2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)(中考題型整理,突破提升)含答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)（中考題型整理，突破提升）含答案一、銳角三角函數(shù)1 . （6分）某海域有 A, B兩個港口， B港口在A港口北偏西30 °方向上，距 A港口 60海里，有一艘船從 A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75。方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長（結(jié)果保留根號）【答案】心【解析】試題分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得至U AD=BD=°V，2 ,求出Z C=6（J ,根據(jù)正切的定義求出 CD的長，得到答案.試題解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . .

2、 / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,. AD=BD=0）,/ BAC=Z BAE+/ CAE=75 ； / ABC=45 , AD 30v2/ C=60 ；在 RtACD 中，/ C=60 ； AD=°V，2 ,則 tanC=人 , . CD= =（）四, .BC=WZ+ I。/.故該船與b港口之間的距離CB的長為1°W海里.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用 -方向角問題.2.在等腰4ABC中，/B=90°, AM是 ABC的角平分線，過點(diǎn) M作MNLAC于點(diǎn)N, /EMF=135 .。將/ EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使/ EMF的兩邊

3、交直線 AB于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,請解答下列問題：（1）當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖 的位置時，求證：BE+CF=BM（2）當(dāng)/EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖 ，圖 的位置時，請分別寫出線段BE, CF, BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，tan/ BEM研，AN、2+1,貝U BM=, CF=【答案】（1）證明見解析（2）見解析（3） 11+；?或1舌(1)由等腰 ABC中，Z B=90°, AM是 ABC的角平分線，過點(diǎn) M作MNXAC于點(diǎn)N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可證明的 BME0NMF,可得 BE=N

4、R NC=NM=BM進(jìn)而得出結(jié)論；(2)如圖時，同(1)可證BMENMF,可得BE- CF=BM, 如圖 時，同(1)可證BMENMF,可得 CF- BE=BM;在 RtAABM 和 RtA ANM 中，,AM=AH可得RtAABM RtA ANM,后分別求出 AB、AC CN、BM、BE的長，結(jié)合(1) (2)的 結(jié)論對圖進(jìn)行討論可得CF的長.【詳解】(1)證明：ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z C=45 ； . AM是/BAC的平分線， MN LAC,.BM=MN ,在四邊形 ABMN 中，/, BMN=360 - 90 - 90 -45 =135°,/ ENF=135,

5、°,/ BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,°.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)針對圖2,同(1)的方法得， BMENMF,.BE=NF,. MN，AC, /C=45；/ CMN=Z C=45，.NC=NM=BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;針對圖3,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ；.NC=NM=BM,1 . NC=CF- NF,2 .CF- BE=BM

6、;(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中，n-mRtA ABM RtAANM (HL.),.AB=AN=x/2+1,在 RtA ABC 中，AC=AB心+1, .AC= AB=2+,.CN=AC- AN=2+2 - (V2+1) =1, 在 RtCMN 中，CM=/2CN=/2,.BM=BC- CM= +1 -=1,在 RtA BME 中,BE粵，tanZ BEM=，由（1）知，如圖1, BE+CF=BM.CF=BM- BE=1 由（2）知，如圖 ，此種情況不成立；2,由 tan / BEM=75CF- BE=BM,由(2)知，如圖3,.CF=BM+BE=1+-,k/3故答案為1,1+&

7、#165;或1【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識求解k3.如圖，反比例函數(shù) y-k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象相交于A(1,a),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA/y軸， ABC 90(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ； (2) 2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x上，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn) A在反比例函數(shù)ky k 0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點(diǎn) A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱即可x求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)作BH, AC于H,設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D,根據(jù) ABC 90 ,

8、BHC 90，可得C ABH ,再由已知可得AOD ABH ,從而得 C AOD ,求出tanC即可.【詳解】(1)二.點(diǎn)A(1, a)在y 2x上， a=2, A(1, 2),，一k把A(1, 2)代入y 得k 2,xk ._一;反比例函數(shù)y - k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象交于 A, b兩點(diǎn)， x A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。中心對稱，B 1, 2 ；(2)作BHI± AC于H,設(shè)AC交x軸于點(diǎn)D,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,CA/ y 軸， BH / x軸，AOD ABH , C AOD ,-AD 2 c.tanC tan AOD - 2.OD 1【點(diǎn)

9、睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、中心對稱、三角函數(shù)等知識，熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，（2）小題求出/C=/AOD是關(guān)鍵.4.如圖，AB是。的直徑，弦 CD，AB于H,過CD延長線上一點(diǎn) E作。的切線交AB 的延長線于切點(diǎn)為 G,連接AG交CD于K.（1）求證：KE=G（2）若KH=KD?GE試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；3（3）在（2）的條件下，若sinE=, AkA/5 ,求FG的長.25 口【答案】（1）證明見解析；（2） AC/ EF,證明見解析；（3） FG= .【解析】試題分析：（1）如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及 CD±AB

10、,可以推出/KGE=Z AKH=Z GKE,根據(jù)等角對等邊得至U KE=GE（2） AC與EF平行，理由為：如圖 2所示，連接 GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出 GKD與 EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,從而得到 AC/ EF;（3）如圖3所示，連接OG, OC,先求出KE=GE再求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得 FG的長度.試題解析：（1）如圖1,連接OG. / KGE-+Z OGA=90 ,° .CDXAB, /

11、 AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG, / KGE4 AKH=Z GKE, . KE=GE(2) AC/ EF,理由為連接 GD,如圖2所示.GE圄2KG GE. , KG2=KD?GE 即""KGKG KD ，又 / KGE4 GKE .GKDAEGK；/ E=Z AGD,又 ZC=Z AGD,/ E=Z C, .AC/ EF;(3)連接OG, OC,如圖3所示, / KGE+Z OGA=90 ； .CDXAB, / AKH+Z OAG=90 ;又. OA=OG,/ OGA=Z OAG, / KGE4 AKH=Z GK匕 . KE=GEsi

12、nE=sinZ ACH=,設(shè) AH=3t,則 AC=5t, CH=4t, KE=GE AC/ EF, .CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根據(jù)勾股定理得 AH2+hK?=AK2,即（3t） 2+t2= （2期“）2,解得 t=?設(shè)。O 半徑為 r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=Od即(r-3t) 2+ (4t) 2=r2,解得EF為切線,.OGF為直角三角形，25在 RtOGF 中，OG=r=力25 25r- t- 一 t一CII 4tan/OFG=tan/ CAH=" 一OGlanzOJ-G, .FG=

13、256 ,2543【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角 三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性 質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.5.如圖，在。的內(nèi)接三角形 ABC中，/ACB= 90°, AC=2BC,過C作AB的垂線l交。O是上異于A, C的一個動點(diǎn)，射線 AP交l于點(diǎn)F,連接PC與于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)PPD, PD交AB于點(diǎn)G.(1)求證：PASPDF;(2)若AB=5,""肝，求PD的長;AG麗-x- x>tan/AFD= y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出(3)在點(diǎn)P運(yùn)動

14、過程中，設(shè) x的取值范圍)【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】 試題分析：(1)應(yīng)用圓周角定理證明 ZAPD= / FPQ得到ZAPC= / FPD,又由/ PAC= /PDC,即可證明結(jié)論.(2)由 AC=2BC 設(shè)=應(yīng)用勾股定理即可求得BC, AC的長，則由AC=2BC導(dǎo)1,由AC&ABC可求得 AE, CE的長，由形，從而可求得 PA的長，由4AEF是等腰直角三角形求得 PA AC由(1) PASPDF得四 "，即可求得 PD的長. IAD = 2(3)連接BP, BD, AD,根據(jù)圓的對稱性，可得可知 APB是等腰直角三角EF=AE=4從而求得DF的長,AP ta

15、nLABP = = yAG AP,由角的轉(zhuǎn)換可得DG ADI,-,由AGPDGB 可得"G “=,由AGDPGB可得""尸"式相乘可得結(jié)果.試題解析：(1)由APCB內(nèi)接于圓O,得/FPC=/B,又. /B=/ACE= 90 - Z BCE, Z ACE= Z APD, . / APD= / FPC. / APD+ / DPC= / FPC+ / DPC,即 / APC= / FPD.又 / PAC= / PDC, .-.APACAPDF.(2)連接BP,設(shè),/ACB=90, AB=5,AE CE ACL . 一. ACEAABC,AC A"r

16、r nr - ?. ABXCD,E土AE CE 2/，即."，= H =之如圖，連接BP,.APB是等腰直角三角形. / PAB= 45 : AEF是等腰直角三角形.，EF=AE=4.，DF=6.PA AC2/ 3國由（1） PAgPDF得萬一歷：，即 PD 一飛-" 一 2p PD的長為 ？.(3)如圖，連接 BP, BD, AD, AD,. AC=2BC,根據(jù)圓的對稱性，得 AD=2DB,即AP tanLABP - - = jAG AP 加二而 .DG ADBG=PB . ABXCD, BP± AE, . . / ABP= / AFD.SnUFD = y .A

17、GPADGB, .AGDAPGB,/1G DG _AP AD AG _ AP AD.麗而二麗麗即布二瓦AG J.麗W'2.:'與之間的函數(shù)關(guān)系式為考點(diǎn)：1.單動點(diǎn)問題；2.圓周角定理；3.相似三角形的判定和性質(zhì);角三角形的判定和性質(zhì)；6.垂徑定理；7.銳角三角函數(shù)定義；8.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式4.勾股定理；5.等腰直6 .如圖，MN為一電視塔，AB是坡角為30。的小山坡（電視塔的底部N與山坡的坡腳 A在 同一水平線上，被一個人工湖隔開），某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量這座電視塔的高度.在坡腳A處測得塔頂M的仰角為45。；沿著山坡向上行走 40m到達(dá)C處，此時測得塔頂 M的仰角 為30

18、°,請求出電視塔 MN的高度.（參考數(shù)據(jù)：J2 = 1.41 J3 = 1.73結(jié)果保留整數(shù)）【答案】95m【解析】【分析】過點(diǎn)C作C已AN于點(diǎn)E, CF，MN于點(diǎn)F.在4ACE中，求AE= 2073 m,在 RTA MFC 中，設(shè) MN=x m,則 AN=xm. FC= V3 xm ,可得 x+ 2073 = 73 ( x 20),解 方程可得答案.【詳解】解：過點(diǎn) C作CE! AN于點(diǎn)E, CF± MN于點(diǎn)F.在4ACE中，AC= 40m, Z CAE= 30°.CE= FN=20m, AE= 20 百 m設(shè) MN = x m,則 AN= xm . FC= /

19、3xm,在RTA MFC中MF= MN -FN= MN-CE= x-20FC= NE= NA+ AE= x+ 203 / MCF= 30 °FC= ,3 MF,即 x+20/3 =桓(x- 20)在“曰40 3解得：x3 1= 60 + 20 73 95m答：電視塔MN的高度約為95m.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記解直角三角形相關(guān)知識，包括【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：解直角三角形 含特殊角的直角三角形性質(zhì) .7.如圖，在矩形 ABCD中，AB=6cm, AD= 8cm,連接BD,將ABD繞B點(diǎn)作順時針方向 旋轉(zhuǎn)得到ABD'（B與B重合），且點(diǎn) D剛好落在BC的延長上，AD與CD相交于點(diǎn)E.（

20、1）求矩形ABCD與ABD重疊部分（如圖1中陰影部分ABCE）的面積；（2）將ABD以每秒2cm的速度沿直線BC向右平移，如圖 2,當(dāng)B移動到C點(diǎn)時停止移動.設(shè)矩形ABCD與AABD重疊部分的面積為 y,移動的時間為 x,請你直接寫出y關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的平移過程中，是否存在這樣的時間x,使得AAA'B成為等腰三角形？若存在，請你直接寫出對應(yīng)的 x的值，若不存在，請你說明理由.【答案】（1）（2）詳見解析；（3）使得AAAB成為等腰三角形的x的值有：0秒、3秒、蟲S .25【解析】【分析】A'B' CE 可求出CE,A'

21、;D' CD'（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 B'D'= BD= 10, CD= B'D'- BC= 2,由 tan/BDA'=即可計算 /xCED'的面積，SAbce= Sabd - Sced；1111（2）分類討論，當(dāng)。蟲 J 時和當(dāng)xW4時，分別列出函數(shù)表達(dá)式;（3）分類討論，當(dāng) AB'= AB時；當(dāng)AA'= AB時；當(dāng)AB'= AA'時，根據(jù)勾股定理列方程即 可.【詳解】解：（1）. AB=6cm, AD= 8cm,BD= 10cm,CD'=B'D'- BC= 2cm,根據(jù)

22、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 BD' = BD=10cm,. tanZ BDA =A'B'CEA'D'CD'CE2，CE=3cm,2Sabce= Sbd-8Sced=一452、C cm2)211(2)當(dāng) 0a< 1時，CD= 2x+2,5CE= - (x+1)2 Sa cde= x+3x+ ?1 x 6X十 3x2- 3x- 3 =3 2x2-3x+竺；2BC= 8- 2x,CE=4 ,、(8-2x)3 y(3)14 n82 3如圖1,2x 2=8x2-364128-x+當(dāng) AB'= AB時，x=0 秒;如圖2,當(dāng)AA'= AB時,八，1

23、8AN = BM=BB' B'M = 2x+ 5.AN2+A'N2=36, . （6-當(dāng)）2+5解得：x=殳反5(2x+曳)59,x=2= 36,66一(舍去);5 如圖 2,當(dāng) AB'= AA時,AN=BM=BB' BM =2x+”,5,_ 24AM =NB=,5.AB2+BB'2= AN2+a'N2 ,36+4x2= (6-紿 2+ (2x+史 155-3斛得：x=2綜上所述，使得 AA B成為等腰三角形的x的值有：0秒、3秒、6二 9【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，能夠數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用分類討論的思想方法全 面的分析問題

24、，思考問題是解決問題的關(guān)鍵.8.如圖，AB是圓。的直徑，。為圓心，AD、BD是半圓的弦，且 / PDA=/ PBD.延長PD 交圓的切線BE于點(diǎn)E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由；(2)如果 / BED=60°, PD=J3,求 PA 的長；(3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段 DF,點(diǎn)F正好在圓。上，如圖2,求證：四【分析】(1)連接OD,由AB是圓。的直徑可得/ADB=90,進(jìn)而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直線PD為。的切線；(2)根據(jù)BE是。的切線，則/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再由PD為。的切線，得/PDO=90 ；

25、根據(jù)三角函數(shù)的定義求得 OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根據(jù)題意可證得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圓。的直徑，得 Z ADB=90 ,設(shè)/ PBD我，則可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出DFBE為菱形.的值，可得出4BDE是等邊三角形.進(jìn)而證出四邊形【詳解】(1)直線PD為。的切線，理由如下：如圖1,連接OD,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ,° / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, /

26、 ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 點(diǎn)D在。O上, 直線PD為。的切線；(2) .BE是。的切線，/ EBA=90 ； / BED=60 ,°/ P=30 ；.PD為。的切線,/ PDO=90 ；在 RtPDO 中，/P=30。，PD=5-0 OD tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2- 1=1;(3)如圖2,依題意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90

27、 ；/ DBF=2X設(shè)/ PBD=x,貝U / DAF=Z PAD=90+x°,四邊形AFBD內(nèi)接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF=30 ,°.BE、ED是。的切線， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,°BDE是等邊三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°,.BDF是等邊三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=

28、DF=BF本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔 題，難度較大.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線DE交x軸于點(diǎn)E (30, 0),交y軸于點(diǎn)D (0,140),直線AB： y=-x+5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,交直線DE于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作3EF± x軸交直線 AB于點(diǎn)F,以EF為一邊向右作正方形 EFGH(1)求邊EF的長；(2)將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒 J而個單位的速度勻速平移，得到正方形E1F1G1H1,在平移過程中邊 FiGi始終與y軸垂直，設(shè)平移的時間為 t秒(t>0) .當(dāng)點(diǎn)Fi移動到點(diǎn)B時，求t的值； 當(dāng)Gi,

29、 Hi兩點(diǎn)中有一點(diǎn)移動到直線 DE上時，請直接寫出此時正方形E1F1G1H1與4APE重疊部分的面積.【答案】(1) EF= 15; (2) 10 ; 120 ;【解析】【分析】(1)根據(jù)已知點(diǎn)E (30, 0),點(diǎn)D (0, 40),求出直線 DE的直線解析式y(tǒng)=-x+40,可3求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出 F點(diǎn)坐標(biāo)即可；(2)易求B (0, 5),當(dāng)點(diǎn)F1移動到點(diǎn)B時，t=10 J10壇0=10；F點(diǎn)移動到F'的距離是而t,F垂直x軸方向移動的距離是t,當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到直線DE上時，在 RtF'NF 中，-NF=-NF 3,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在R

30、DMH'中，-MH-EM 3 't=4, S=1x (12+45)X111023;248當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到直線DE上時,在 RtF'PK中，-PK =-,F K 3PK t 34 一一_ 一PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中，=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【詳解】(1)設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)=kx+b,將點(diǎn) E (30, 0),點(diǎn) D (0, 40),30k b 01 )b 4043，402 . y = - - x+40,3直線AB與直線DE的交點(diǎn)P (21, 12),由題意知F (30, 15),EF= 1

31、5；(2)易求 B (0, 5),3 .BF=10，1Q ,，當(dāng)點(diǎn)F1移動到點(diǎn)B時，t=10J10 J10 = 10;當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到直線DE上時,F點(diǎn)移動到F'的距離是T10t,在 RtF'NF 中，-NF=1 , NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4EM 3t 4一 一,15 3t 3t=4,.EM = 3, MH'= 4,145.S (12 ) 11241023當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到直線DE上時,F點(diǎn)移動到F'的距離是J10t,

32、- PF=3 .10 ，-PF'=布13標(biāo),在 RtF'PK 中,PK.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34,15 3t 93.t = 7,.S= 15 x(15-7) = 120.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角 形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影 部分的面積是解題的關(guān)鍵.10.如圖，在正方形 ABCD中，E是邊AB上的一動點(diǎn)，點(diǎn) F在邊BC的延長線上，且CF AE ,連接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于點(diǎn) H.

33、(1)求證：DE DF ;(2)求證：DH DF :(3)過點(diǎn)H作HM ± EF于點(diǎn)M,用等式表示線段 AB, HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并 證明.D【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3) EF 2AB 2HM ,證明詳見解析 【解析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)，CF AE得到DE DF .(2)由 zXAED ACFD ,得 DEDF.由 ABC 90 , BD平分 ABC,得 DBF 45 .因為FH平分 EFB,所以 EFHBFH .由于DHF DBF BFH 45 BFH , DFHDFE EFH 45EFH所以DH DF .(3)過點(diǎn)H作HN BC于點(diǎn)N ,由正方形 AB

34、CD性質(zhì)，得bd Jab2 ad2 72AB.由 fh 平分 efb, hm ef, hn bc ,得HNHM HN .因為 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BH T2HN 72HMsin 45由 EF DFV2DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM .cos45【詳解】(1)證明：四邊形ABCD是正方形，AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。 AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 .DE DF .(2)證明：.AAEDACFD ,DE DF .EDF 90 ,DEF DFE 45

35、 .ABC 90 , BD 平分 ABC,DBF 45 . FH 平分 EFB ,EFH BFH .DHF DBF BFH 45 BFH ,DFH DFE EFH 45 EFH ,DHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .證明：過點(diǎn)H作HN BC于點(diǎn)N ,如圖，.正方形 ABCD 中，AB AD, BAD 90 ,BC,BD JABAD2. 2AB. FH 平分 EFB , HM EF, HN HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,BH HN 2HN . 2HM . sin 45DH BD BH J2AB . 2HM . EF DFV2DF V2DH ,cos4

36、5EF 2AB 2HM .【點(diǎn)睛】 本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù).一 . .一一 1 211.如圖，已知二次函數(shù) y x bx C的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (-3, 6),并與x軸交于點(diǎn)B 2(-1, 0)和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn) P.(1)求這個二次函數(shù)解析式；(2)設(shè)D為x軸上一點(diǎn)，滿足 /DPO/BAG求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)作直線AP,在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M,在直線AP上是否存在點(diǎn) N,使AM+MN的值最?。咳舸嬖?，求出 M、N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.【答案】1)點(diǎn) C坐標(biāo)為(3

37、, 0),點(diǎn) P (1, -2);(2)點(diǎn) P (7, 0);(3)點(diǎn) N (-7,2.55【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解;(2)利用Saabc= X ACX BH= X BCXy 求出 sin22BH a =AB2.22、10MD PMD 中，tan a =PMx 1廣一,即可求解;x 222(3)作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn) A 55, 6),過點(diǎn)A作A吐AP分別交對稱軸與點(diǎn) M、 交AP于點(diǎn)N,此時AM+MN最小，即可求解.【詳解】96 - 3b 32八-(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:2,解得:10- b c故：拋物線的表達(dá)式為：y=lx2-x-

38、3,22令 y=0,則 x=-1 或 3,令 x=0,則 y=-3 ,2故點(diǎn)C坐標(biāo)為(3, 0),點(diǎn)P (1, -2);(2)過點(diǎn)B作BH, AC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)P作PGJ±x軸交于點(diǎn) G,設(shè)：/DPO/BAO”,由題意得：AB=2M，AC=672, BC=4, PC=272,S>A ABC=1 >AC 汨H=1 >BC xyA,22解得：BH=2 72,sinBHa AB 2、,105由題意得：GC=2=PG,故 / PCB=45°,延長PC,過點(diǎn)D作DM，PC交于點(diǎn)M,則 MD=MC=x,在 PMD中,MDtan a-=PM x解得：x=2 亞，則 CD

39、= 72 x=4,故點(diǎn) P (7, 0)；(3)作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn) A' (5, 6),過點(diǎn)A作ANAP分別交對稱軸與點(diǎn) M、交AP于點(diǎn)N,此時AM+MN最小,直線AP表達(dá)式中的k值為：8-=-2,則直線AN表達(dá)式中的k值為二，42設(shè)直線A N的表達(dá)式為：y= x+b,2將點(diǎn)A'坐標(biāo)代入上式并求解得：b=-,2故直線AN的表達(dá)式為：y= x+22當(dāng) x=1 時，y=4,故點(diǎn) M （1 , 4）,同理直線AP的表達(dá)式為：y=-2x，聯(lián)立 兩個方程并求解得：x=-,5故點(diǎn) N -. 55【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識，其中（3）,利用

40、對稱點(diǎn)求解最小值，是此類題目的一般方法.12.閱讀下面材料: ABC 中，/A、/B、/C 的對邊分別是a、b、c,過A作AD, BC于D （如圖），則sinB=殷,sinC=膽,即 AD=cbcsinB, AD= bsinC,于是csinB=bsinC,即bsin Bsin C同理有:c asin Csin A觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題.在銳角asin Ab 1abesinB '所以 sin A sin B sinC即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.在銳角三角形中，若已知三個元 素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素.根據(jù)

41、上述 材料，完成下列各題.（1）如圖，4ABC中，ZB=75°, / C= 45°, BC= 60,則 AB=；(2)如圖，一貨輪在 C處測得燈塔A在貨輪的北偏西 30。的方向上，隨后貨輪以 60海里/時的速度按北偏東 30。的方向航行，半小時后到達(dá) B處，此時又測得燈塔 A在貨輪的北偏西75。的方向上(如圖)，求此時貨輪距燈塔A的距離AB.(3)在(2)的條件下，試求 75。的正弦值.(結(jié)果保留根號)1)20 而;(2) 15點(diǎn)海里;(3)6+ .24(1)根據(jù)材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，寫出比例關(guān)系，代入數(shù)值即可求得AB的值.(2)此題可先由速度

42、和時間求出BC的距離，再由各方向角得出 / A的角度，過B作BMLAC于M,求出/ MBC=30 ,求出 MC,由勾股定理求出 BM,求出 AM、BM的長，由勾股定理求出AB即可；(3)在三角形 ABC中，ZA=45, / ABC=75, / ACB=60,過點(diǎn)C作AC的垂線BD,構(gòu)造直角三角形 ABD, BCD,在直角三角形 ABD中可求出AD的長，進(jìn)而可求出 sin75的值. 【詳解】解：(1)在 4ABC 中，/B=75, /C=45, BC=60,則 / A=60°,ABBCsinCsinAAB 60 sin45o sin60AB 60即近二代，22解得：AB=20 . 6

43、.(2)如圖，A依題意：BC=60< 0.5=30 (海里)1. CD/ BE, / DCB+/ CBE=180 / DCB=30 ；c C CBE=150 ° / ABE=75 .°/ ABC=75 ,°/ A=45 ,°在 ABC中,AB BC AB 30 = sin ACB sin A sin60? sin45?解之得：AB=15 6 .答：貨輪距燈塔的距離 AB=15j6海里.(3)過點(diǎn)B作AC的垂線BM,垂足為M.C在直角三角形 ABM中，/A=45, AB=15j6,所以AM=15，3,在直角三角形 BDC中，Z BCM=60 , BC

44、=30 ,可求得 CM=15,所以 AC=15 .3+15,由題意得，15百15二哽,而75=邑2 . sin75 sin604【點(diǎn)睛】本題考查方向角的含義，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形方法.13.在 RtABC中，/ACB=90°, AB=" , AC=2,過點(diǎn) B作直線 m II AC,將 ABC繞點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn)得到B'尤A, B的對應(yīng)點(diǎn)分別為 A', B',)射線CA, CB分別交直線 m于點(diǎn)P, Q.(1)如圖1,當(dāng)P與A重合時，求/ACA'的度數(shù)；(2

45、)如圖2,設(shè)A'國BC的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為A'的中點(diǎn)時，求線段 PQ的長；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn) P, Q分別在CA', CB'的延長線上時，i3t探究四邊形PA'B'的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形PA' B'的最小面積；若不存在，請說明理由.備用圖【答案】(1) 60。； (2) PQ= 7； (3)存在，S四邊形 pabq=3 J3 2【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2,進(jìn)而得到BC J3,依據(jù)/A'BC=90°,可得cos/ A'CB -BC- -,即可得到 Z A

46、'CB=30 °, / ACA=60 -A'C 2(2)根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出 ZA=ZA'CM,進(jìn)而得到PB g BC 3 ,依據(jù)tan/Q=tan/A ,即可得到 BQ=BC 與 2,進(jìn)而得出 PQ=PB+BQ -;232(3)依據(jù)S四邊形PABQ=SzPCQ S A'CB'=SAPCQ J3 ,即可得到 S四邊形PAB'Q最小，即 SPCQ最小，而SaPCQ 1PQXBC PQ,利用幾何法即可得到Sapcq的最小值=3,即可得到結(jié)22論.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可得： AC=A'C=2 . /ACB=

47、90； AB 6, AC=2, . BC V3 .BC. /ACB=90； m II AC . ./A'BC=90； ，cos/A'CB _AC,Z A'CB=30 °,2，/ACA=60(2) M為A'B'的中點(diǎn)，ZA'CM=ZMA'C,由旋轉(zhuǎn)可得:/ MA'C=Z A,，/A=/A'CM, .-.tanZPCB=tanZ A 蟲2 -PB i3BC Z BQC=Z BCP=Z A, .1.tanZ BQC=tanZ A,BQ=BC22, .1.PQ=PB+BQ(3) S四邊形 pa1b,q=Sa1 pcq S

48、aa'ce?=Sapcq J3.S四邊形PAB'Q最小，即Sa pcqJ1小,1Sa pcq PQ 汨C2取PQ的中點(diǎn)-3PQ2G./ PCQ=90.CG1一 PQ,即PQ=2CG,當(dāng)CG最小時，PQ最小,2CG± PQ,即 CG與CB重合時，CG最小, CGnin J3, PQmin=2j3,S/PCQ 的最小值=3, S 四邊形【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)pab'q=3 33 ;的綜合運(yùn)用，解題時注意：旋轉(zhuǎn)變換中,心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中 后的圖

49、形全等.14.如圖，在菱形ABCD中，B60 ，度沿邊AD向終點(diǎn)D運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQAB 4 .點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速AC交邊AB于點(diǎn)Q ,過點(diǎn)P向上作PN AC ,且PN 近PQ ,以PN、PQ為邊作矩形PQMN .設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t 2(秒)，矩形PQMN與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為 S.(1)用含t的代數(shù)式表示線段 PQ的長.(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，求t的值.(3)當(dāng)0 t 1時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，如圖，若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，作直線OM .當(dāng)直線OM將矩形PQMN分成兩部分圖形的面積比為1:2時，直接寫出t的值4n2.(1) PQ 2品；(2)一； (3)19

50、拘24073t1643； (4) t q 或53【解析】【分析】(1)由菱形性質(zhì)得 /D=/B=60°, AD=AB=CD=4 AACD是等邊三角形，證出 APQ是等腰三角形，得出PF=QF, PF=PA?sin60 而t,即可得出結(jié)果；(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，由題意得：4PDN是等邊三角形，得出 PD=PN,由已知得3一上口工口 一工口口PN=-yPQ=3t,得出PD=3t,由題意得出方程，解方程即可；(3)當(dāng)0vt 時，PQ=273t, PN=PQ=3t, S卻形PQMN的面積=PQX PN即可得出一，4結(jié)果；當(dāng)一 Vtv1時，4PDN是等邊三角形，得出 PE=PD=AD-P

51、A=4-2t5/FEN=/ PED=60,° 彳導(dǎo)出 NE=PN-PE=5t-4 FN=73 NE=V3 (5t-4) , S卻形 PQMN 的面積-24EFN的面積，即可得出結(jié)果；(4)分兩種情況：當(dāng) 0vt小時，ACD是等邊三角形，AC=AD=4,得出OA=2, OG是5 MNH的中位線，得出 OG=4t-2, NH=2OG=8t-4,由面積關(guān)系得出方程，解方程即可；當(dāng)4 Vtw刑，由平行線得出 OED4MEQ,得出 空 正，即 一EFh -2t ,5EQMQ EF . 3t 3t4t 24t程即可.【詳解】(1) 在菱形/ D=Z B=60解得EF=26t內(nèi)，得出EQ=.3t

52、23t ,競,由三角形面積關(guān)系得出方程，解方ABCD 中，/B=60°,；AD=AB=CD=4 MCD是等邊三角形,Z CAD=60 ； ,.PQXAC,.APQ是等腰三角形,.PF=QR PF=PA?sin60X匕收 t,2.PQ=23 t;，PD=PN,.pn"pqM x 273 t=3t, 22.PD=3t,PA+PD=AQ即 2t+3t=4 ,4解得：t=2.5S卻形 PQMN 的面積=PQX PN=a/3 t x 3t=3 t2；PDN是等邊三角形,PE=PD=AD-PA=4-2t / FEN=Z PED=60,°1 . NE=PN-PE=3t- (4-2t) =5t-4 ,2 .FN=73 NE=73 (5t-4),