汽車行駛問題ppt課件

1、汽車行駛問題問題一：曲率限制的停車問題 一輛汽車靜止于A處，要開到與車身垂直的B處，不能倒車，沿著什么路徑行駛路程最短？AB背景知識 從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)必須轉(zhuǎn)彎，由于車身有一定長度，轉(zhuǎn)彎不能轉(zhuǎn)得太小，即路徑的曲率K不能太大或者曲率半徑r不能太小。（可以以火車轉(zhuǎn)彎的軌道來想象）問題二：汽車?yán)@行rxy(x3,y3) 汽車從A地出發(fā)，到河邊取水送往B地，兩地之間有一個不能穿越的圓形建筑群見圖），汽車如何行走，才能使得路程最短？(0,y1)A(x2,y2)Bo知 A,B即建筑群中心的坐標(biāo)都已知，如下圖，建筑群個半徑r也已知。建筑群周圍就是汽車道路。問題三：停車問題1psALMBCDQR 如下圖，有三個半

2、徑為a的圓，其中兩個圓的圓心相距2b=4asin,其中，0/2.第三個圓與這兩個圓相切。做圓A，B的另一側(cè)公切線CD。 若汽車的最小轉(zhuǎn)彎半徑為a，不能倒車，討論如下問題。（1車停于P處，車頭朝上，要行駛到S處，什么路徑最短？（2汽車停于L處，車頭向上，要行駛到M出車頭朝下，最短路徑是什么？如果可以倒車？（3汽車停于C，車頭朝上，要行駛到P處車頭朝上，什么路徑最短，如果可以倒車呢？問題四：停車問題2AB12 駕駛一輛車從A處到B處，在A處與AB夾角為1，到達(dá)B出后與AB夾角為2.如何行駛，路程最短？汽車的最小轉(zhuǎn)彎半徑為a。汽車?yán)@行rxy(x3,y3) 汽車從A地出發(fā)，到河邊取水送往B地，兩地之間

3、有一個不能穿越的圓形建筑群見圖），汽車如何行走，才能使得路程最短？(0,y1)A(x2,y2)Bo分析 汽車從A到B，又要取水，圓形建筑群又不能穿越，不外乎下面幾種走法知 A,B即建筑群中心的坐標(biāo)都已知，如下圖，建筑群個半徑r也已知。建筑群周圍就是汽車道路。rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC1汽車于建筑群與A之間取水走法1E1E2從A到取水點(diǎn)C1,再走C1E1直線切入圓道(上半圓道)，再沿圓道行至E2，最后由E2相切走直道至B。 rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC2汽車于建筑群與B之間取水走法2E1E2汽車從A直道走入E1，再走彎道E1E2，從E2切出，

4、到取水點(diǎn)C2，最后走直道至B。rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC3汽車在建筑群最南端取水走法3E1E2汽車從A到E1，走圓道下半圓道至取水點(diǎn)C3,再走圓道至E2，再切出走直線到B。根據(jù)假設(shè)，方法4優(yōu)于方法2。模型假設(shè) 不管走哪條路徑，汽車到達(dá)圓形建筑群，總是走切線到達(dá)，再走圓弧，然后再從圓形建筑群到B點(diǎn)也走切線，這樣才可能路程最短。構(gòu)建模型1、先比較取水方法1和方法3的優(yōu)劣rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC1E1E2D 如上圖所示，過B作通過圓心的直線交C1E1于D如果不相交，C1更加靠左，方法1的距離更遠(yuǎn)），連接A、D。再過B作切圓于另一點(diǎn)E3，過A作

5、切圓下方于E4。過D作切圓于E5的切線。E3E4C下面來證明方發(fā)1距離大于方法3的距離。E5方法3的距離為BE|EE|AE|s33443方法1的距離為|BE|EE|DE|DC|AC|BE|EE|EC|AC|s2211112211111333443355443355335511s|BE|EE|AE|BE|EE|EE|AE|BE|EE|DE|AD|BE|EE|DE|DC|AC|下面專門證明|EE|AE|DE|AD|5445AE5E4DpO過圓心O連接E4延長交DE5于P，顯然OE4垂直AE4，那么|AE|AP|4顯然|AP|DP|AD|于是，有|AE|DP|AD|401由OE5垂直于PE5知)OP

6、Etan(|OE|PE|55502而由弧長的計算，由OPE|OE|EE|555403當(dāng))2,0(OPE5時，有OPE)OPEtan(55根據(jù)02、03，得到|EE|PE|54504由相加，得|EE|AE|PE|DP|AD|5445|EE|AE|DE|AD|5445即052、比較方法2與方法3的優(yōu)劣rxy(x3,y3)(0,y1)A(x2,y2)BoC2汽車于建筑群與B之間取水走法2E1E2E4E5DPC方法2的行駛距離為|BC|CE|EE|AE|s2222112仿照上面的證明，有32ss綜上所述，方法3取水時，汽車行駛距離最短。3、求方法3取水的汽車行駛距離設(shè)C3OE1=, C3OE2=.o|

7、AO|=21323)yy(x232232)yy(xx|BO|cos|BO|BE|,cos|AO|AE|2106321y)(|EE|0708所以，取水汽車行駛距離為32323223223213233yy)yy()xx(y)yy(xso其中，2322323212233)yy()xx(yarcsin,)yy(xyarcsin下面針對特殊的A,B,O的取值。對假設(shè)的驗(yàn)證ABDEFO12如下圖，從A到B的直線道路AB被一半徑為r的圓圓心在o阻隔。求A到B的最短路徑pQ根據(jù)敘述，從A到B沒有直線道路，只有走折線或其它曲線。常識：兩點(diǎn)間直線距離最短。 為了敘述的方便，作如下假設(shè)1、由于圓的對稱性，設(shè)A,B位

8、于同一直線上，如下圖；2、過A與已知圓相切于E,過B與已知圓相切于F;3、設(shè)角EOF=；下面所敘述的過程為了說明走任意曲線APQB，其路程都大于走如下路程EF|BF|AE|注意到OE垂直于AE,OF垂直于BF，那么|BF|BQ|BQ|;AE|AP|AP 又假設(shè)曲線APQB的極坐標(biāo)方程為如果曲線不光滑，可以假設(shè)其逐段光滑，結(jié)果一樣）)(則曲線PQ的長度為1022d)(PQ由于任意曲線APQB的任意點(diǎn)的半徑都大于圓的半徑r，那么0022EFrrddPQ2由公式和知曲線APQB|FB|EF|AE|QBPQAP即從A到B走AE直線切入圓道EF，然后切出走直線FB.曲率限制的停車問題問題一輛汽車靜止于A

9、處，要開到與車身垂直的B處，不能倒車，沿著什么路徑行駛路程最短？AB背景知識 從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)必須轉(zhuǎn)彎，由于車身有一定長度，轉(zhuǎn)彎不能轉(zhuǎn)得太小，即路徑的曲率K不能太大或者曲率半徑r不能太小。（可以以火車轉(zhuǎn)彎的軌道來想象）dsdxdyy=f(x)1、弧長元素弧微分）dx)y(1)dy()dx(ds222計算方法如右圖1所示。2、曲率圖1 弧長元素M0MMSsC 如右下圖2，以M0為起點(diǎn)的曲線光滑曲線C.曲線上任意點(diǎn)點(diǎn)M的切線的傾斜角為,在M附近曲線上點(diǎn)M的傾斜角為+,即當(dāng)弧長變化s時，傾斜角變化了 。圖2 曲率的示意圖現(xiàn)象：如果過M點(diǎn)時，曲線“彎曲厲害，那么， s引起的轉(zhuǎn)角比較大.1曲率的定義 單

10、位弧長上切線轉(zhuǎn)角的大小。即弧段MM的平均曲率為| s|K點(diǎn)M處的曲率曲線經(jīng)過這點(diǎn)時的彎曲程度為|dsd|s|limK0s（如果此此極限存在）2若曲線C對應(yīng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)存在。且dx) y(1 yd yarctantan y23將和帶入2，得圖3 曲率示意圖23222) y(1 (| y|dx) y(1|dx) y(1 y|dsd|K4例如，直線y=ax+b在任意點(diǎn)M的曲率為K=0為什么？）例如圓上任意一點(diǎn)的曲率相同。222ryx不放設(shè)圓方程為一階及二階導(dǎo)數(shù)分別為2yxyyy,yx y 帶入2a，即B距A超過汽車的最小轉(zhuǎn)圈；2、假如|AB|2a 當(dāng)A距離B較遠(yuǎn)時，從A行駛到B的最短路徑與AB線段

11、維成一個向外凸的區(qū)域。否則，如右圖所示，汽車最短路徑為ACDEB曲線。而此區(qū)域的凸包ACEB明顯比ACDEB路徑短，矛盾。ABCDE圖5 凸包示意圖ABOCa汽車從A要行駛到B，首先要轉(zhuǎn)向，而轉(zhuǎn)向中，以最小半徑a轉(zhuǎn)動行駛距離最短，當(dāng)轉(zhuǎn)到C點(diǎn)時，沿著C切向行駛到B，|BC|是直線最短路徑的距離，注意到條件6，汽車不能在AOC內(nèi)行駛，故|AC|是汽車轉(zhuǎn)向最短路徑。 所以，凸曲線途徑ACB就是滿足條件的最短路徑。其余凸路線必須為于ACB以外，其路徑長度必定大于ACB的長度。2、|AB|2a 從A到B的距離小于汽車最小轉(zhuǎn)動圈的直徑時，汽車從A點(diǎn)開始朝同一個方向只是轉(zhuǎn)動時，始終到達(dá)不了B(最小轉(zhuǎn)動半徑?jīng)Q

12、定）。圖6 先轉(zhuǎn)再直行駛圖AOByxCabO1圖7 B在最小轉(zhuǎn)動圈內(nèi)1） 注意到汽車不能倒車，就只有兩種方案可選。（1汽車先朝y正向開到C點(diǎn)，而從C點(diǎn)到B點(diǎn)剛好在最小轉(zhuǎn)動圈上，即可沿著轉(zhuǎn)動圈行駛到B。如圖7所示。則行駛路徑長度為aaabarcsin23)ab(a|CB|AC|s22 7（2汽車從A先向左反向沿著最小轉(zhuǎn)動圈行駛至C，C與B恰好位于一個右向最小轉(zhuǎn)動圈上，再沿著次圈行駛到B即可。見圖8aaaABba圖8 汽車先左后右的轉(zhuǎn)圈到達(dá)BC根據(jù)圖示，汽車路徑的長度為a)sinabaarcsin(2a)2(|CB|AC|s其中，ab4a4bab2a4arcsos2228可以證明：s s 由此可見，當(dāng)|AB|2a時，選擇圖8行駛方式，路經(jīng)最短，路經(jīng)有曲率K=-1/a和K=1/a開始左轉(zhuǎn)向再右轉(zhuǎn)向行駛兩個圓弧構(gòu)成的路徑最優(yōu)。作業(yè)1：停車問題psALMBCDQR 如下圖，有三個半徑為a的圓，其中兩個圓的圓心相距2b=4asin,其中，0/2.第三個圓與這兩個圓相切。做圓A，B的另一側(cè)公切線CD。 若汽車的最小轉(zhuǎn)彎半徑為a，不能倒車，討論如下問題。（1車停于P處，車頭朝上，要行駛到S處，什么路徑最短？（2汽車停于L處，