一種橢圓形方程的差分格式及迭代法求解

1、一種橢圓形方程的差分格式及迭代法求解一、問題及其差分格式考慮正方形域上的Laplace方程的第一邊值問題：uxx+uyy=0，（0<x，y<1），u（0，y）=u（x，0）=u（x，1）=0,u（1,y）=sin兀y.（1）容易驗證方程（1）的精確解為：u（x,y）=sin兀y.在xoy平面上作兩組平行直線：x=x0+ih，y=y0+jh（i，j=0，±1,±2）.（x0,y0）是xoy平面上的任意一點，?。▁0,y0）為坐標原點（0,0）,步長h=，這樣，整個平面就被這兩組平行直線構(gòu)成的正方形網(wǎng)格所覆蓋，兩組平行直線的交點稱為網(wǎng)格結(jié)點，只考慮屬于正方形區(qū)域0，

2、1；0，1的結(jié)點。若一個結(jié)點的四個相鄰接點都屬于0，1；0，1，則稱此結(jié)點為內(nèi)部結(jié)點；若一結(jié)點的四個相鄰結(jié)點至少有一個不屬于0，1；0，1，則稱此結(jié)點為邊界結(jié)點。在每一個內(nèi)部結(jié)點上，用二階中心差代替問題中的二階導(dǎo)數(shù)：（uxx）=（）=（uyy）=（）=則有：（）+（）由此得到(1)的差分格式為：uij=(ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1).(i,j=1,2,n-1),其中u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sin兀y.二、三種迭代方法及收斂性比較對線性方程組Ax=b,系數(shù)矩陣A=(aij)nXn非奇異，且A的主對角元aij*0(i=1,2-n).1

3、 .Jacobi迭代法將A分裂成A=D-(D-A),其中D=diag(a11,a22-ann),于是方程人*可以寫成Dx=(D-A)x+b或x=(E-D-1A)x+D-1b(2)令B=E-D-1A,g=D-1b,則(2)可寫成：x=Bx+g這樣得到了迭代公式：xk=Bxk-1+g(k=1,2)(3)2 .Gauss-Seidel迭代法將A分裂成：A=D(E-L)-DU其中:D=diag(a11,a22,ann),l=0000-a000-a-00-0U=0-100-000-10000對比(2)和(3)則得出：B=L+U于是方程Ax=b可以寫成：D(I-L)x=DUx+b(4)顯然D和I-L都是非

4、奇異的，因此可以用（I-L）-1D-1左乘上式的兩端，得出：x=（I-L）-1+Ux+（I-L）-1D-1b由此得Gauss-Seidel迭代法的迭代公式：由此可見Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的修正。表1Jacobi和Gauss-Seidel迭代法收斂速度的比較續(xù)表其中誤差容限TOL取0.5E-8,兀取3.1415926。由表1的結(jié)果可知，Jacobi迭代法比Gauss-Seidel迭代法迭代公式簡單，但收斂速度比Gauss-Seidel迭代法慢。當(dāng)剖分網(wǎng)格加細即N增大時，誤差隨著減小，迭代次數(shù)相應(yīng)增大，所得結(jié)果在誤差范圍內(nèi)，基本達到要求，驗證了該方法的可行性。3.SOR迭代法令：（6）引入了中間變量,3為松弛因子，當(dāng)3=1時，（6）即為Gauss-Seidel迭代法。把（6）中的中間量消去，可得SORt代法的迭代公式:三、三種迭代法的解與準確解的比較表2N=6,3=1.4,迭帶次數(shù)k=20時的