2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講函數(shù)與方程學(xué)案

1、第2講函數(shù)與方程考情考向分析求函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主 要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).。熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1 .零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a) f(b)0,故有兩個(gè)不同的解 又 UiU2= f ( 一*2)f (yJ2) = - 4,所以不等實(shí)根的個(gè)數(shù)為3.思維升華 函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題，常見的有(1)函數(shù)零點(diǎn)大致存在區(qū)間的確定.(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定.(3)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩

2、端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解.x2+2, x 0 , 1 ,跟蹤演練1 (1)定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(x)= 22 且f(x+1)=f (x1),若 g(x) = 3log 雙，則函數(shù) F(x) =f(x) g(x)在(0, +8)內(nèi)的零點(diǎn)有()A. 3個(gè)B . 2個(gè)C . 1個(gè)D . 0個(gè) 答案 B解析 由f(x+1) =f (x1)得f(x)的周期為2,作函數(shù)f (x)和g(x)的圖象,圖中，g(3) =3- log 231 = f(3),g(5) =3-log 250,例2 (1)(2018 浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 )已知ae R,函數(shù)f (x) =x若存在三e x

3、, x0)有兩個(gè)不同的父點(diǎn)x即可，由ex=a+1,得 ex2+ax+ 1 = 0, .,.A =a2-4e0,解得 a2e 或 a0,，a0.綜上所述，a-2/e.g( x) = f (x) + x+ a.若 g( x)存在 2 個(gè)零ex, x0,B. 0 , +oo)D. 1 , +oo)點(diǎn)，則a的取值范圍是()A. -1,0)C. 1, +8)答案 C解析令 h(x) = - x-a, 則 g(x) =f(x) h(x).在同一坐標(biāo)系中畫出y=f (x),y= h(x)圖象的示意圖，如圖所示.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則y=f(x)的圖象與y=h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移y=h(x)的圖象

4、可知，當(dāng)直線y= xa過點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí) 1 = -0a, a=-1.當(dāng)丫= xa在y= x+1上方，即a 1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意.綜上，a的取值范圍為 1, +8).故選C.思維升華(1)方程f(x) = g(x)根的個(gè)數(shù)即為函數(shù) y=f(x)和y=g(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)關(guān)于x的方程f (x) mr 0有解，m的范圍就是函數(shù) y=f(x)的值域.跟蹤演練2 (1)已知函數(shù)f(x)2x-a, x0(aCR),若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是()A. (0,1C. (0,1) U(1,2)答案 AB. 1 , +oo)D. ( 8, 1)2 a, xW

5、 0, 解析二.函數(shù)f(x)=3x-a, x0(aC R)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，且 x=1是函數(shù)f(x)的一3個(gè)零點(diǎn)，方程2x-a=0在(8, 0上有一個(gè)解，再根據(jù)當(dāng)xC(巴 0時(shí)，02x2= 1,可得00時(shí),一 x 一一. 1 -xf(x) = ex,貝U f (x) =-e(x0),12c 0,e, e當(dāng)屬于第一種情況時(shí)，將0代入方程得m= 1,一一 1、.故f(1)=為f(x)在(0 , +8)上的最大值. e設(shè) t=f(x), t2 (m+ 1)t + 1m= 0 有兩個(gè)根 ti, 12,由圖可知，對應(yīng)兩個(gè) x值的t值只有一個(gè)，故可設(shè)ti對應(yīng)一個(gè)x值，t2對應(yīng)3個(gè)x值.11= 0,情況為1

6、t 2 c 0 e此時(shí)二次方程t2-(m 1)t + 1-mi= 0的根是確定的，一個(gè)為0, 一個(gè)為2，不符合第一種e情況的要求;當(dāng)屬于第二種情況時(shí),1mu 11一 _e1 _ m0,e2 e+ 1即 e2+ e m0,x R) .f (x)在區(qū)間(兀， 2兀)內(nèi)沒有零點(diǎn)，則 3的取值范圍是 答案 。，1 u 584 8后號L ,，、1 cos 3 X 1 ,1解析 f (x) =2+ 2sin 3 X 21 .=2(sincoxcos wx) = 2 sin因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(兀，2兀)內(nèi)沒有零點(diǎn),一，兀當(dāng) xC(ti, 2兀)時(shí)，3X 4C3 兀一丁，4_ T .兀 .所以22兀兀，所

7、以-兀，所以。兀2 w 71 -,右函數(shù)f(x)在區(qū)間(兀，2兀)內(nèi)有f r兀.兀 ,貝U 3 兀一4k 兀 2 3 冗一4（ k e Z）r 1 11 55當(dāng)k=0時(shí)，丁3不當(dāng)k=1時(shí)，一4.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(兀，2兀)內(nèi)沒有零點(diǎn)時(shí),0 3 W或 3 W 大. 8 482. (2017 山東改編)已知當(dāng)x 0,1時(shí)，函數(shù)y=(mx- 1)2的圖象與y=,十 只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .答案(0,1 U3, +oo)解析 設(shè)f(x) = (mx- 1)2, g(x) =，X+m,在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)1)2 = n2 x 12與g(x)=，x + m的大致圖象.分兩

8、種情形:, 1，一，,， 一，當(dāng)0m 1,如圖，當(dāng)xC0,1時(shí)，f(x)與g(x)的圖象有m的圖象有且f (x) = ( mx符合題意.，,1，一(2)當(dāng)m1時(shí)，0一1,如圖， m要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個(gè)交點(diǎn)，只需 g(1) f (1),即 1 +m( m-1)2,解得n3或n0(舍去).綜上所述，m (0,1 U3 , +8).3. (2017 江蘇)設(shè)f(x)是定義在 R上且周期為 1的函數(shù)，在區(qū)間 0,1)x , x C D,、n 1*其中集合 D= x x = , nCN ,則方程 f (x) - 1g x= 0x, x?D,n答案 8上，f(x) =的解的個(gè)數(shù)是

9、!,且x?Z時(shí),解析 由于f(x)C0,1),則只需考慮1wx2 且 p, q 互質(zhì).若 1g xC Q,則由 1g x C (0,1),可設(shè) 1g x= mnn N*, n2 且 m n 互質(zhì).因此 10m = q,P則10n= qm,此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾.因此 1g x?Q,因此1g x不可能與每P個(gè)周期內(nèi)xC D對應(yīng)的部分相等，只需考慮1g x與每個(gè)周期內(nèi)x?D部分的交點(diǎn)，畫出函數(shù)草圖.圖中交點(diǎn)除(1,0)外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期內(nèi)x?D部分，且x=1處(1g x) = 1m =二Y1,則在x=1附近僅有1個(gè)交點(diǎn)，因此方程解的個(gè)數(shù)為8.x1n 10 1n 1

10、0沖一【押題預(yù)測1. f(x)=2sin兀x-x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A. 4B. 5C. 6D. 7押題依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)是一種常用方 法.答案 B解析 令 2sin 兀 xx+1 = 0,則 2sin 兀 x = x1,令 h(x)=2sin 兀 x, g(x) =x1,貝U f (x) = 2sin兀xx+ 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù) h( x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.h(x) = 2sin兀x的最小正周期為 丁=馬上=2,畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象， 如圖所示，因?yàn)閔(1) = g(1),55h 2 g 2 , g(4)=32, g( 1)

11、 =2,所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)一共有5個(gè)，所以f(x) =2sin兀x x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 5.x+2. xa,2.已知函數(shù)f(x)= x2+5X+2 xva 若函數(shù)g(x) = f(x) 2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. 1,1)B. 0,2C. (2,2D). -1,2)押題依據(jù) 利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定參數(shù)范圍，較好地體 現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.答案 Dx + 2 xa,解析 g(x) =f(x) -2x= x2+3x+2 xva 要使函數(shù) g(x)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，只需g(x) =0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，xa,xa),x = - 1( x a

12、) , x = - 2(x a).再借助數(shù)軸，可得1w a2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2),故選D.3.已知定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),且當(dāng)0WxW2時(shí)，f(x) = minx1 個(gè)實(shí)根，則；m2,由對稱性知x0時(shí)，要使方程f (x) - mx= 0恰有兩個(gè)實(shí)根， + 2x, 2x,若方程f(x)mx= 0恰有兩個(gè)實(shí)根，則 m的取值范圍是()A. -00, - 1 U 1, +00 331 1b. -8, 3 u 3, +8C. -2， - - U 2 33D - 2 -1 U 1 2233，2押題依據(jù) 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，先研究特殊位置，結(jié)合函

13、數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.答案 C解析 當(dāng) 0wx1 時(shí)，一x2+2x2- x,所以 f (x)=x + 2x, 0 w x1,又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)f(x)2-x, K x0時(shí)，要使萬程f (x) - mx= 0恰有兩3。專題強(qiáng)化練梯落訊埒亙更高考A組專題通關(guān)1.已知函數(shù)f (x)1x3,則在下列區(qū)間中含有函數(shù)f(x)零點(diǎn)的是(A. 01C. 22D. 3,答案解析f (0) =101301飛013f12 0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1 13 2內(nèi)必有零點(diǎn)，故選B.2. (2018 紹興市柯橋區(qū)模擬)已知x0是函數(shù)f(x)=e

14、+1x- 2的零點(diǎn)，若X1C(0x2 e( xo, 2),則()A.f(x1)0f(x2)0B.f (x1)0C.f (x1)0f (x2)0f(x2)0答案 C解析函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閤|xw2,又 ex0,且 x2 時(shí)，T；0,故 f(x)的零點(diǎn) xC (x 一 28, 2),求導(dǎo)得 f (x) = e-x 220,則函數(shù)f (x)在區(qū)間(一8, 2) , (2 ,+8)上單x 2 調(diào)遞減，由 0x1x0x2f (xc)f (x2),即 f (x1)0 , f (x2)0時(shí)，f(x) =2x+2x-4,則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A. 2 B . 3 C.4 D . 5答案 B解析 由于

15、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故 f (0) = 0.,1由于 f 2 f (2)0時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)x0時(shí)，也有1個(gè)零點(diǎn).故一共有 3個(gè)零點(diǎn).2 x 124 .已知函數(shù)f (x) = x + 2 2(x. ( , 2)2)C.(2的D. 2陋平答案 B一一2x 1解析 f (x) = x + 2 2(x0 時(shí)，一x0), 所以f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為 h(x) =f(-x) =x2 + 2 x-1(x0),1 o由題息得x+2 2=x + log 2(x+a)在x0時(shí)有解，作出函數(shù)的圖象如圖所本,當(dāng)awo時(shí)，函數(shù)y = 2一x2與y= log 2(x+ a)的

16、圖象在(0, 十)上必有交點(diǎn)，符合題意，1右a0,右兩函數(shù)在(0, 十0)上有交點(diǎn)，則log 2a萬，解得0a 2,綜上可知，實(shí)數(shù) a的取值范圍是(8,啦).5 .(2018 湖州、衢州、麗水三地市模擬)已知函數(shù)f(x) = |x1| 十 |x|+|x+1| ,則方程f(2x-1) =f(x)所有根白W口是()A.1 B . 1 C. 4 D . 2 33答案 C解析 由題意得 f(2x-1) = |2x-2| +|2x-1| +|2x| , f (2 x-1) = f (x) ? |2x-2| +|2x-1|十 |2 x| = | x 1| + | x| + | x+ 1| ,即 | x 1

17、| + | x| + |2x 1| | x+ 1| = 0,設(shè) g(x) = | x 1| 十3x+3, x- 1,5x+ 1, - K x0, 13x+ 1, 0w x_,| x| 十 |2x1| 一 | x+1| ,貝U g(x) =2令 g(x) = 0,解得 x1x1, 2x1,11n x 1 | , x1,6.已知函數(shù) f (x)= 2*-1十x1所以方程f (2 x 1) = f (x)所有根的和是,3，則萬程f(f(x) -2 f x +4 =0的實(shí)根個(gè)數(shù)為()A. 6 B.5 C.4 D . 3答案 C3. 一3 .一 一 .解析 令t = f(x),則萬程f(f(x) -2

18、f x +4 =0等價(jià)于f(t) 2t 萬=0,在同一平面直3 .角坐標(biāo)系中作出f (x)與直線y = 2x+2的圖象,t1=0 和 1t 22,當(dāng) t1 = f(x) =0,一 ,_3 由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，且 f(t) 2t 2=0的兩根分別為時(shí)，解得x=2,當(dāng)t2=f (x) C (1,2)時(shí)，f(x)有3個(gè)不等實(shí)根，綜上所述，方程f(f(x)2 f x +3 =0的實(shí)根個(gè)數(shù)為4.47.定義在 R 上的函數(shù) f (x)滿足 f(x)+f (x+ 5) = 16,當(dāng) xC( 1,4時(shí)，f (x) = x2-2x,則函 數(shù)f (x)在區(qū)間0, 2 019上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 .答案 605解析因?yàn)?/p>

19、 f (x) + f (x+5) = 16,所以 f(x+5) +f(x+10)= 16,所以 f(x) =f (x+10),所以該函數(shù)的周期是 T= 10.由于函數(shù)y=f(x)在(一1,4上有3個(gè)零點(diǎn)，因此在區(qū)間(一1,9上只有3個(gè)零點(diǎn)，且在( 1,0)上有1個(gè)零點(diǎn)，在0,9上有2個(gè)零點(diǎn)且不在區(qū)間端點(diǎn)處.而 2 019=201X 10+9,故在區(qū)間0,2 019 上共有201X3+ 2=605(個(gè))零點(diǎn).xsin x, 0Vx Tt ,當(dāng)k= 1時(shí)，函數(shù)g(x)有 個(gè)零點(diǎn)；若函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是 .答案10,一 解析 當(dāng)k=1時(shí)，g(x) = 0,即f(x) =x,一A

20、.I兀當(dāng) 0Vx7t時(shí)，dx=x,解得x=0(舍去)或1(舍去)， 綜上，g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.若函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則kw 0.0k7t時(shí)，qx=kx(k0),最多有1個(gè)解,1即有x 2 71 ,解得 k又0vx兀 時(shí)，xsin x=kx,即為sin x = k有2個(gè)解，則 0k1,綜上可得0kwJ三. 兀9 .對于函數(shù) f(x)與 g(x),若存在 入 C xC R|f(x)=0, C xC R g(x) = 0,使得 | 入一 (i|W1,則稱函數(shù)f (x)與g(x)互為零點(diǎn)密切函數(shù)”， 現(xiàn)已知函數(shù)f (x) =e2+x3與g(x) = x2axx+4互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)

21、a的取值范圍是 .答案3,4解析 由題意知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x = 2,設(shè)g( x)滿足|2 | 1的零點(diǎn)為 w ,因?yàn)?|2 (11 0g 3 0則需滿足g(1) g(3) wo或 0,a +113,解得 aw4 或 3 a ,得 3 x2- 4x+ 3入，x入.當(dāng)入=2時(shí)，不等式f (x)2, 解析當(dāng)入=2時(shí)，f(x)=24+32其圖象如圖(1).由圖知f(x) 入，f(x)= 2 4+3 入 恰有2個(gè)零點(diǎn)有兩種情況：二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一次函數(shù)無 零點(diǎn)；二次函數(shù)與一次函數(shù)各有一個(gè)零點(diǎn).2在同一平面直角坐標(biāo)系中回出y1 = x4與y2=x 4x+3的圖象，如圖(2),平移直線x=入，可

22、得入 (1,3 U(4, +8).B組能力提高log 1 x+ 1 , 0x0時(shí)，f(x)=21 - | x- 3| , x1,的方程f(x) a=0(0a1)所有根之和為1 啦，則實(shí)數(shù)a的值為()2121A.y B. 2 C. t D. 4答案 B 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng) xC( 1,0時(shí)，f(x) = -f(-x)= - log 1 ( - x+ 1)2= log 2(1 x);當(dāng) x C ( 8, 1時(shí)，f (x) = - f ( - x) = - (1 - | -x- 3|) = | x+ 3| - 1,所以函數(shù) f (x)的圖 象如圖所示，令g(x) = f (x)

23、-a,函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即為函數(shù)y=f(x)與y = a的交點(diǎn)，如圖所示，共 5 個(gè).當(dāng) xC(一巴 一1時(shí)，令 |x+3|1 = a,解得 x1= 4a, x2= a 2,當(dāng) xC (一 1,0)時(shí)，令 log 2(1 x)=a,解得 x3=1 2a；當(dāng) xC1 , +8)時(shí)，令 1|x3| =a,解得 x4= 4-a, x5= a+2, 所以所有零點(diǎn)之和為 xi + x2+x3 + x4+x5=4 a+a2+1 2a+4 a+ a+2=1 2a=1 y2,，a=2.12.若函數(shù) f(x) = ax+lnxx 一；x In有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()xe 1A. 1 e-1 ee 1B. 1，U-e1C. 一 eee 1答案解析函數(shù)f (x)=ax+ lnx：x ln x,有3個(gè)不同的零點(diǎn),等價(jià)于a=x In xx- In x xxC(0, +8)有3個(gè)不同解,令 g(x)=x In xx- In x xxC(0, +8),1 In x則 g(x)=(x-ln x)21 ln x2xIn x(1 ln x)(2xIn x)x2 xln x 1 2當(dāng)xC(0, +8)時(shí)，令y=2xIn x,則y1 2x-1=2=當(dāng)xC12 時(shí)，y 0 ,則當(dāng) xe (0, +8)時(shí)，恒有 2x In x0,令 g (x) =0,得 x= 1 或