挖掘習(xí)題歸類應(yīng)用

1、挖掘習(xí)題 歸類應(yīng)用談一道課本習(xí)題的拓展與應(yīng)用拜泉縣第三中學(xué) 董云峰課本中的習(xí)題都是經(jīng)過精心選編的典型題，具有很強(qiáng)的代表性。在平時(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)當(dāng)中，如果能對(duì)其進(jìn)行適度挖掘和整理，就會(huì)得到一些變式題組，它對(duì)學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)、提高基本技能及綜合運(yùn)用能力，往往會(huì)起到事半功倍的效果。在人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章第二節(jié)“作軸對(duì)稱圖形”一節(jié)中有這樣一道探究題：如圖1，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ 圖1 圖2這個(gè)題的解法并不難，如圖2，作A點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)A1，連結(jié)A1B交L于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為泵站，為了證明點(diǎn)

2、P即為所求，我們不妨在直線上任取一點(diǎn)P1，連結(jié)AP1、A1P1、BP1，則有AP=A1P，AP1=A1P1， AP+BP=A1P+BP=A1B，在A1P1B中，A1BA1P1+BP1 A1BAP1+BP1 即AP+BP最短，這就是幾何中的線段最短問題，這個(gè)問題中共涉及四個(gè)知識(shí)點(diǎn)：（1）軸對(duì)稱的性質(zhì)；（2）線段垂直平分線的性質(zhì)；（3）兩點(diǎn)之間線段最短；（4）三角形中兩邊之和大于第三邊。這個(gè)結(jié)論的變式和拓展，在實(shí)際應(yīng)用中及中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，而且這個(gè)問題又是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)用起來(lái)難度較大，所以在綜合復(fù)習(xí)時(shí)最好歸類處理，這樣有利于學(xué)生突破難點(diǎn)，掌握技巧?，F(xiàn)從以下幾個(gè)方面歸納如下：一、臺(tái)球中的

3、撞擊問題。如圖3所示，在一個(gè)長(zhǎng)方形的臺(tái)球桌面上，有黑、白兩球分別位于A、B兩點(diǎn)，試問：怎樣撞擊黑球A，才能使A球先碰撞臺(tái)邊CD，反彈后再擊中白球B？圖3 圖4 圖5此題可作B點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B1，連結(jié)B1A，交CD于點(diǎn)P，故擊球線路為APB。若圖3中的已知條件不變，試問：怎樣撞擊黑球A，才能使A球連續(xù)碰撞臺(tái)邊CD、CN，反彈后再擊中白球B？如圖4，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于NC的對(duì)稱點(diǎn)B1，連結(jié)A1B1，分別交CD、CN于點(diǎn)P1、P2，故擊球路線為AP1P2B。臺(tái)球撞擊問題，就是線路最短問題的一個(gè)應(yīng)用。二、飲馬問題，如圖5，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，再到河邊

4、飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助他確定這一天的最短路線。作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B1，連結(jié)A1B1，分別交MN、L于點(diǎn)P1、P2，故這一天最短的行走路線是AP1+P1P2+P2B。三、正方形中線路最短問題。如圖6已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在CD上且DM=2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求DN+MN的最小值。圖6 圖7解，連結(jié)BD，因?yàn)檎叫蜛BCD是軸對(duì)稱圖，所以B、D兩點(diǎn)關(guān)于直線AC對(duì)稱，連結(jié)BM交AC于點(diǎn)N，此時(shí)DN+NM最小，且最小值為DN+NM=BN+NM=BM= = =10。 如圖7，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，M在CD的延長(zhǎng)線上，且DM=2，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM

5、+PD的最小值是多少？此題是圖6的一個(gè)變式，解略。四、菱形中的線段最短問題，如圖8，已經(jīng)菱形ABCD中，AB=6，BAD=60°，E是AB中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是多少？圖8此題的的關(guān)鍵仍是確定P點(diǎn)位置，點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P，PB+PE=DE= = =3 。使用四制教材時(shí)，在一次縣城初中聯(lián)考中，筆者有幸成為命題教師，并將課本中的一道線路最短問題改編成一道試題。如圖9，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，AOC=30°,A、B是兩個(gè)加工廠，OA=100米，B是OA的中點(diǎn)，現(xiàn)在要在公路CD旁建一個(gè)貨倉(cāng)P，以便于公路運(yùn)輸，為使PA+PB最短：（1）試用尺規(guī)作圖確定貨倉(cāng)位置P（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求PA+PB的最小值。圖9此題脫離了四邊形，換成了兩條相交直線，但其綜合性和難度要超出正方形和菱形，還能較好地考察學(xué)生對(duì)“線段最短問題”的應(yīng)用能力。在實(shí)際教學(xué)中，教師對(duì)