天津市天津一中2013屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期零月考試題 理（解析版）新人教A版

1、天津一中2013屆高三（上）零月考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1（3分）若=a+bi（i是虛數(shù)單位，a、bR），則ab為（）A1B1C2D3考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)相等的充要條件專題：計(jì)算題分析：利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，知=1+3i=a+bi，由此能求出ab解答：解：=1+3i=a+bi，a=1，b=3，ab=3故選D點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答2（3分）已知幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）AB4CD考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積專題：計(jì)算題分析：根據(jù)已知的三視圖可判斷出該幾

2、何體是一個(gè)正四棱錐，且可得底面棱長為2，側(cè)面高為，由此求出底面面積和棱錐的高，代入棱錐體積公式，可得答案解答：解：由已知可得該幾何體是一個(gè)底面棱長為2側(cè)面高為的正四棱錐則棱錐的高h(yuǎn)=棱錐的高V=Sh=×2×2×=故選C點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求體積，其中根據(jù)已知分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵3（3分）（2005天津）設(shè)、為平面，m、n、l為直線，則m的一個(gè)充分條件是（）A，=l，mlB=m，C，mDn，n，m考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定專題：證明題；轉(zhuǎn)化思想分析：根據(jù)面面垂直的判定定理可知選項(xiàng)A是否正確，根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判定可知選項(xiàng)B和C是否正確

3、，根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行，以及與兩平行平面中一個(gè)垂直則垂直于另一個(gè)平面，可知選項(xiàng)D正確解答：解：，=l，ml，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，缺少條件m，故不正確；=m，而與可能平行，也可能相交，則m與不一定垂直，故不正確；，m，而與可能平行，也可能相交，則m與不一定垂直，故不正確；n，n，而m，則m，故正確故選D點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系以及充分條件的判定等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題4（3分）若函數(shù)y=a1x（a0，a1）的圖象過定點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線mx+ny=1（m、n0）上，則的最小值為（）A5B2C7D4考點(diǎn)：基本不

4、等式專題：計(jì)算題分析：函數(shù)y=a1x（a0，a1）的圖象恒過定點(diǎn)A，知A（1，1），點(diǎn)A在直線mx+ny1=0上，得m+n=1結(jié)合mn0，可得m0，n0，利用1的變換構(gòu)造出可以用基本不等式求最值的形式求最值解答：解：由已知定點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），由點(diǎn)A在直線mx+ny1=0上，m+n=1，又mn0，m0，n0，=（）（m+n）=2當(dāng)且僅當(dāng)即m=n=時(shí)取等號故選D點(diǎn)評：本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是利用1的代換配湊基本不等式應(yīng)用的條件5（3分）在數(shù)列an中，a1=2，an+1=1an（nN ），Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則S20062S2007+S2008為（）A5B1C3D2考

5、點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列專題：計(jì)算題分析：依題意，可求得a1=a3=a2n1=2，a2=a4=a2n=1從而可求得答案解答：解：數(shù)列an中，an+1=1an（nN ），an+an+1=1又a1=2，a2=1，a3=2，同理可求，a4=1，a5=1，a1=a3=a2n1=2，a2=a4=a2n=1S2006=1003；同理可求得S2007=1005，S2008=1004，S20062S2007+S2008=3故選C點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，分析出a1=a3=a2n1=2，a2=a4=a2n=1是關(guān)鍵，考查分析與計(jì)算能力，屬于中檔題6（3分）函數(shù)y=2x1+log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A（0.

6、5，2）B（0.5，1）C0.5，1D0.5，2考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)專題：計(jì)算題分析：判斷函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號，當(dāng)它們異號時(shí)存在零點(diǎn)解答：解：因?yàn)?×0.51+log20.5=log20.50，2×11+log21=10，又在（0.5，1）上函數(shù)y=2x1+log2x的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以函數(shù)y=2x1+log2x在區(qū)間（0.5，1）上存在零點(diǎn)故選B點(diǎn)評：本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，須滿足兩條：在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷；端點(diǎn)處函數(shù)值異號7（3分）過點(diǎn)M（1，2）的直線把圓x2+y24x=5分成兩段弧，則劣弧最短時(shí)直線方程為（）A3x2y+2=0Bxy1=0Cx+y

7、3=0Dx2y+3=0考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)專題：計(jì)算題；直線與圓分析：設(shè)已知圓的圓心為C，根據(jù)平面幾何知識，得劣弧最短時(shí)相應(yīng)的弦長也最短，所以求出過點(diǎn)M，且與CM垂直的直線l即可，根據(jù)垂直直線斜率之間的關(guān)系算出l的斜率，最后利用點(diǎn)斜式列式，再化成一般式方程，即得所求解答：解：劣弧最短時(shí)，相應(yīng)的弦長也最短過點(diǎn)M（1，2）的直線l截圓C：x2+y24x=5，所得短劣弧對應(yīng)的直線與CM垂直圓x2+y24x=5的圓心C（2，0）CM的斜率k=2，可得直線l的斜率k1=由此可得直線l方程為：y2=（x1），整理得x2y+3=0故選：D點(diǎn)評：本題給出圓內(nèi)一點(diǎn)M，求經(jīng)過點(diǎn)M且被圓截得最短弧的直線l的方程

8、，著重考查了直線的位置關(guān)系和直線與圓相交的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題8（3分）（2013甘肅三模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A（4251）B（4261）C2501D2511考點(diǎn)：程序框圖專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出等比數(shù)列的和解答：解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=0+2+23+249=（4251）故選A點(diǎn)評：本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷對循環(huán)體每次循環(huán)需要進(jìn)行分析并找出內(nèi)在規(guī)律本題屬于基礎(chǔ)題二.填空題：

9、9（3分）的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)a=±2考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：在 的通項(xiàng)公式中，令x的指數(shù)等于2，求得 r=2，從而得到 展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為60=C62a2，解方程求得實(shí)數(shù)a的值解答：解： 的通項(xiàng)公式為 Tr+1=C6r ar，令=2可得 r=2，展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為60=C62a2，a2=4，a=±2故答案為：±2點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，得到60=C62a2，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題10（3分）已知5cos（45°+x）=3，則sin2x=考點(diǎn)：二倍角的正弦專題：三

10、角函數(shù)的求值分析：由題意可得 cos（45°+x）=，再利用二倍角的余弦公式求得 sin2x=cos（90°+2x） 的值解答：解：由題意可得 cos（45°+x）=，sin2x=cos（90°+2x）=cos2（45°+x）=2cos2（45°+x）+1=2×+1=，故答案為 點(diǎn)評：本題主要考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11（3分）（2005江蘇）在ABC中，O為中線AM上一個(gè)動點(diǎn)，若AM=2，則的最小值是2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算專題：計(jì)算題；壓軸題分析：利用向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則作出，判斷出共線，得到

11、的夾角，利用向量的數(shù)量積公式將轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求出最小值，解答：解：以O(shè)B和OC做平行四邊形OBNC則因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)所以且反向=，設(shè)OA=x，（0x2）OM=2x，ON=42x=2x24x（0x2）其對稱軸x=1所以當(dāng)x=1時(shí)有最小值2故答案為2點(diǎn)評：本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件、向量的數(shù)量積公式、二次函數(shù)最值的求法12（3分）（2007海南）已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為 3考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：過雙曲線的頂點(diǎn)A、焦點(diǎn)F分別向其漸近線作垂線，垂足分別為B、C，根據(jù)比例線段的性質(zhì)可知進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則離心

12、率可得解答：解：如圖，過雙曲線的頂點(diǎn)A、焦點(diǎn)F分別向其漸近線作垂線，垂足分別為B、C，則：故答案為3點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)考查了比例線段的知識和雙曲線的離心率問題13（3分）極坐標(biāo)系中，曲線=10cos和直線3cos4sin30=0交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長=8考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓相交的性質(zhì)專題：直線與圓分析：先把曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再利用|AB|=2（d為圓心到直線的距離）即可得出答案解答：解：曲線=10cos，2=10cos，化為普通方程：x2+y2=10x，即（x5）2+y2=25，圓心C（5，0），半徑r=5直線3cos4sin30=0

13、，普通方程為3x4y30=0圓心C（5，0）到直線的距離d=3，|AB|=8故答案為8點(diǎn)評：充分理解|AB|=2（d為圓心到直線的距離）是解題的關(guān)鍵當(dāng)然也可以先把交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出來，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出14（3分）（2010懷柔區(qū)二模）已知PA是圓O（O為圓心）的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，則線段PB的長為1考點(diǎn)：圓的切線方程專題：壓軸題分析：利用直徑上的圓周角是直角，切點(diǎn)與圓心連線與切線垂直，推出OAB是正三角形，PB=AB=r（半徑），然后求出結(jié)果解答：解：PA是圓O（O為圓心）的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，CAB=90°，又OAAP，PAB

14、=30°CAO=30°OAB是正三角形，且ACO=30°，APO=30°AB=PB設(shè)圓的半徑為r，則；PB=1故答案為：1點(diǎn)評：本題考查圓的切線方程，平面幾何知識，是中檔題三.解答題：15已知ABC中，A、B、C分別為三個(gè)內(nèi)角，a、b、c為所對邊，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC的外接圓半徑為，（1）求角C；（2）求ABC面積S的最大值考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理專題：解三角形分析：（1）利用正弦定理化簡已知等式的右邊，整理后再利用余弦定理變形，求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；（2）由C的度數(shù)

15、求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，利用三角形的面積公式列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡后，將sinC的值及表示出的B代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出面積的最大值解答：解：（1）利用正弦定理化簡已知的等式得：2（sin2Asin2C）=2sinB（ab），整理得：a2c2=abb2，即a2+b2c2=ab，c2=a2+b22abcosC，即a2+b2c2=2abcosC，2abcosC=ab，即cosC=，則C=；（2）C=，A+B=，即B=A，=2，即a=2sinA，

16、b=2sinB，SABC=absinC=absin=×2sinA×2sinB×=2sinAsinB=2sinAsin（A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1cos2A）=sin2Acos2A+=sin（2A）+，則當(dāng)2A=，即A=時(shí)，SABCmax=點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵16如圖為一多面體，其底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，CEDP，且PD=2CE（1）求證：BE平面PDA；（2）若N為線段

17、PB的中點(diǎn)，求證：EN平面PDB；（3）若PD=AD，求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的余弦值考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法專題：綜合題；空間角分析：（1）取PD中點(diǎn)F，證明四邊形EFAB為平行四邊形，可得BEAF，利用線面平行的判定可得BE平面PDA；（2）設(shè)ACBD=O，證明COEN，C0平面PDB，即可得到NE平面PDB；（3）設(shè)平面PBE與平面ABCD所夾角為，利用即可求得結(jié)論解答：（1）證明：取PD中點(diǎn)F，則FDEC，F(xiàn)D=EC四邊形EFDC為長方形EFCDAB四邊形EFAB為平行四邊形BEAFBE面PDA，AF面PDABE平面PDA；（2）證明：設(shè)ACBD=

18、O，則NOCE，NO=CE四邊形NOCE為長方形，COENPD面ABCD，CO面ABCDPDCO，COBD，PDBD=DC0平面PDBNE平面PDB；（3）解：設(shè)平面PBE與平面ABCD所夾角為PD平面ABCD于D，CE平面ABCD于C，在PBE中，PB=2a，BE=，PE=，SPBE=SBDC=，點(diǎn)評：本題考查線面平行，線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題17（2007深圳二模）有編號為1，2，3，n的n個(gè)學(xué)生，入坐編號為1，2，3，n的n個(gè)座位每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為，已知=2時(shí)，共有6種坐法（1）求n的值；（2）求隨機(jī)

19、變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列專題：計(jì)算題分析：（1）解題的關(guān)鍵是=2時(shí)，共有6種坐法，寫出關(guān)于n的表示式，解出未知量，把不合題意的舍去（2）學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為，由題意知的可能取值是0，2，3，4，當(dāng)變量是0時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號都相同，當(dāng)變量是2時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有2個(gè)相同，理解變量對應(yīng)的事件，寫出分布列和期望解答：解：（1）當(dāng)=2時(shí)，有Cn2種坐法，Cn2=6，即，n2n12=0，n=4或n=3（舍去），n=4（2）學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為，由題意知的可能取值是0，2，3，4，當(dāng)變量是0時(shí)表

20、示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號都相同，當(dāng)變量是2時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有2個(gè)相同，當(dāng)變量是3時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有1個(gè)相同，當(dāng)變量是4時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有0個(gè)相同，的概率分布列為：點(diǎn)評：培養(yǎng)運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般的觀點(diǎn)分析問題的能力，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化歸思想啟發(fā)誘導(dǎo)的同時(shí)，訓(xùn)練了學(xué)生觀察和概括歸納的能力18數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an3n（nN*）（1）若數(shù)列an+c成等比數(shù)列，求常數(shù)c值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an（3）數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：等差數(shù)列

21、與等比數(shù)列的綜合專題：計(jì)算題；壓軸題分析：（1）利用遞推公式可得an=snsn1，利用等比數(shù)列的定義可求c（2）由遞推公式an=snsn1（n2），a1=s1求解（3）假設(shè)存在as，ap，ar成等差數(shù)列，則2ap=as+ar，結(jié)合（2）中的通項(xiàng)公式進(jìn)行推理解答：解：（1）由Sn=2an3n及Sn+1=2an+13（n+1）得an+1=2an+3，c=3（2）a1=S1=2a13，a1=3，an+3=（a1+3）2n1an=3.2n3（nN*）（3）設(shè)存在S，P，rN*，且spr使as，ap，ar成等差數(shù)列2ap=as+ar即2（32p3）=（32s3）+（32r3）2p+1=2s+2r2ps+

22、1=1+2rss，p，rN*且spr2ps+1、2rs為偶數(shù)1+2rs為奇數(shù)矛盾，不存在滿足條件的三項(xiàng)點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系an=snsn1（n2），a1=s1的應(yīng)用及等比數(shù)列的定義，而對存在性問題，一般是先假設(shè)存在，然后由假設(shè)結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，看是否產(chǎn)生矛盾，從而判斷存在性19（2013梅州二模）已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的

23、方程；（3）設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C2上，且滿足，求的取值范圍考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；軌跡方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程專題：計(jì)算題；壓軸題分析：（1）先由離心率為，求出a，b，c的關(guān)系，再利用直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切，求出b即可求橢圓C1的方程；（2）把題中條件轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)M的軌跡是以l1：x=1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線，即可求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；（3）先設(shè)出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)，利用求出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再用點(diǎn)R，S的坐標(biāo)表示出，利用函數(shù)求最值的方法即可求的取值范圍解答：解：（1）由得2a2=3b2，又由直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切，得，橢圓C1的方程為：（4分）（2）由MP=MF2得動點(diǎn)M的軌跡是以l1：x=1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線，點(diǎn)M的軌跡C2的方程為y2=4x（8分）（3）Q（0，0），設(shè)，由，得，y1y2化簡得，（10分）（當(dāng)且僅當(dāng)y1=±4