shù)列+ 是苴項為丄十3= 4,公比為2的等比數(shù)列，不難求岀例題&在數(shù)列毎中，廠L%產(chǎn)電2,試求其通項兔. 3% +2分析：此題比例題亍的區(qū)別名了當(dāng)數(shù)氐葫邊取倒IT-1左右兩邊丄與并不一致”但可以對照例

12、題7的思雖 取倒數(shù)之后分母會具老一J 毎4 2致的結(jié)構(gòu).根掲等式和分式的性質(zhì)，我們可在商邊同時加上某一常數(shù)整理*、(3"a - 2占時十丸- 十工 此時如果.那么遞推式左邊和左邊分母就一致了。解方程得®3v+1更二此時可選擇其中一牛遞拒武按照例迦丁的方武進行處至 這里選擇】十1 = 絲士 込十2稲i取傷回到了類型一13113=(占以+ 1 -4牛+1 5根捱類型一的方法易求岀4（-4廠：十1心壯冥（_4嚴(yán)一1現(xiàn)在我們將兩式相比豐1則數(shù)列彳上2是我己知等頂世公比的等比數(shù)外 進一歩化簡求岀叫.卜叫通過以上兩個擁題可知.形如粘產(chǎn)燮1二乞（蘆#0）這一類型的遞推數(shù)列.對學(xué)生的探臺S

13、Ltg求較頁.:、如具右邊分子缺常皈項，那么直按對兩邊取惻數(shù)即可得1 g 1 P二q+初 r an r此時若2 = 1那型是我門熟悉的等差數(shù)列.若宜工1那就是前血的類型用待rr2.若“0 就需要先變略 使左邊和右邊分子結(jié)構(gòu)一St兩邊同時加上某一蒂敷g然后令仝竺解出兀的值n r + px而另一種思路是直接設(shè)心變毛二巨A）pg+q-$（4+幼口好i十丫二叫亠q然后聶開，很捋對應(yīng)坂系數(shù)相等得二元方程組求出A V c兩種思路都是孵x豹一元二次方程，設(shè)其解為斗心FiWr如）p（%+g）比4 7p（叫 r）若珂":時，那就只能利用俺題了的方法.兩邊取倒數(shù)，部分分式整理即可轉(zhuǎn)變?yōu)轭愔烈唬?P（ +

14、 gp（兀片兒）_戸也-心） p（Q - ij 1 p=4-口和：+旳旳（氐十紀(jì)）H氐*可）>i口” +航 H最絡(luò)求岀an.當(dāng)兀八:時.可以戈擇茸占的一個按照上面的方式進行求解.但是此時計算最<大, 于是直接將兩式柜比得*聽以數(shù)列公比為2的等比數(shù)刃。進一步求出口十y2匕 I = 5 7 仙 r>0）型P兀+Q例題2脊數(shù)列Q中，q =王譏嚴(yán)竺二丄.試求臭通項.2%十2分析|本題厲于分式菲踐性逼推式孑與類型五又有相似之處孑所以我們可以結(jié)合類塑壬、六的思路，進行變按：兩邊同時扣上某個常瓶 設(shè)最終變?yōu)椋慌c原式比較，恥應(yīng)系數(shù)相筈，零蒔方程得耳=-L.x: = 3即有*吋2也亠驗+ 2對單個式子進行處理,無從下手，兩式相比得%十？何十打Q 1 1d _ 1R-<訊7熱后.兩邊取冇數(shù)得;則鞍列”蜒中二是首頂為里:；=電5公比為2的等比數(shù)列。進一步裨得顯然，按照例題9的思眩形如二竺43心切這一類型的參數(shù)莎典幾$必皺病足一定的條件，所得方程應(yīng)有兩個不相等的實根匚現(xiàn)在來採討應(yīng)該滿足務(wù)些秦件f"ft 衛(wèi)”14 H -+ sar=+ K * E|-1+?pa 宀 Q叫F *心十工F亠-L二旳+a皿+Q所以 yj + xpa +xq ¥s - ra + irto +對應(yīng)系載相等得p = 2?