球面坐標(biāo)變換

1、球面坐標(biāo)變換Q 二 f （x, y, z）dV = dQ 二 f （x, y, z）dV .V注：這里Q既代表一個(gè)所求的量，又代表該量的值由柱面坐標(biāo)變換的根據(jù)，使我們想到若三重積分中， 當(dāng)被積函數(shù)含有”, z2時(shí)，聯(lián)想到球面方程，我們有如下的球面坐標(biāo)變換.1球面坐標(biāo)系設(shè)M為空間一點(diǎn)，球球面坐標(biāo)f / / ）規(guī)定如T下：'為原點(diǎn)到M點(diǎn)的距離，'是矢量0M與oz軸 的正向所夾的角，是過(guò)0Z軸及點(diǎn)M的半平面與包 含正x軸的半平面ozx所成的角，'J的變化范圍分 別是圖9-400 豈二豈 2二（或-7：7：），0-，0 空'（如圖 9-40）.2、球面坐標(biāo)變換從圖上容易

2、看出，點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)（x, y, z）與球面 坐標(biāo)L / , p）之間的關(guān)系 為xOM cos 二 sin cos, Iy = OM sin 二 sin sin,z= p cos.AXp sin©下述三族曲面稱為球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)曲面（?） 一族中心在原點(diǎn)的球面'二仃（常數(shù)），即X? y2z?二 ri2(?)一族頂點(diǎn)在原點(diǎn)而對(duì)稱軸與0 z軸重合的圓錐面i常數(shù)，即y2 - z21 ar2（?）一族通過(guò)oz軸的半平面即 y = tan71 i.若這三族坐標(biāo)曲面把一個(gè)空間區(qū)域 V分成幾個(gè)小區(qū) 域，這樣得到的小區(qū)域中，有規(guī)則的小區(qū)域（如圖9-41） 的體積人V近似地為V AB AD

3、 ' sin 丁2 2=p2 sin ® 也 p也日人® = p2 sin ® d d d 由于f (x, y, z)二 f ( sin cos / sin ,sn , cos )由Q = f (x, y,z)dV，有VdQ 二 f (x, y, z)dV 二 f ( sin cos , sin sin，, cos )f (x, y, z)dV 二 f ( sin cos , sin sin= , cos :VV這就是三重積分從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的換元公式球面坐標(biāo)系中的體積元素為 dV = ? 2 sin d d d , 上式可化為先對(duì)'，再對(duì)

4、'，后對(duì)；的累次積分來(lái)進(jìn) 行計(jì)算我們還可以利用二次柱面坐標(biāo)變換來(lái)證明球坐標(biāo)變換公式為了得到從直角坐標(biāo)系的三重積分化為球坐標(biāo)系的三 重積分公式，只要從直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)x= sin cos ,iy二sin，sin=,看作是兩次直角坐標(biāo)化為柱坐Z = P cos® .x = r cos71一 i標(biāo) y = rsinZ= zZ= cos,Ir = si n ,的復(fù)合，于是由2證Q = Q得的結(jié)果，從直角坐標(biāo)（x, y, z）,于是f (x, y, z)dxdydz 二 f (r cos ,r sn , z)rdrd，dz.QQ再把(z,r廣)看作直角坐標(biāo)，而把C , / )看成對(duì)應(yīng) 的柱坐標(biāo)，有f(rcos= , r sn ,z)rdrddzQ二 HJ fsin cos / sin® / cos 2 sin d d°Q從而利用直角坐標(biāo)系的三角積化柱坐標(biāo)系的三重積分得到從直角坐標(biāo)系三重積分化為球坐標(biāo)系數(shù)三重積公式為f (x, y, z)dxdydz = f( sin cos , sin