高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題復(fù)習(xí).資料

1、圓錐曲線一、知識結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.點(diǎn)與曲線的關(guān)系若曲線C的方程是f(x,y)=0 ，則點(diǎn)P0(x 0,y 0)在曲線C上 f(x。/ 0)=0 ;點(diǎn) P0(x0,y 0)不在曲線 C上 f(x 0,y 0) wo兩條曲線的交點(diǎn)若曲線G, G的方程分別為fi(x,y)=0,f 2(x,y)=0,則fi(x 0,y 0)=0r點(diǎn)P0(

2、x0,y0)是Ci, C2的交點(diǎn)f' 2(x 0,y 0) =0方程組有n個不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有 n個不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線 就沒有交點(diǎn).-4 - / 302.圓圓的定義：點(diǎn)集：M| | OM| 二r,其中定點(diǎn)。為圓心，定長r為半徑.圓的方程:(1)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b),半徑為r的圓方程是(x-a) 2+(y-b)2=12圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 r的圓方程是x2+y2=r2(2) 一般方程當(dāng)D2+E2-4F >0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-D2 E2 - 4FE一4F .配方，將方程 2x2+y2+Dx+Ey+

3、F=0 化為_ 2_ 2_, D、2 , E、2 DE -4F(x+) +(y+ )=.22當(dāng)D+E-4F=0時，萬程表布一個點(diǎn)喘謂);當(dāng)D2+E2-4FV0時，方程不表示任何圖形點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y 0),則I MCI < r 點(diǎn)M在圓C內(nèi)，| MC| =r點(diǎn)M在圓C上，| MC| >r點(diǎn)M在圓C內(nèi),其中 I MCI =. (x°-a)2 (y0-b)2.(3)直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個公共點(diǎn)直線與圓相切有一個公共點(diǎn)直線與圓相離沒有公共點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式

4、法Aa Bb C(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=-,與半徑r的大小關(guān)系來判,A2B23.橢圓、雙曲線和拋物線基本知識曲質(zhì)橢圓雙曲線拋物線軌跡條件M | | MF | + | MF | =2a, | F1F2 | v 2aM | | MF | - | MF | .= ±2a, | F2F2 | > 2a.M | MF| 二點(diǎn) M 到直線l的距離.圓形*71.1* i« -b,J標(biāo)準(zhǔn)方程22x+ 二=1(a >b>0)a2b222- - -2- =1(a > 0,b >0)a2 b2y2=2px(p > 0)頂點(diǎn)

5、Ai(-a,0),A2(a,0);Bi(0,-b),B2(0,b)A(0,-a),A 2(0,a)O(0,0)軸對稱軸x=0,y=0長軸長：2a短軸長：2b對稱軸x=0,y=0實(shí)軸長：2a虛軸長：2b對稱軸y=0住 日Fi（-c,0）,F 2（c,0）焦點(diǎn)在長軸上Fi（-c,0）,F2（c,0）焦點(diǎn)在實(shí)軸上f（£ ,0） 2焦點(diǎn)對稱軸上焦距I F1F2 | =2c, c= Ja2 - b2I F1F2 | =2c, c= Ja2 b2準(zhǔn)線2. a x=±c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在 橢圓外.2. a x=±c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩 頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=衛(wèi) x2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于

6、頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.離心率e= c,0 < e< 1 ae= - ,e > 1 ae=14 .圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點(diǎn)P(x,y)到一個定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e(e >0),則動點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線 l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率.當(dāng)0vev1時，軌跡為橢圓，當(dāng) e=1時，軌跡為拋物線當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線5 .坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換 (如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、

7、位置都不改變，僅僅只改 變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn) M它在原坐標(biāo)系 xOy中的坐標(biāo)是9x,y),在新坐 標(biāo)系x ' O' y'中的坐標(biāo)是(x ' ,y ').設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系 xOy中的坐標(biāo)是(h,k),則x=x' +hx' =x -h(1) 或(2) 1 y=y' +ky' =y -k公式或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方程住 日焦

8、線對稱軸橢圓(x -h)2 +(y-k)22.2ab(± c+h,k)2x=± +h cx=hy=k(x-h)2 +(y-k)2,22ba(h, ±c+k)2y=± -a +k cx=hy=k雙曲線22(x -h) (y - k) _12,2ab(± c+h,k)2 工a =+k cx=hy=k22(y-k)(x-h)2.2ab(h, ± c+h)y=± +k cx=hy=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(p +h,k)x= - +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-+h,k)2x=1+hy=k(x-h) 2=

9、2p(y-k)(h,-p +k)y=- *+kx=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,- y +k)y寸+kx=h二、知識點(diǎn)、能力點(diǎn)提示( 一 ) 曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn)說明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡 . 特別是在求出方程后要考慮化簡的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準(zhǔn)確無誤 . 另外，要求會判斷 曲線間有無交點(diǎn)，會求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) .三、 考綱中對圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：. 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡單幾何性質(zhì). 橢圓的參數(shù)方程；. 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；. 拋物線及其標(biāo)

10、準(zhǔn)方程.拋物線的簡單幾何性質(zhì)；考試要求：. (1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。四 對考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3 題 (1 個選擇題 , 1 個填空題 , 1 個解答題 ), 共計 22 分左右 , 考查的知識點(diǎn)約為 20 個左右 . 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn) , 全面考查 . 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下， 一般較容易得分， 解答題常作為數(shù)學(xué)高考中的

11、壓軸題，綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識點(diǎn) , 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 , 往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，在復(fù)習(xí)應(yīng)充分重視。- 5 - / 30-7 - / 3o求圓錐曲線的方程【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn) 化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好 圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一 起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法一般

12、求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用先定形，后定式，再定量”的步驟.定形一一指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對稱軸的位置.定式一一根據(jù) 形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用， 如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0).定量一心題設(shè)中的條件找到我”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小22【例1】 雙曲線上 %=1(be N)的兩個焦點(diǎn)F1、F2, P為雙曲線上一點(diǎn),4 b“|OP|V5,|PF1|,|F1F2|,|PF2成等比數(shù)列，則 b2= 解：設(shè) F1(c,0)、F2(c,0)、P(x,y),則 |PF1|2+|PF2|2=2(|P

13、O|2+|F1O2) V 2(52+c2), 即 |PF1|2+|PF2250+2c2,又|PF1|2+|pf2|2=(|pf1|_ |pf2|)2+2|pf1| PF2|, 依雙曲線定義，有|PF 1|-|PF2|=4,依已知條件有 |PF1| |PF2|=|F1F2|2=4c216+8c2< 50+2C2c2< ,3 ,又 c2=4+b2< - ,.-. b2< 5,.- b2=1 33【例2】已知圓G的方程為x2 2 y 1 2 20 ,橢圓C2的方程為32 X 2 a2 y b2b 0 , C2的離心率為.2，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段 AB恰2為圓

14、G的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由e設(shè)橢圓方程為2 c , 4 2c ,竹一2a22222b b- 222 .22,a 2c ,b c .2設(shè) A(Xi, yi).B(X2, y2)由圓心為(2,1).XiX224,yi y2又皿江b221,其2b22.2比21,b2y2222兩式相減，得 Jxi匕產(chǎn)0. 2bb2(% X2)(Xi X2) 2( 0 y2)(yiV2) 0,又 Xi X2 4.yi y2 2得1.Xi X2直線AB的方程為y i (x 2).即yx 322將yx 3代入' qi,得2b2 b2223x2 i2x i8 2b20.2直線AB與橢圓C2相交

15、.24b2 72 0.24b2 723由 AB 42 Xi X2| J2j(xi X2)2 4xiX222解得 b2 8.故所有橢圓方程二2 i.i6 8【例3】 過點(diǎn)（i, 0）的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上且離心率為 § 的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過線段AB的中點(diǎn)，同時橢圓 C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于2直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.2.2/解法一：由 e= - J ,得 a-7 一，從而 a2=2b2,c=b.a 2a22設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2 b2,A(xi ,yi),B(X2,y2)在橢圓上.則 Xi2+2yi2=2b2,x22+2y22=2b2,

16、兩式相減得，(xi2-X22)+2(yi2-y22)=0, yXi X2Xi X22( yi y2)設(shè) AB 中點(diǎn)為(Xo,yo),則 kAB= - 20-,又(xo,yo)在直線 y=；x 上，yo=(xo,于是-X0- = i,kAB= i, 2yo設(shè)l的方程為y=-x+i.右焦點(diǎn)(b,o)關(guān)于l的對稱點(diǎn)設(shè)為(x'y；),上1則x b解得xy x by 122由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得 1+2(1b)2=2b2,b2=_9,a2 9 . 1682.所求橢圓C的方程為8x y2 =1,l的方程為y= x+1.99-2.2.解法二：由e=± d，得a 2bL從而a2=2b2

17、,c=b.a 2 a22設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1), 將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k2 2b2=0,2kZ21 2k212k22 1 2k24k則 x1+x2=2- ,y1+y2=k(x1一 1)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=一1 2k直線l： y= 1 x過AB的中點(diǎn)(xx2,1y2),則 ky2221 2k2解得k=0,或k= 1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上, 所以k=0舍去，從而k= 1,直線l的方程為y= (x1)，即y= x+1，以下同解法22

18、解法3:設(shè)橢圓方程為勺冬1(a b 0)(1)a2b21.直線l不平彳T于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線y萬x過AB中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線l的方程為y k(x 1) (2)-26 - / 30代入消y整理得:2 2(k a,22b )x2k222, 22, 2a x a k a b0(3)設(shè)A(x1，y1) B(x2y2)，知：x1x2 2 22k ab2又y1 丫2 k(x1x2 )2k代入上式得:2kk x1x22k2kb2 k .2b2k-2"a2(a22 ac2)2e2直線l的方程為y此時a2 2b2方程(3)化為3x24xi 2 -4 一 ，2b0,16 24(1b2)一，

19、, 2、一8(3b1) 0b2b2 ,橢圓C的方程可寫成：x2 2y2 2b2 (4),又c2 a2右焦點(diǎn)F (b,0),設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)(x°, y°),上1則 x0bX01, y0 1 b,yo 1xob22又點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，代入(4)得：1 2(1 b) 2b2,.322所以所求的橢圓方程為：土 2199816【例4】 如圖，已知P1OP2的面積為,P為線段P1P2的一個三等分點(diǎn)，求以直 4線OP1、OP2為漸近線且過點(diǎn)P的離心率為 夕 的雙曲線方程.解：以。為原點(diǎn)，/ P1OP2的角平分線為X軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè)雙曲線方程為由 e2= c2

20、1 (-)2a a33，兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=2x和y=-ax設(shè)點(diǎn)P1(X1,33-X1),P2(X2,- - X2)(X1 > 0*>0),則由點(diǎn)P分RP2所成的比=空=2, PP2得P點(diǎn)坐標(biāo)為(X1 2X2 , X1 2X2 ), 322 A 2又點(diǎn)P在雙曲線J "r=1上，20 2，?a 9a,、2,、2所以(X1 2X2)(X1 2X2)=1,9a29a2'即(x1+2x2)2(X12X2)2=9a2,整理得 8X1X2=9a2又 | OP1 |92X14、.13292X1,|OP| , X2X224. 13X22sin P1OP22 tan

21、 P1OX-'2 . _1 tan P1OX1213S p10P21 1312 27一一 X1 X2,2 41341八八八|OP1 | |OP2 | sin P1OP2即 X1X2= j由、得a2=4,b2=922故雙曲線方程為上=1.49【例5】過橢圓2C: -y-2 a2K 1(a b 0)上一'動點(diǎn)P引圓O： x2 +y2 =b2的兩條切線 b2PA、PB, A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸，y軸分別交于 M、N兩點(diǎn)。(1)已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, y0 )并且X0y0W0,試求直線 AB方程；(2)若橢圓的短軸長為22 OR8 并且 a25 ,求橢圓 C的萬程；(3)橢圓C上

22、| OM |2 |ON |216是否存在點(diǎn)P,由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。解：(1)設(shè) A(Xi, y1), B(x2, y2)切線 PA: x1x y1y b2 , PB: x2x y2y b2P 點(diǎn)在切線 FA、PB 上，xiXo yy0,2.2bx2xoy2yo b直線 AB 的方程為 x0x y0y b2(x0y0 0)(2)在直線AB方程中，令2y=0,貝U M( , 0)；令 x=0,貝U N(0 xoyo2, 22222ab ay°x0a25222(2)2| OM |2|ON|2 b2a2b2b2162b=8b=4 代

23、入得 a2 =25, b2 =1622橢圓C方程：y 1(xy 0)(注：不剔除xyw0,可不扣分)25 16 假設(shè)存在點(diǎn) P(x。，y。)滿足PAXPB,連接OA、OB 由 |PA|=|P B| 知,四邊形PAOB為正方形，|OP|二 J2|OA|-222 x°y0 2b 又.P點(diǎn)在橢圓C上a2x2 b2y2 a2b2222、2. 2由知x0 b .22b ), ya ba ba>b>0a2 b2>0 當(dāng)a2-2b2>0,即a>*5b時，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所 引兩切線互相垂直;(2)當(dāng)a2-2b2<0,即b<a<J2b時，橢圓

24、C上不存在滿足條件的 P點(diǎn)例6已知橢圓C的焦點(diǎn)是F1 ( J3, 0)、F2 (J3, 0),點(diǎn)F1到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為史 3過F2點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，使得|F2B|二3|F 2A|.(1)求橢圓C的方程；(2)求直線l的方程.解：(1)依題意，橢圓中心為點(diǎn)Fi到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為b2ca2=b2+c=1+3=42.所求橢圓方程為土4(2)設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線lP,垂足分別為M、N.由橢圓第二定義,得 LAF2J e | af2 | e| am | AM |,AN± l同理 |BF2|二e|BN|由 RtAPAM- RtA PBN,彳# 1PAi121ABi2|2

25、e |AM一9分cos PAM| AM |TPAT12el 的斜率 k tan PAM & .，直線l的方程y2(x3)即2x【例7】已知點(diǎn)B( 1,0),C (1, 0), P是平面上一動點(diǎn)，且滿足|PC|BC| PB CB.(1)求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；(2)已知點(diǎn)A (m,2)在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE,且ADXAE,判斷： 直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.(3)已知點(diǎn)A (m,2)在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD, AE,且AD, AE的斜率k1、 k2滿足k1 k2=2.求證：直線 DE過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn) 解：(1)設(shè) P(x，y)代入 i

26、PC i i BC i PB CB得 J(x 1)2y2 1 x，化簡得 y2 4x.(2)將A(m,2)代入y24x彳導(dǎo)m 1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).設(shè)直線AD的方程為y 2k(x 1)代入 y2 4x,得 y2 y k4由y12可得y2 -2,同理可設(shè)直線AE: y則直線DE方程為：y4k44D(2 1,- 2).k2kl(x 1),代入 y2 4x得 E(4k2 k-4k2 4一(x 4k2 1),化簡得 4k2 4k1,4k2).2k2(y 2) k(x 5) (y 2) 0,、_一k, 、 >即y 2 (x 5),過定點(diǎn)(5, 2).k2 1(3)將 A(m,2)代入 y24

27、x得m 1,設(shè)直線DE的方程為ykxb, D(xi, yi),E(Xi, yi)kxbk4x2(kb-2_2)x b2 0,2,y1x12 y21x212(x1,x21),且y1 (k2kx1b,y2 kx2 b、，一,、，、八、22)xiX2 (kb 2k 2)(x1 x2) (b 2)20,將x1x22(kb 2)k2,kx2b2代人化簡得 k2b2(k 2)2,(k 2).(k 2).定點(diǎn)為2代入y k代入y (1, 2)kxkxkxkxk(x k(x1)1)2,過定點(diǎn)(1,2).2,過定點(diǎn)(1,2),不合，舍去,【例8】已知曲線2 x 2 a2 y b21(a0,b0)的離心率e空3

28、,直線l過A (a, 0)、3B (0, b)兩點(diǎn)，原點(diǎn)。到l的距離是(I )求雙曲線的方程;(n)過點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，若OMON 23 ,求直線m的方程.解：(I )依題意，l方程冬a為工，得 ab2,a2 b2故所求雙曲線方程為abc2x3y b32y2 1(n)顯然直線 m不與x軸垂直,1,即bx ay ab 0,由原點(diǎn)。到l的距離c 2a 3b 1,a 一 3方程為y=kx- 1,則點(diǎn)M、N坐標(biāo)(x1，y1)、(X2, y2)是方程組y kx 1的解消去 y,得(1 3k2 所求的橢圓方程為1. 94 (2)方法 由題知點(diǎn)D、M、N共線，設(shè)為直線 m,當(dāng)直線m的斜率存在

29、時，設(shè)為 k,則直線m的方程 為y = k x +3代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x2 +54 k +45 = 0 由判別式 (54k)2 4 (4 9k2) 45 0 ,得 k2 5. 再設(shè) M (x 1 , y 1 ), N ( X2 , y2),則一方面有DM (X1* 3) DN(X2,y2 3) ( X2, (y2 3),得)x2 6kx 6 02依設(shè)，1 3k 0,由根與系數(shù)關(guān)系，知XiX26k6-72, xi X2-723k 1 3k 1OM ON (X1,y1)(X2,y2) X1X2 y1y2x1x2 (kx11)(kx2 1)22=(1 k )x1x2 k(x1x

30、2) 1 = 6(1 k ) 6k3k2 1 3k2 13k2 16 彳1OM ON 23z1 =-23, k=± 3k2 121當(dāng)k=± 1時，萬程有兩個不等的實(shí)數(shù)根2故直線I方程為y 1x 1,或y -x 12222【例9】 已知動點(diǎn)P與雙曲線 匕 1的兩個焦點(diǎn)23FF2的距離之和為定值,1且 cos F1PF2的最小值為 一.9(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若已知 D(0,3) , MN在動點(diǎn)P的軌跡上且DMDN ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：(1)由已知可得:、.5a2 a2 (2c)22a22222a 9 , b a c 4x1x2yi3(V2 3)另一方面有Xi X

31、254k452 , XiX24 9k24 9k將XiX2代入式并消去X 2可得32444362-2 9 ,由刖面知， 0 - 一5(1) kk 59324 281,解得 15.5(1)255又當(dāng)直線m的斜率不存在時，不難驗(yàn)證： 或 55所以15為所求。5方法二：同上得X1X2yi3(y23)設(shè)點(diǎn) M (3cos a , 2sin a ), N (3cos 3 ,2sin 3 )則有cos2sincos3 (2sin 3)由上式消去a并整理得213185sin 2, 由于 1 sin12()一 21 13一218一5 1,解得15為所求.12()5方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)D的距離的最大值為

32、 5,最小值為1.1進(jìn)而推得的取值范圍為15。5【求圓錐曲線的方程練習(xí)】一、選擇題1 .已知直線 X+2y3=0與圓X，y2+X 6y+m=0相交于 P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OPXOQ,則m等于()A.3B.-3C.1D.-12 .中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0, ±542)的橢圓被直線3X-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫1坐標(biāo)為1 ,則橢圓方程為()2_ 2_ 2八 2x22y2.A.-1257522x y C. 一 -125 75B.至75x2 D.-75支1 252匕125二、填空題3 .直線l的方程為y=x+3，在l上任取一點(diǎn)P,若過點(diǎn)P且以雙曲線12x2 4y2=3的焦點(diǎn)

33、作 橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長軸的橢圓方程為 .4 .已知圓過點(diǎn)P(4, 2)、Q(1, 3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為 4/3,則該圓的 方程為.三、解答題5 .已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個焦點(diǎn)為 F, M是橢圓上的任意 點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為 2,橢圓上存在著以 y=x為軸的對稱點(diǎn) M1和M2, 且忖加2|=早，試求橢圓的方程.6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.2 x -2 a7 .已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=20，橢圓C2的方程為32M22=1(a>b>0

34、), C2的離心率為-,如果C1與C2相交于A、b22B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線 AB的方程和橢圓 C2 的方程.參考答案一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(3 2y)2+y2+(3 2y)+m=0.整理得 5y220y+12+m=0,設(shè) P(xi,yi)、Q(X2,y2)12 m yiy2=,yi+y2=4.5又二 P、Q在直線x=3 2y上,xix2=(3 2yi)(3 2y2)=4yiy2 6(yi +y2)+9故 yiy2+xix2=5yiy26(yi+y2)+9= m 3=0 ,故 m=3.答案：A222.解析：由題意，

35、可設(shè)橢圓方程為：22 。=i,且a2=50+b2,a b22即方程為_y_ A_=i.50 b2 b2將直線3xy 2=0代入，整理成關(guān)于 x的二次方程.由 xi+x2=i 可求得 b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求橢圓的焦點(diǎn)為Fi( 1,0),F2(1,0),2a=|PFi|+|PF2|.l上找一點(diǎn)P.使|PFi|+|PF2|最小，利用對稱性可解.欲使2a最小，只需在直線22答案：二匕=1544.解析：設(shè)所求圓的方程為2(4 a) ( 2 b) 則有(1 a)2 (3 b)：|a |2 (2 3)2 r2(x a)2+(y b)2=r22ab2 r13ab2 r27由此可寫所

36、求圓的方程 答案：x2+y2 2x 12=0 或 x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a c,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,22，b2=4,設(shè)橢圓方程為三匕1a24設(shè)過Mi和M2的直線方程為y= - x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m2 4a2=0 設(shè) Mi(xi,yi)、M2(x2,y2),MiM2 的中點(diǎn)為(x0,y0),21 ,、 a mx0= - (xi + x2)=242代入y=x,得-a-4 a,y0= xo+ m=a4m/2 ,4 a4m4 a24a22/2： ,a由于 a2>4,，m=0,，由知 Xi+x

37、2=0,xix2=-又 |MiM2|= .2 (x1 2x2)4x1 x24.103代入 Xi + X2,X1X2可解a2=5,故所求橢圓方程為:2 X "52=1.46.解：以拱頂為原點(diǎn),水平線為 x軸，建立坐標(biāo)系,如圖，由題意知，|AB|=20, |OM|=4, A、B 坐標(biāo)分別為(10, 4)、(10, 4)設(shè)拋物線方程為于是拋物線方程為x2= 2py,將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 100= 2pX4),解得 p=12.5, x2= 25y.由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2, - 4),y= 0.16，從而 |EE' |二(0.16) ( 4)=3.84.故最長支柱長應(yīng)為3.84米.2

38、227.解：由 斫三，可設(shè)橢圓方程為 J =1,22b2b2又設(shè) A(xi,yi)、B(x2,y2),則 xi+X2=4,yi+y2=2,2222又三，1,丹冬=1,兩式相減，得2bb 2bb2 X12 X22b222y1y22- =0,b即(Xi+X2)(xi X2)+2(yi+y2)(yi y2)=0.化簡得y-y2 = 1,故直線AB的方程為y= x+3, Xi X2代入橢圓方程得3x2-12x+18-2b2=0.有 A=24b272>0,又伊8|=45r1x2)2 4x1x2203故所求橢圓方程為,解得b2=8.2 X得石J&bJ .、9162=1.8直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)

39、要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置 關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較 高，起到了拉開考生 檔次”，有利于選拔的功能.1 .直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2 .當(dāng)直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用筆達(dá)定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用 弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用 差分法”設(shè)而不求，將

40、弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn) 坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q,且OPOQ,QF、10 ,求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為 mx2+ny2=1(m>0,n> 0), P(xi,yi),Q(x2,y2)y x 1由 22得(m+n)x2+2nx+n1=0,mx ny 134n2 4(m+n)(n1) >0,即 m+n mn>0, 由 OPOQ所以 x1x2+y1y2=0，即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,2(n 1) 2

41、n +1=0, m+n=2 m n m n又 2 4(m n mn)m n呼)2,將m+n=2,代入得m n= 34由、式得 m= ,n= 或 m= _ ,n= _2222故橢圓方程為 工+3y2=1或"3*2y2=1.2222【例2】如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5, 0),傾斜角為一的4直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)?；螯c(diǎn)A)且交拋物線于 時直線l的方程，并求 4AMN的最大面積.M、N兩點(diǎn)，求4AMN面積最大解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5vmv 0.由方程組 y * m ,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 y 4x直線l與拋物線有兩個不同交

42、點(diǎn)M、N,，方程的判別式A=(2m 4)2 4m2=i6(1 - m)>0,解得mv 1,又一5v mv 0,，m的范圍為(一5, 0)設(shè) M (Xi,yi),N(X2,y2)則 xi+x2=4 2m, xi X2=m2,|MN|=4 2(1 m).點(diǎn)A到直線l的距離為d=5-=m.2 . S乙=2(5+m) Ji m ,從而 Sa2=4(1 m)(5+m)22 2m 5m 5 m 2=2(2 2m) (5+m)(5+m) < 2()3=i28.3 SzW8j2，當(dāng)且僅當(dāng)2 2m=5+m,即m= i時取等號.故直線l的方程為y=x-i, AAMN的最大面積為8匹.【例3】 已知雙曲

43、線C: 2x2y2=2與點(diǎn)P(i, 2)。(i)求過P(i , 2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。(2)若Q(i, i),試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(i)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=i, 與曲線C有一個交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線 l的方程為y-2=k(x-i), 代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k 6=0( *)(i )當(dāng)2 k2=0,即k=±V2時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點(diǎn)(ii )當(dāng) 2 k2w 唧 kw 22 時& 2(k22k) 24(2k2)(k2+4k6)=i6

44、(3 2k)當(dāng)占0,即3 2k=0,k=|時，方程(*)有一個實(shí)根，l與C有一個交點(diǎn).當(dāng)A> 0,即kv 3，又kw2，故當(dāng)k<- 22或石vkv J2或丁2 <k< -時，方程(*) 22有兩不等實(shí)根，l與C有兩個交點(diǎn).當(dāng)AV 0,即k> 2時，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=±J2，或k=_3 ,或k不存在時，l與C只有一個交點(diǎn)； 2當(dāng)在v kv 2 ,或22 v k< 22.，或kv 夜時，l與C有兩個交點(diǎn)；當(dāng)k> 3時，l與C沒有交點(diǎn).2(2)假設(shè)以 Q 為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為 AB,且 A(xi,yi),B(X2,y2),

45、則 2xi2y12=2,2x22y22=2 兩式相減得：2(xi X2)(xi+X2)=(yi y2)(yi +y2)又 xi+x2=2,yi+y2=22(xi x2)=yi yi即kAB="上=2xi x2但漸近線斜率為±72,結(jié)合圖形知直線 AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn) 的弦不存在【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是Fi( 4, 0)、F2(4, 0),過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為B,且|FiB|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點(diǎn) A(xi,yi),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列."y(1

46、)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；x(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為 y=kx+m, 求m的取值范圍.解：由橢圓定義及條件知，2a=|FiB|+|F2B|=10，得a=5, 又 c=4,所以 b= va2 c2 =3.22故橢圓方程為x L=1.259x="，離心率為,根45(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=9 .因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為5據(jù)橢圓定義，有 |F2A|=4 (竺一Xi),|F2c|=，(竺一x2), 545 4由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得-(25 Xi)+ - ( 25 x2)=2 卷,由此得出：xi+X2=8.

47、 5 45 45設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(X0,y°),貝(J X0= " ： =4.(3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.22得 9xi2509 25' 一 2 一 2 一 一9x225 y29 25一得 9(x/X22)+25(yi2y22)=0,即 9X(x1x2) 25(11y2) (21y2) =0(xih2)22x1 x2將 2x一" xo 4,Xy2 yo,呈一生1 (kw 球入上式，得 9>4+25yo(- -1 )=022x1 x2kk(kw。)25.即k= 一 y。(當(dāng)k=0時也成立).36所以由點(diǎn)P(4, yo

48、)在弦AC的垂直平分線上，得yo =4k+ m,m=yo-4k=yo-25yo=916yo.9-44 - / 3022_ 一 一.x y lox 2o 。相由點(diǎn)P(4, yo)在線段BB'B與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部, 得9vyo<9,所以-<m<-.5555解法二：因?yàn)橄?AC的中點(diǎn)為P(4,yo),所以直線AC的方程為1y yo= - - (x 4)(kw o) k22將代入橢圓方程 工=1,得259(9k2+25)x2- 5o(kyo+4)x+25(kyo+4)2 25X9k2=o所以 xi + x2= 50(°_4 =8，解得 k=25yo.(當(dāng) k=

49、o 時也成立)9k2 2536(以下同解法一).【例5】已知雙曲線 G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓1 一切.過點(diǎn)P 4,o作斜率為一的直線l ,使得l和G交于A, B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C , 42并且點(diǎn)P在線段AB上，又滿足 PA PB PC .(1)求雙曲線G的漸近線的方程；(2)求雙曲線G的方程；(3)橢圓S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是 G的實(shí)軸.如果S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的 軌跡恰好是G的漸近線截在 S內(nèi)的部分，求橢圓 S的方程.解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為：y kx ,則由漸近線與圓x2 y2 1ox 2o o相切可得: 1雙曲線G的漸近線的方程為：y -x.2(2)由(1)可設(shè)雙曲線 G的方程為：x2 4y2 m