數(shù)學(xué)物理方法13變分法ppt課件

1、 從前面的定解問題的解法中，我們?nèi)菀紫氲接捎谶吘惩鈴那懊娴亩ń鈫栴}的解法中，我們?nèi)菀紫氲接捎谶吘惩庑屋^為復(fù)雜，或由于泛定方程較為復(fù)雜，或由于其它各種條形較為復(fù)雜，或由于泛定方程較為復(fù)雜，或由于其它各種條件發(fā)生變化，將使得定解問題難以嚴(yán)厲解出，因此又開展了件發(fā)生變化，將使得定解問題難以嚴(yán)厲解出，因此又開展了一些真實可用的近似方法，經(jīng)過本章的學(xué)習(xí)我們會看到近似一些真實可用的近似方法，經(jīng)過本章的學(xué)習(xí)我們會看到近似解的價值一點也不低于嚴(yán)厲解的價值現(xiàn)實上，我們應(yīng)該曾解的價值一點也不低于嚴(yán)厲解的價值現(xiàn)實上，我們應(yīng)該曾經(jīng)留意到，從推導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程時難免要作一些簡化假定，經(jīng)留意到，從推導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程時難免要作

2、一些簡化假定，定解條件本身也帶有或多或少的近似性，前面所謂的嚴(yán)厲解定解條件本身也帶有或多或少的近似性，前面所謂的嚴(yán)厲解其實也是某種程度的近似其實也是某種程度的近似 假設(shè)某個定解問題不能嚴(yán)厲解出，但另一個與它差別甚微的定解問題能嚴(yán)厲解出，那么就可以運用微擾法求近似解量子力學(xué)教科書中普通都要引見微擾法，限于課時，這里就不再反復(fù)引見近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等 變分法是研討求解泛函極值極大或極小的方法，變變分法是研討求解泛函極值極大或極小的方法，變分問題即是求泛函的極值問題把定解問題轉(zhuǎn)化為變分分問題即是求泛函的極值問題把定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題，

3、再求變分問題的解問題，再求變分問題的解變分法的優(yōu)點變分法的優(yōu)點: : (2) 變分法易于實現(xiàn)數(shù)學(xué)的一致化由于普通而言，數(shù)學(xué)物理方程的定解問題都可以轉(zhuǎn)化為變分問題尤其是前面引見的斯特姆劉維爾本征值問題可轉(zhuǎn)化為變分問題，變分法提供了施劉型本征值問題的本征函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；(1) (1) 變分法在物理上可以歸納定律由于幾乎一切的變分法在物理上可以歸納定律由于幾乎一切的自然定律都能用變分原理的方式予以表達；自然定律都能用變分原理的方式予以表達；(3) (3) 變分法是解數(shù)學(xué)物理定解問題常用的近似方法，變分法是解數(shù)學(xué)物理定解問題常用的近似方法，其根本思想是把數(shù)學(xué)物理定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題由其根

4、本思想是把數(shù)學(xué)物理定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題由直接解變分問題開展了一些近似解法，其中最有用的直接解變分問題開展了一些近似解法，其中最有用的是里茨是里茨 RitzRitz法法 由于里茨法中的試探函數(shù)的選由于里茨法中的試探函數(shù)的選取較為費事，計算系數(shù)矩陣也非常困難，隨著計算機取較為費事，計算系數(shù)矩陣也非常困難，隨著計算機的展，又迅速開展了一種有限元法；的展，又迅速開展了一種有限元法； (4) (4) 變分法的運用不僅在經(jīng)典物理和工程技術(shù)域，而變分法的運用不僅在經(jīng)典物理和工程技術(shù)域，而且在現(xiàn)代量子場論，現(xiàn)代控制實際和現(xiàn)代信息實際等且在現(xiàn)代量子場論，現(xiàn)代控制實際和現(xiàn)代信息實際等高技術(shù)領(lǐng)域都有非常廣泛的運用

5、高技術(shù)領(lǐng)域都有非常廣泛的運用有限差分法：有限差分法把定解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，有限差分法：有限差分法把定解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程， 然后經(jīng)過電子計算機求定解問題的數(shù)值解然后經(jīng)過電子計算機求定解問題的數(shù)值解模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研討的定解問題，模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研討的定解問題， 而在模型上實測解的數(shù)值而在模型上實測解的數(shù)值 變分法是這些方法中最為重要和真實有效的方法，變分法是這些方法中最為重要和真實有效的方法，曾經(jīng)廣泛運用于科學(xué)研討和工程計算之中，限于篇幅故曾經(jīng)廣泛運用于科學(xué)研討和工程計算之中，限于篇幅故本書主要詳細(xì)引見經(jīng)典變分法的根本概念和實際本書主要詳細(xì)引見經(jīng)典變分法的

6、根本概念和實際定義：定義： 變分法變分法 變分問題變分問題 變分法就是求泛函極值的方法變分問題即是求變分法就是求泛函極值的方法變分問題即是求泛函的極值問題泛函的極值問題一、泛函一、泛函 變分法研討的對象是泛函，泛函是函數(shù)概念的推行變分法研討的對象是泛函，泛函是函數(shù)概念的推行為了闡明泛函概念先看一個例題：為了闡明泛函概念先看一個例題： 思索著名的最速降線落徑問題。如圖13.1 所示， 知A和B為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點，要求找出A、B間的這樣一條曲線，當(dāng)一質(zhì)點在重力作用下沿這條曲線無摩擦地從A滑到B時，所需的時間T最小 y x A B(x,y) 圖 19.1 圖圖13.1我們知道，此時質(zhì)點

7、的速度是我們知道，此時質(zhì)點的速度是 d2dsgyt因此從因此從 A A滑到滑到B B所需的時間為所需的時間為21+ddd22BAtBBtAAysTtxgygy即為即為21+ ( )d2BAyT y xxgy 13.1.1yxT( )y x( )y x ( )T y x式中式中 代表對代表對求一階導(dǎo)數(shù)求一階導(dǎo)數(shù) 我們稱上述的我們稱上述的為為的泛函，而稱的泛函，而稱為可取的函數(shù)類，為泛函為可取的函數(shù)類，為泛函的定義域。簡單地說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)不是復(fù)合函數(shù)的定義域。簡單地說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)不是復(fù)合函數(shù)的那種含義的那種含義普通來說，設(shè)普通來說，設(shè)C C是函數(shù)的集合，是函數(shù)的集合，B B是實數(shù)或

8、復(fù)數(shù)的集合，是實數(shù)或復(fù)數(shù)的集合， 假設(shè)對于假設(shè)對于C C的任一元素的任一元素 ( )y x在在B B中都有一個元素中都有一個元素J與之對應(yīng)，與之對應(yīng)， J( )y x ( )JJ y x那么稱那么稱為為的泛函，記為的泛函，記為必需留意，泛函不同于通常講的函數(shù)決議通常函數(shù)值的必需留意，泛函不同于通常講的函數(shù)決議通常函數(shù)值的要素是自變量的取值，而決議泛函的值的要素那么是函數(shù)的要素是自變量的取值，而決議泛函的值的要素那么是函數(shù)的取形如上面例子中的泛函取形如上面例子中的泛函T T的變化是由函數(shù)的變化是由函數(shù) ( )y xx即從即從A A到到B B的不同曲線的不同曲線值，也不取決值，也不取決所引起的它的

9、值既不取決于某一個所引起的它的值既不取決于某一個本身的變化本身的變化于某一個于某一個 yyx值，而是取決于整個集合值，而是取決于整個集合C C中中與與的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系定義：泛函定義：泛函 泛函的核泛函的核 泛函通常以積分方式出現(xiàn)，比如上面描畫的最速降線落徑問題的式13.1.1更為普通而又典型的泛函定義為 ( )( , ,)dbaJ y xF x y yx (13.1.2)其中其中 ( , ,)F x y y稱為泛函的核稱為泛函的核 二、泛函的極值二、泛函的極值變分法變分法對于不同的自變量函數(shù)對于不同的自變量函數(shù) ( )y x，與此相應(yīng)的泛函，與此相應(yīng)的泛函 ( )J y x也有不同的數(shù)值找

10、出一個確定的自變量函數(shù)也有不同的數(shù)值找出一個確定的自變量函數(shù) ( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有極值極小或極大，這種泛函的極小值與極大值統(tǒng)稱為泛函的極值引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變?yōu)榉汉敕汉母拍詈?，對于上述的最速降線落徑問題變?yōu)榉汉?( )J y x的極小值問題物理學(xué)中常見的有光學(xué)中的費馬的極小值問題物理學(xué)中常見的有光學(xué)中的費馬(Fermat)(Fermat)原理，分析力學(xué)中的哈密頓原理，分析力學(xué)中的哈密頓(Hamiton)(Hamiton)原理等，都是泛函的極值原理等，都是泛函的極值問題問題即直接分析所提出的問題；另一類叫間接法，即把問題轉(zhuǎn)化為即直接

11、分析所提出的問題；另一類叫間接法，即把問題轉(zhuǎn)化為求解微分方程為討論間接方法，先引見變分和泛函的變分求解微分方程為討論間接方法，先引見變分和泛函的變分三、三、 變分變分 定義：定義： 變分變分 假設(shè)我們將泛函取極值時的函數(shù)或函數(shù)曲線定義為假設(shè)我們將泛函取極值時的函數(shù)或函數(shù)曲線定義為 ( );y x并定義與函數(shù)曲線并定義與函數(shù)曲線 ( )y x臨近的曲線或略為變形的臨近的曲線或略為變形的定義：定義： 變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法研討泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法，研討泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法， 曲線作為比較曲線，

12、記為曲線作為比較曲線，記為( , )( )( )y xy xx其中其中 是一個小參數(shù)；是一個小參數(shù)； ( )x是一個具有二階導(dǎo)數(shù)的恣意是一個具有二階導(dǎo)數(shù)的恣意選定函數(shù)，規(guī)定選定函數(shù)，規(guī)定 它在一個小范圍內(nèi)變化，這限制主要保證泛它在一個小范圍內(nèi)變化，這限制主要保證泛函在極值處延續(xù)在研討泛函極值時，通常將函在極值處延續(xù)在研討泛函極值時，通常將 ( )x固定，固定，而令而令變化，這樣規(guī)定的益處在于：建立了由參數(shù)變化，這樣規(guī)定的益處在于：建立了由參數(shù) 到泛函到泛函 ( )J y x值之間的對應(yīng)關(guān)系，因此泛函值之間的對應(yīng)關(guān)系，因此泛函 ( )J y x就成為了參數(shù)就成為了參數(shù) 的普通函數(shù)原來泛函的極值問

13、題就成為的普通函數(shù)原來泛函的極值問題就成為普通函數(shù)對普通函數(shù)對 的求極值的問題同時，函數(shù)曲線的求極值的問題同時，函數(shù)曲線 ( )y x的變分定義為的變分定義為0( , )|( )dyy xx(13.1.3)(13.1.3)因此可得因此可得 ( )dyx(13.1.4)(13.1.4)這里這里 ,y代表對代表對x求一階導(dǎo)數(shù)求一階導(dǎo)數(shù) 所以所以 ddyyx(13.1.5)(13.1.5)即變分和微分可以交換次序即變分和微分可以交換次序 ()dbaFFJyyxyy (13.1.6) (13.1.6)在極值曲線在極值曲線 ( )y x附近，泛函附近，泛函 ( )J y x的增量，定義為的增量，定義為

14、( , ) ( )JJ y xJ y x (13.1.7)(13.1.7)按照上述商定，當(dāng)按照上述商定，當(dāng) 0時，泛函增量時，泛函增量 J的線性的線性主要部分定義為泛函的變分，記為主要部分定義為泛函的變分，記為 四、四、 泛函的變分泛函的變分定義：定義： 泛函的變分泛函的變分 泛函的增量泛函的增量 變分問題變分問題泛函的變分定義為泛函的變分定義為0|dJJ (13.1.8) 在求一元或多元函數(shù)的極值時，微分起了很大的作用；同樣在研討泛函極值問題時，變分起著類似微分的作用因此，通常稱泛函極值問題為變分問題；稱求泛函極值的方法為變分法解解 1721 ( )()dJ y xy exyx1172711

15、111771111111 ( )()d(2)dd 2dd2d|d 2dJ y xyexyxxy y eyxxy y xey xxy y x eyxxy y x留意：最后一步利用了普通在邊境上函數(shù)變分為零的現(xiàn)實，即留意：最后一步利用了普通在邊境上函數(shù)變分為零的現(xiàn)實，即 711|0ey例例 1 計算泛函的變分計算泛函的變分13132 2 泛函的極值泛函的極值 泛函的極值問題，普通來說是比較復(fù)雜的由于它與泛函包含的自變量個數(shù)，未知函數(shù)的個數(shù)以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等相關(guān)另外，在求泛函極值時，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等下面我們首先討論泛函的極值的必要條件 一、一、 泛函的極值的必要條

16、件泛函的極值的必要條件歐拉拉格朗日方程歐拉拉格朗日方程 設(shè)設(shè) ( )J y x的極值問題有解的極值問題有解( )yy x13.2.1 如今推導(dǎo)這個解所滿足的常微分方程，這是用間接法研討泛函極值問題的重要一環(huán)想象這個解有變分 ( )x那么那么 ( )( )J y xx可視為參數(shù)可視為參數(shù) 的函數(shù)的函數(shù) ( ) ( )( ).J y xx而當(dāng)而當(dāng) 0時，時， ( )( )( )y xxy x對應(yīng)于式對應(yīng)于式(13.2.1),(13.2.1),即為即為 ( )( )J y xx取極值于是原來的泛函極值取極值于是原來的泛函極值問題，就化為一個求普通函數(shù)問題，就化為一個求普通函數(shù) ( )的極值問題由函數(shù)

17、的極值問題由函數(shù)取極值的必要條件，有取極值的必要條件，有0d|0d即有即有 0|0J13.2.213.2.2 1.泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分方式的積分方式泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分方式，泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分方式， 13.1.213.1.2 ( )( , ,)baJ y xF x y y dx假設(shè)思索兩端固定邊境的泛函問題：積分是在區(qū)域內(nèi)經(jīng)過兩點假設(shè)思索兩端固定邊境的泛函問題：積分是在區(qū)域內(nèi)經(jīng)過兩點 1122(,),(,)x yxy的恣意曲線進展的，其中的恣意曲線進展的，其中 12,

18、xa xb泛函中泛函中 y為為( , )( )( )y xy xx由于兩端固定，所以要求由于兩端固定，所以要求 ( )0, ( )0ab，即，即 |0,|0 x ax byy由由(13.1.8)(13.1.8)，有，有 0 ( )( )|d ( )d( )d d dbabaJ y xxJFFxxxyyFFyyxyy13.2.313.2.3 式式(13.2.3)(13.2.3)的積分號下既有的積分號下既有 y，又有，又有 y，對第二項，對第二項運用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)運用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)yd|()ddbbaaFFFJyy xyyxy(13.2.4)(13.2.4)根據(jù)根據(jù)17.2

19、.217.2.2, ,所以所以 0|0JJd , ,再根據(jù)再根據(jù)13.2.413.2.4故有故有d|()d0dbbaaFFFJyy xyyxy13.2.513.2.5 由于由于 |0,|0 x ax byy并且并且 y是恣意的，所以是恣意的，所以 d()0dFFyxy (13.2.6) (13.2.6) 上式(13.2.6)稱為歐拉Euler拉格朗日Lagrange方程，簡稱為E-L方程 此即泛函取極值的必要條件即泛函此即泛函取極值的必要條件即泛函 J的極值函數(shù)的極值函數(shù) ( )y x必需是滿足泛函的變分必需是滿足泛函的變分 0J的函數(shù)類的函數(shù)類 ( )y x因此，因此， 把泛函的極值問題稱為

20、變分問題把泛函的極值問題稱為變分問題 注明：注明：E-LE-L方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件假設(shè)討論充分條件，那么要計算二階變分，并思索其正、條件假設(shè)討論充分條件，那么要計算二階變分，并思索其正、負(fù)值負(fù)值, ,但對于實踐問題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的但對于實踐問題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問題的提法中就可以一定，所以極值的存存在性往往間接地在問題的提法中就可以一定，所以極值的存在性是不成問題的，只需解出在性是不成問題的，只需解出E-LE-L方程，就可以得到泛函的極方程，就可以得到泛函的極值值 E-L E-L

21、方程除了上面給出的方式方程除了上面給出的方式(13.2.6)(13.2.6)之外，之外，另外還有四種特殊情況：另外還有四種特殊情況：(1) (1) F不顯含不顯含 x( ,),FF y y且且 0Fx由于由于ddd()()()dddFFFFFFFyyyxyxyxyyxy假設(shè)假設(shè) 0,y E-LE-L方程等價于方程等價于 FFycy 13.2.713.2.7(2) (2) F不依賴于不依賴于 y( ,),FF x y且且 0Fy那么那么E-LE-L方程化為方程化為d()0, dFFcxyy 13.2.813.2.8(3) (3) F不依賴于不依賴于 y( , ),FF x y且且 0Fy那么那么

22、E-LE-L方程化為方程化為0Fy13.2.913.2.9由此可見由此可見 F僅為僅為 x的函數(shù)的函數(shù) (4) (4) F關(guān)于關(guān)于 y是線性的：是線性的： ( , ,)( , )( , )F x y yf x yg x y y那么那么E-LE-L方程化為方程化為0fgyx 13.2.1013.2.10 對于含有一個自變量，多個變量函數(shù)，以及有較高階變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論：2. 泛函表示為多個函數(shù)的積分方式泛函表示為多個函數(shù)的積分方式1122 ( )( ,)dbnnaJ y xF x y y yyyyx|0, |=0 (1,2, )ix aix byyin那么與此泛函極值

23、問題相應(yīng)的那么與此泛函極值問題相應(yīng)的E-LE-L方程為方程為d()0 (1,2, )diiFFinyxy13.2.113. 泛函的積分方式中含有高階導(dǎo)數(shù)泛函的積分方式中含有高階導(dǎo)數(shù)( ) ( )( , ,)dbnaJ y xF x y y yyx(1)( )( )( )0ny ay ay a(1)( )( )( )0ny by by b與此泛函極值問題相應(yīng)的與此泛函極值問題相應(yīng)的E-LE-L方程為方程為22( )ddd()()( 1)()0dddnnnnFFFFyxyxyxy 13.2.124.泛函的積分方式中含有多元函數(shù)泛函的積分方式中含有多元函數(shù)( , )u x y, x y設(shè)設(shè)為為的二元

24、函數(shù)，那么的二元函數(shù)，那么22111212( , , ,)d d( , )(, )( ,)( ,)0 xyxyxyJF x y u u ux yu x yu xyu x yu x y 與此泛函極值問題相應(yīng)的與此泛函極值問題相應(yīng)的E-LE-L方程為方程為()()0 xyFFFuxuyu13.2.1313.2.13212yFgy不顯含不顯含 x，故其，故其E-LE-L方程為方程為13.2.713.2.7式式0221122yyFFyygycyygy令令 02cgc故有故有 221(1)yyc例例2 2 試求解最速降線落徑問題，即變分問題試求解最速降線落徑問題，即變分問題21d02BAyxgy解目前，

25、我們只能用間接方法來求解，由于解目前，我們只能用間接方法來求解，由于令令 121cc分別變量得到分別變量得到1dd ycyxy再令再令 12sin2cy代入上式得到代入上式得到112dsind(1 cos )d22cxc即得到即得到121(sin)2(1c o s2)cccxy此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置 圖圖13.113.1的的A,BA,B兩點決議兩點決議13.2.213.2.2泛函的條件極值問題泛函的條件極值問題 在許多泛函的極值問題中，變量函數(shù)還遭到一些附加條件的限制，其中最常見和重要的一種是以積分方式表示的限制條件( , ,)db

26、aG x y yxl 13.2.14即所謂的等周問題：即所謂的等周問題：01 ( )( , ,)d , ( ), ( )( , ,)d babaJ y xF x y yxy ayy byG x y yxl (13.2.15) (13.2.15)注：這種問題之所以稱為等周問題，是由于在歷史上來源于求一條經(jīng)過兩點，長度固定為l的曲線 ( ),y x使面積使面積 ( )dbaSy xx取極大值取極大值其中其中 01,l yy為常數(shù)此類問題可以仿照普通函數(shù)的為常數(shù)此類問題可以仿照普通函數(shù)的條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件(13.2.14)(13.2.14

27、)乘以乘以參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到 ( ; ,)( ; ,)d0baF x y yG x y yx于是問題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問題于是問題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問題 其對應(yīng)的其對應(yīng)的E-LE-L方程為方程為d()0dFGFGyyxyy這是經(jīng)過這是經(jīng)過 a和和 b兩點的兩點的 ( )y x之下使泛函取極值的必要條件它實踐上是一個關(guān)于之下使泛函取極值的必要條件它實踐上是一個關(guān)于 在附加條件在附加條件13.2.1413.2.14( )y x的二階常微分方程其通解中含有三個參數(shù)，即的二階常微分方程其通解中

28、含有三個參數(shù)，即和兩個積分和兩個積分常數(shù)它們可由條件常數(shù)它們可由條件 01( ), ( )y ayy by13.2.1413.2.14來確定來確定 . .和附加條件和附加條件 例例3 3 求求 120 ( )() dJ y xyx的極值，其中的極值，其中 y是歸一化的，即是歸一化的，即 120d1yx ，且知，且知 (0)0, (1)0.yy 解 此題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題1220()d0yyx 對應(yīng)的對應(yīng)的E-LE-L方程為方程為0yy其通解為其通解為cossin (0)yAxBx代入附加條件代入附加條件 (0)0, (1)0.yy得到得到( )sin( ) (1,2,)nn

29、yxcn xn代入歸一化條件得到代入歸一化條件得到1220sin ( )d1ncn x x 于是得到于是得到 2nc ，故原極值問題的解為，故原極值問題的解為2sin( )nyn x 而題中要求的泛函而題中要求的泛函 120() dyx的極值為的極值為12222202 cos ( )dnn xxn當(dāng)當(dāng) 1n 時，極值函數(shù)時，極值函數(shù) 1( )2siny xx 使得泛函數(shù)獲得最小值使得泛函數(shù)獲得最小值 2例例4 4 求泛函求泛函 20 (2 cos )dJ yyyxx在條件在條件 (0)0, ()0yy下的極值曲線下的極值曲線. .解解 此時此時 xyyyyxFcos2),(2 那么偏導(dǎo)數(shù)那么偏導(dǎo)數(shù) yFxFyy2,cos2. .對應(yīng)的對