必修五基本不等式的題型與易錯(cuò)點(diǎn)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高考基本不等式專題典題精講例 1（ 1）已知 0 x 1 ，求函數(shù) y=x(1-3x) 的最大值 ;3（ 2）求函數(shù) y=x+ 1 的值域 .x思路分析：（ 1）由極值定理,可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)內(nèi)外x 的系數(shù)變成互為相反數(shù)； （ 2）中，未指出x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x 0 與 x0 討論 .（ 1）解法一： 0x 1 , 1-3x 0.3 y=x(1-3x)=11 3x (1 3x)213x=1-3x ，即 x=111·3x(1- 3x) 2 =，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 .x=時(shí)，函數(shù)取得最大值.33126612解法二： 0x 1,1-x

2、0.331xx132111-x) 3x= y=x(1-3x)=3x(2=，當(dāng)且僅當(dāng)-x,即 x=時(shí)，等號(hào)成立 .31236 x= 1 時(shí)，函數(shù)取得最大值1.612（ 2）解：當(dāng) x0時(shí)，由基本不等式，得y=x+ 12 x1=2，當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)，等號(hào)成立 .xx當(dāng) x 0 時(shí)， y=x+1=- (-x)+1 .x(x)11,即 x=-1 時(shí)，等號(hào)成立 . -x 0,(-x)+ 2,當(dāng)且僅當(dāng) -x=x(x) y=x+ 1 -2.x綜上 ,可知函數(shù) y=x+ 1 的值域?yàn)?(- ,-2 2,+ ).x綠色通道： 利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件，同時(shí)要

3、注意等號(hào)成立的條件是否具備 .變式訓(xùn)練1 當(dāng) x -1時(shí)，求 f(x)=x+1的最小值 .x11思路分析： x -1x+1 0,變 x=x+1-1時(shí) x+1 與的積為常數(shù) .解： x -1,x+1 0.x1 f(x)=x+11(x1-1=1.=x+1+-121)x 1x1( x1)當(dāng)且僅當(dāng)1,即 x=0 時(shí),取得等號(hào) .x+1=x1 f(x) min=1.變式訓(xùn)練2 求函數(shù) y= x43x 23 的最小值 .x 21思路分析： 從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實(shí)上，我們可以把分母視作一個(gè)整體，用它來表示分子，原式即可展開.解：令 t=x

4、2+1，則 t 1且 x 2=t-1. y= x 43x23 = (t 1) 23(t 1) 3t 2t 1t1 1.x 21ttt t 1, t+ 12 t1=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即 t=1 時(shí)，等號(hào)成立 .ttt學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) x=0 時(shí)，函數(shù)取得最小值3.例 2 已知 x 0,y0，且 1 + 9 =1，求 x+y 的最小值 .x y思路分析： 要求 x+y 的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì).解法一：利用 “1的代換 ”, 1+9=1,xyx+y=(x+y) ·( 1+9)=10+y9x.xyxyy9xy9

5、xx 0,y 0,2x=6.xyy當(dāng)且僅當(dāng) y9x，即 y=3x 時(shí)，取等號(hào) .x y又 1 + 9 =1, x=4,y=12.x y當(dāng) x=4,y=12 時(shí)， x+y 取得最小值16.解法二：由 1+9=1，得 x=y.xyy9 x 0,y 0, y 9.x+y=yy 9999+y=y+y=y+1=(y-9)+10.y99y 9y 9 y 9,y-9 0. y 992 ( y 9)9=6.y9y9當(dāng)且僅當(dāng) y-9=9時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)x=4.當(dāng) x=4,y=12 時(shí)， x+y 取得最小值19，即 y=1216.解法三：由+ =1，得 y+9x=xy,y 9xy (x-1)(y-9)=9.x+

6、y=10+(x-1)+(y- 9) 10+2 ( x1)( y 9) =16,當(dāng)且僅當(dāng) x-1=y-9 時(shí)取得等號(hào) .又 1+9=1,xyx=4,y=12.當(dāng) x=4,y=12 時(shí)， x+y 取得最小值16.綠色通道： 本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察,學(xué)會(huì)變形，另外解法二，通過消元, 化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另外一個(gè)變量的范圍的影響 .黑色陷阱： 本題容易犯這樣的錯(cuò)誤：1 + 9 29 ,即 6 1, xy 6.xyxyxy x+y2 xy 2×6=12. x+y

7、 的最小值是 12.產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式等號(hào)成立的條件是1=9 ，不等式等號(hào)成立的條件是x=y. 在同一個(gè)題目中連續(xù)運(yùn)用了兩次基本不等xy式,但是兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立的條件不同，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論.ab=1，x+y 的最小值為18，求 a,b 的值 .變式訓(xùn)練 已知正數(shù) a,b,x,y 滿足 a+b=10,yx思路分析： 本題屬于 “1”的代換問題 .abbxaybxay解： x+y=(x+y)(y)=a+b=10+yx.xyx x,y 0,a,b 0，學(xué)習(xí)必備歡迎下載 x+y10+2ab =18，即ab =4.又 a+b=10，a2,a8,或b8b2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+

8、的最小值（ 0 x 1）.lg x思路分析： 0x1, lgx 0,4 0 不滿足各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用基本不等式，正確的處理方法是加上負(fù)號(hào)變正數(shù).lg x解： 0x1,lgx 0,40.- 40.lg xlg x (-lgx)+(-4)2(lg x)(4) =4.lg xlg x lgx+ 4-4. f(x)=3+lgx+43-4=-1.lg xlg x當(dāng)且僅當(dāng) lgx=4,即 x=1時(shí)取得等號(hào) .lg x100則有 f(x)=3+lgx+4(0 x 1) 的最小值為 -1.lg x黑色陷阱： 本題容易忽略0x1 這一個(gè)條件 .變式訓(xùn)練 1 已知 x 5 ，求函數(shù) y=4x-2

9、+1的最大值 .44x5思路分析： 求和的最值，應(yīng)湊積為定值.要注意條件x解： x 5 ,4x-5 0.41+3=- (5-4x)+1y=4x-5+34x55 4x54，則 4x-5 0.-2(54 x)1+3=-2+3=1.4x5當(dāng)且僅當(dāng)1,即 x=1 時(shí)等號(hào)成立 .5-4x=5 4x所以當(dāng) x=1 時(shí)，函數(shù)的最大值是 1.變式訓(xùn)練2 當(dāng) x 3 時(shí)，求函數(shù) y=x+83的最大值 .22x8思路分析： 本題是求兩個(gè)式子和的最大值,但是 x·并不是定值 ,也不能保證是正值 ,所以 ,必須使用一些技巧對(duì)原式變形. 可以變?yōu)?x 318+33 2x8）+3y=（2x-3 ） +2=-（3

10、2x,再求最值 .22x322解： y= 1 （2x-3 ） +83+3=-（ 32x38）+3，22x222x2當(dāng) x 3 時(shí)， 3-2x 0，2 3 2x83 2x83 2x8，即 x=- 12=4，當(dāng)且僅當(dāng)23 2x3 2 x3 2x222355于是 y-4+=，故函數(shù)有最大值.222時(shí)取等號(hào) .學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 4 如圖 3-4-1 ，動(dòng)物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.圖 3-4-1（ 1）現(xiàn)有可圍 36 m 長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？（ 2）若使每間虎籠面積為 24 m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多

11、少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最?。克悸贩治觯?設(shè)每間虎籠長為x m，寬為 y m ，則（ 1）是在 4x+6y=36 的前提下求xy 的最大值；而 (2)則是在 xy=24 的前提下來求4x+6y的最小值 .解：（1）設(shè)每間虎籠長為x m，寬為 y m，則由條件 ,知 4x+6y=36 ，即 2x+3y=18.設(shè)每間虎籠的面積為 S，則 S=xy.方法一：由于 2x+3y2 2x3 y =26xy ,2 6xy 18,得 xy27，即 S27.22當(dāng)且僅當(dāng) 2x=3y 時(shí)等號(hào)成立 .2x2 y,解得x4.5,由3 yy3.2x18,故每間虎籠長為4.5 m，寬為 3 m 時(shí)，可使面積最大

12、 .3方法二 : 由 2x+3y=18 ，得 x=9-y.2 x 0,0 y 6.33S=xy=(9-y)y=(6-y)y.2 2 0 y 6, 6-y 0.S3 (6y)y 2= 27 .222當(dāng)且僅當(dāng) 6-y=y,即 y=3 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=4.5.故每間虎籠長4.5 m,寬 3 m 時(shí)，可使面積最大 .(2)由條件知 S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l,則 l=4x+6y.方法一 : 2x+3y22x 3y =2 6xy =24, l=4x+6y=2(2x+3y) 48,當(dāng)且僅當(dāng) 2x=3y 時(shí),等號(hào)成立 .2 x3y,x6,由解得4.xy24,y故每間虎籠長 6 m，寬 4 m 時(shí)

13、，可使鋼筋網(wǎng)總長最小 .方法二 : 由 xy=24 ，得 x= 24.y961616y =48, 當(dāng)且僅當(dāng)16l=4x+6y=+6y=6(+y) 6×2=y，即 y=4 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí) x=6.yyyy故每間虎籠長6 m,寬 4 m 時(shí)，可使鋼筋總長最小.綠色通道： 在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，要注意：（1） x,y 都是正數(shù)；（2）積 xy（或 x+y ）為定值；（3） x 與 y 必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個(gè)條件的結(jié)論.變式訓(xùn)練 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 平方米的三級(jí)污水處理池( 平面圖如圖3-4-2 所示 ),由于地形

14、限制 ,長、寬都不能超過 16 米,如果池外周壁建造單價(jià)為每米400 元 ,中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米248 元 ,池底建造單價(jià)為每平方米80 元,池壁的厚度忽略不計(jì),試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬,使總造價(jià)最低 ,并求出最低造價(jià).圖 3-4-2思路分析： 在利用均值不等式求最值時(shí),必須考慮等號(hào)成立的條件,若等號(hào)不能成立,通常要用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：設(shè)污水處理池的長為x 米 ,則寬為200 米(0 x16,0 200 16), 12.5 x 16.200x200x于是總造價(jià)Q(x)=400(2x+2 ×)+248 ×2×+80×200.x

15、x=800(x+324)+16 000 800×2x324+16 000=44 800,xx當(dāng)且僅當(dāng) x=324(x0),即 x=18 時(shí)等號(hào)成立 ,而 18 12.5,16 , Q(x) 44 800.x下面研究 Q(x) 在 12.5,16上的單調(diào)性 .對(duì)任意 12.5 xx 16,則 x2-x10,x1x216 2 324.12Q(x 2)-Q(x 1)=800 (x 2-x1)+324(11x2) x1( x2x1 )( x1 x2324)=800×x1x2 0, Q(x 2)Q(x 1).Q(x) 在 12.5,16上是減函數(shù) . Q(x) Q(16)=45 000.答 :當(dāng)污水處理池的長為16 米,寬為 12.5 米時(shí) ,總造價(jià)最低 ,最低造價(jià)為 45 000 元.問題探究問題某人要買房 ,隨著樓層的升高 ,上下樓耗費(fèi)的精力增多 ,因此不滿意度升高 .當(dāng)住第 n 層樓時(shí) ,上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新 ,嘈雜音較小 ,環(huán)境較為安靜 , 因此隨著樓層的升高 , 環(huán)境不