相似矩陣矩陣可對角化的條件

1、整理課件12 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件一、相似矩陣及其性質一、相似矩陣及其性質二、矩陣可對角化的條件二、矩陣可對角化的條件P2/11整理課件整理課件一、相似矩陣及其性質一、相似矩陣及其性質定義定義3.3 設設A, B均為均為n階方陣階方陣, 若若 可逆矩陣可逆矩陣P, 使得使得 P 1AP = B, (3.8)則稱則稱A與與B相似相似, 記作記作A B.性質性質3.1 基本性質基本性質1) 反身性反身性;定理定理3.5 若若A B, 則則|A| = |B|;2) R(A) = R(B);3) A 1 B 1, A, B均可逆均可逆.2) 對稱性對稱性;3) 傳遞性傳遞性.P3/11

2、整理課件整理課件 PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA 若若nA 12,推論推論 3.2定理定理3.6 若若A B, 則則A與與B的特征多項式相同的特征多項式相同, 從而從而A與與B的特征值亦相同的特征值亦相同.證明證明 A B 可逆陣可逆陣P, 使得使得P 1AP = B,則則 1, 2, , n 是是A的的n個特征值個特征值.推論推論3.3 若若A B, 則則Am Bm, m Z.P4/11整理課件整理課件定理定理3.7 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似 A有有n個線性無關的個線性無關的特征向量特征向量.證明證明 “” 設設 可逆陣可逆陣P, 使使 P 1AP = 為對角陣

3、為對角陣.將將P按列分塊按列分塊: P = (p1, p2, , pn),因而有因而有于是有于是有 Api = i pi, i = 1, 2, , n.二、矩陣可對角化的條件二、矩陣可對角化的條件 nnnA p ppp pp 121212, .,2211nnppp P5/11整理課件整理課件“” 設設p1, p2, , pn為為A的的n個線性無關的特征向個線性無關的特征向量量,則有則有Api = i pi, i = 1, 2, , n.即即即即AP = P .又又P可逆可逆, 則有則有 P 1AP = 為對角陣為對角陣. nnnA p ppp pp 121212, .,2211nnppp P6

4、/11整理課件整理課件推論推論3.4 若若An的的n個特征值互不相等，則個特征值互不相等，則A與對角陣相似與對角陣相似注注1 A可對角化可對角化, 但但A未必有未必有n個相異的特征值個相異的特征值, 如如aE 可對角化可對角化, 但其只有一個但其只有一個n重特征值重特征值.注注2 若若A的特征方程有重根的特征方程有重根, 此時不一定有此時不一定有n個線性個線性無關的特征向量無關的特征向量, 從而從而A不一定可對角化不一定可對角化, 但若能但若能找到找到n個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量, 則則A仍可對角化仍可對角化.定理定理3.8 設設 i為為An的的 ni重特征值重特征值, i =

5、1, 2, , m, n1+ n2+ nm= n, 則則 An 對角矩陣對角矩陣 R( iE A) = n ni .證明證明 “” An 可逆陣可逆陣P使使P 1AP = , P7/11整理課件整理課件即即 mmmnmmnnmmnmmnnA pppppppp 1111111111111,diag(,) 即即pij, i =1, , m, j = 1, , ni 是方程組是方程組 11,()()iiniiiR ppnREAnnREA 11,1,iiiiniiiinA ppppim ,1,1,2,ijiijiApp im jn ()0,1,1,2,iijiEA pim jn ()0,1,iEA x

6、im 的解的解.P8/11整理課件整理課件則則 iinpp11,(),iiREAnn “”iEA x ()0 的基礎解系有的基礎解系有ni個線性無關的向量個線性無關的向量 1111111111111,diag(,)mmmnnnmmnnmmnmmA pppppppp iinnREA ()iiREAnn ()矛盾矛盾 11()mmiiiinnnREAn 因因A , 由定理由定理3.7知知A有有n個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量,1()niinREAn 若若 P9/11整理課件整理課件A 46035 036 1A能否對角化能否對角化? 若能對角化若能對角化, 則求出可逆矩陣則求出可逆矩陣P,

7、使使P 1AP為對角陣為對角陣.例例3.3 設設 解解EA 460350361 212故故A的全部特征值為的全部特征值為 1 = 2 = 1, 3 = 2, P10/11整理課件整理課件將將 1 = 2 = 1代入方程組代入方程組( E A)x = 0 ,解之得基礎解系解之得基礎解系 x x1 = ( 2, 1, 0)T, x x2 = (0, 0, 1)T.將將 3 = 2 代入方程組代入方程組( E A)x = 0 ,其基礎解系為其基礎解系為x x3 = (0 1, 1, 1)T.由于由于x x1, x x2, x x3線性無關線性無關, 則則A可對角化可對角化. 1232 01,1 0 1 ,0 1 1Px x x x x x 令令P AP 11 000 10 .0 02故故注注 若令若令 Px x xx x x 3122 01111001,P AP 10 00010 012.即即P的列向量和對角矩陣中特征值的位置要對應的列向量和對角矩陣中特征值的位置要對應.P11/11整理課件整理課件例例3.4 x, y為何值時為何值時, Axy0011100解解() ().EAxy 20111110與對角矩陣相似與對角矩陣相似?則則 1 = 1, 2 = 3 = 1. (),rrrxrrIAxyxyxy 3121211011 011 0100 00 01