高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算導(dǎo)數(shù)概念與運(yùn)算基礎(chǔ)知識總結(jié)素材新人教A版選修2-2講解

1、導(dǎo)數(shù)概念與運(yùn)算基礎(chǔ)知識總結(jié)知識清單1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當(dāng)時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。 說明：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來歸納）：（1）求函數(shù)的增量=f（x+

2、）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x)=。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應(yīng)地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ; ; ; .4兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： (法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的

3、導(dǎo)數(shù)： 法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法則：y|= y| ·u|導(dǎo)數(shù)應(yīng)用知識清單1 單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；2極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；求函數(shù)

4、在區(qū)間端點(diǎn)的值(a)、(b)；將函數(shù) 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分（1）概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式?；镜姆e分公式：C；C（

5、mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）。（2）定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。典型例題一 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算EG：如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t3運(yùn)動，則在t=3 s時的瞬時速度為（ ）A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s變式：定義在

6、D上的函數(shù)，如果滿足：，常數(shù)，都有M成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.【文】（1）若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【理】（2）若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG：已知的值是（ ）A. B. 2 C. D. 2變式1：（ ）A2C3D1變式2：（ ）ABCD根據(jù)所給的函數(shù)圖像比較變式：函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ） A. y B. C. D. O 1 2 3 4 x EG：求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：。變式：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義

7、在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0時,0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)0的解集是A(3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)EG：已知函數(shù).(1)求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求這個函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程.變式1：已知函數(shù).（1）求這個函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程；（2）過原點(diǎn)作曲線yex的切線，求切線的方程.變式2：函數(shù)yax21的圖象與直線yx相切，則a( )A. B. C. D. 1EG：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：變式1：函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是A. B. C. D. 變式2：已知函數(shù)(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-3，1），則

8、的是 . (2)若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是 .變式3： 設(shè)，點(diǎn)P（，0）是函數(shù)的圖象的一個公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.（）用表示a，b，c；（）若函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，求的取值范圍.EG：求函數(shù)的極值.求函數(shù)在上的最大值與最小值.變式1： 函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ）A1個 B2個 C3個D4個變式2：已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示.求：（）的值；（）的值.變式3：若函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)極值，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)有3個解，求實(shí)數(shù)的取值范圍變式4：已知函數(shù)，對xÎ1，

9、2，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。EG：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：變式1：證明：，變式2：（理科）設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2ln(1+x)2.若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在0，2上恰好有兩個相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG： 函數(shù)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍 變式1:設(shè)函數(shù)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式2:如圖,曲線段OMB是函數(shù)的圖象,軸于點(diǎn)A,曲線段OMB上一點(diǎn)M處的切線PQ交x軸于點(diǎn)P,交線段AB于點(diǎn)Q，(1)若t已知,求切線PQ的方程 (2)求的面積的最大值變式3:用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大的容積是多少？變式4:某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本（萬元），已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為5