李雅普諾夫指數(shù)的綜述

1、李雅普諾夫指數(shù)? 1李雅普諾夫指數(shù)的定義? 2.李雅普諾夫指數(shù)的劃分意義? 3.李雅普諾夫指數(shù)用在混沌中，如何應(yīng)用一李雅普諾夫指數(shù)的定義李雅普諾夫指數(shù)是指在相空間中相互靠近的兩條軌線隨著時(shí)間的推移，按指數(shù)分離或聚合的平均變化速率。李雅普諾夫指數(shù)的定義：首先考慮一維映射假設(shè)初始位置附近有一點(diǎn)，則經(jīng)過一次迭代后，這兩點(diǎn)之間的距離為:|臥.| '- 加 (1)并利用微分中值定理有:|a>i |二|1仏疣7|=廠人砥（2）n次迭代后，并利用微分中值定理，這兩點(diǎn)之間的距離為:6xn |二丨帆昭敘若戶牡訓(xùn)二卩（工少|(zhì)加II血幻:0（ 3）由（3）式可得：則有：（4）又由復(fù)合函數(shù)的微分規(guī).I

2、I I .甘中 d：.：匸陽".那么式（4）就變?yōu)?HI.=£ in |rn.i(6)為 Lyapunov 指數(shù)。(5)則稱一維映射就對應(yīng)一個(gè)李雅普諾夫指數(shù)，而且當(dāng)時(shí)，該系統(tǒng)具有混沌特性。當(dāng)時(shí)，對應(yīng)著分岔點(diǎn)或系統(tǒng)的周期解，既系統(tǒng)出現(xiàn)周期現(xiàn)象。時(shí)，系統(tǒng)有穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，即此時(shí)對應(yīng)的是一個(gè)點(diǎn)而對于多維系統(tǒng)則有多個(gè)李雅普諾夫指數(shù)。Lyapu nov特性指數(shù)沿某一方向取值的正負(fù)和大小表示長時(shí)間系 統(tǒng)在吸引子中相鄰軌線沿該方向平均發(fā)散或收斂i的快慢程度，僅從數(shù)學(xué)角度考慮，Lyapunov特性指數(shù)無量綱。n維 系統(tǒng)具有n個(gè)Lyapunov特性指數(shù)，形成指數(shù)譜。其中數(shù)值最 大的被稱為最大

3、Lyapunov特性指數(shù)。最大Lyapunov指數(shù)定義 為L(tJLC tt.)M丄lbtirT 0 k-L其中， 表示 時(shí)刻最鄰近零點(diǎn)間的距離；M為計(jì)算總步數(shù)。最 大Lyapunov指數(shù)不僅是區(qū)別混沌吸引子的重要指標(biāo)， 也是混沌系 統(tǒng)對于初始值敏感性的定量描述。其中一維系統(tǒng)只有一個(gè)指數(shù)， 二維系統(tǒng)有兩個(gè)指數(shù)來表征。在實(shí)際計(jì)算中，要計(jì)算所有的Lyapunov指數(shù)，計(jì)算量較大，尤其當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)L較大時(shí)更為突出所 以注意力集中在計(jì)算系統(tǒng)的最大 Lyapunov指數(shù)入m上.二李雅普諾夫指數(shù)的物理意義系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可有效地表征變量隨時(shí)間演化時(shí)，系 統(tǒng)對初值的敏感性。指數(shù)小于零說明體系的相體

4、積在該方向上是 收縮的，此方向的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；而正的指數(shù)值則表明了體系的相體積在該方向上不斷膨脹和 折疊，以致吸引子中本來鄰近的軌線變得越來越不相關(guān)，從而使 初態(tài)對任何不確定性的系統(tǒng)的長期行為成為不可預(yù)測，即所謂的 初值敏感性。進(jìn)一步意義? 設(shè)某一系統(tǒng)的指數(shù)譜為? （從大到小排列） ，若該系統(tǒng)具有混沌吸引子，則必須同時(shí)滿 足以下條件? （ 1）至少存在一個(gè)正李雅普諾夫指數(shù)? （ 2）至少存在某一指數(shù)為 0? （ 3）指數(shù)譜之和為負(fù)。三此指數(shù)在混沌系統(tǒng)中的應(yīng)用? 混沌運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對初始條件的高度敏感性。兩 個(gè)極為靠近的初值所產(chǎn)生的軌道 , 隨時(shí)間推移按指數(shù)形式分 離 ,Lyapuno

5、v 指數(shù)是定量描述這一現(xiàn)象的量。對所討論的 Duffing 振子 ,若它的 Lyapunov 指數(shù)均小于零 , :若存 在一個(gè) Lyapunov 特性指數(shù)大于零 ,就說明系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)。 這種判別方法計(jì)算簡單 ,物理意義明確 ,誤差小 。五計(jì)算此指數(shù)的幾種方法? 用 Logistic 映射產(chǎn)生的模擬時(shí)間序列數(shù)據(jù)，采用兩種從實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù)時(shí)間序列恢復(fù)動(dòng)力學(xué)的方法，計(jì)算混沌吸引子的 Lyapunov 指數(shù)。? 一種方法是 S.J.Chang 和 J.Wright 提出的混合嫡法 8 一，這 種方法特別適合一維的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。 另一種方法是 A.wolf 提出的重構(gòu)吸引子法 7，這種方法可以推廣到相空間維數(shù)及動(dòng)力學(xué) 規(guī)律都不知道的更普遍的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，在原則上可以計(jì)算系統(tǒng)的 全部正 Lyapunov 指數(shù)譜。具體的方法還有1. 從動(dòng)力學(xué)規(guī)律計(jì)算 Lyapunov 指數(shù)2. Chang 一 Wright 混合嫡法Chang 一 wright 混合嫡法僅適用于可化為一維凸映射的情況。一 般來說，總點(diǎn)數(shù) N 及盒子數(shù)凡越大，所得結(jié)果越精確。3. Wolf 重構(gòu)法Wolf重構(gòu)法以Take ns的延遲坐標(biāo)重構(gòu)相空間技術(shù)為基礎(chǔ)， 對于一 個(gè)由觀測得到