1第一章--電力網(wǎng)絡的數(shù)學模型及求解方法

1、第1章 電力網(wǎng)絡的數(shù)學模型及求解方法 電力網(wǎng)絡的數(shù)學模型是現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。例如，正常情況下的電力潮流和優(yōu)化潮流分析、故障情況下短路電流計算以及電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析和動態(tài)穩(wěn)定性的評估，都離不開電力網(wǎng)絡的數(shù)學模型。這里所謂電力網(wǎng)絡，是指由輸電線路、電力變壓器、并(串)聯(lián)電容器等靜止元件所構(gòu)成的總體1。從電氣角度來看，無論電力網(wǎng)絡如何復雜，原則上都可以首先做出它的等值電路，然后用交流電路理論進行分析計算。本章所研究的電力網(wǎng)絡均由線性的集中參數(shù)元件組成，適用于電力系統(tǒng)工頻狀態(tài)的分析。對于電磁暫態(tài)分析問題，當涉及到高額現(xiàn)象及波過程時，需要采用分布參數(shù)的等值電路。 電力網(wǎng)絡通常是由相應的節(jié)點導納矩

2、陣或節(jié)點阻抗矩陣來描述的2,3。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中，我們需要面對成干上萬個節(jié)點及電力網(wǎng)絡所連接的電力系統(tǒng)。對電力網(wǎng)絡的描述和處理往往成為解決有關(guān)問題的關(guān)鍵4。電力網(wǎng)絡的導納矩陣具有良好的稀疏特性，可以用來高效處理電力網(wǎng)絡方程，是現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中廣泛應用的數(shù)學模型。因此。電力網(wǎng)絡節(jié)點導納矩陣及其稀疏特性是本章討論的核心內(nèi)容。節(jié)點阻抗矩陣的概念在處理電力網(wǎng)絡故障時有廣泛應用，將在1.4節(jié)中介紹。 此外，雖然關(guān)于電力網(wǎng)絡的等值電路在一般輸配電工程的教科書中都有論述，但在建立電力網(wǎng)絡數(shù)學模型時，關(guān)于變壓器和移相器的處理卻有一些特點，因此1.1節(jié)中首先介紹這方面的內(nèi)容。1.1 基礎(chǔ)知識1.1.1 節(jié)

3、點方程及回路方程通常分析交流電路有兩種方法，即節(jié)點電壓法和回路電流法3。這兩種方法的共同特點是把電路的計算歸結(jié)為一組聯(lián)立方程式的求解問題；其差別是前者采用節(jié)點方程，后者采用回路方程。目前在研究電力系統(tǒng)問題時，采用節(jié)點方程比較普遍，但有時以回路方程作為輔助工具。以下首先以簡單電力網(wǎng)絡為例，說明利用節(jié)點方程計算電力網(wǎng)絡的原理和持點。圖11表示了一個具有兩個電源和一個等值負荷的系統(tǒng)。該系統(tǒng)有5個節(jié)點和6條支路，y1-y6為各支路的導納。以地作為電壓參考點，設各節(jié)點的電壓分別為.根據(jù)基爾霍夫第一定律可以分別列出以下節(jié)點的電流方程：圖1-1 節(jié)點電壓法的例子按節(jié)點電壓整理以后，可以寫出 式(1-2)左端

4、為由各節(jié)點流出的電流，右端為向各節(jié)點注入的電流。式(1-2)可以表示為規(guī)范的形式：和式(1-2)比較，可以看出，其中：這些稱為相應各節(jié)點的自導納；這些稱為相應節(jié)點之間的互導納，其余節(jié)點之間的互導納為零。式(1-3)為電力網(wǎng)絡的節(jié)點方程，它反映了各節(jié)點電壓與注入電流之間的關(guān)系。其右端的為各節(jié)點的注入電流。在此例中，除外，其余節(jié)點的注入電流均為零。對式(1-3)進行求解，即可得到各節(jié)點的電壓。當節(jié)點電壓求出后，就不難求出各支路的電流，從而使網(wǎng)絡變量得以求解。在一般情況下，如果電力網(wǎng)絡有n個節(jié)點，則可按式(1-3)的形式列出n個節(jié)點的方程式，用矩陣的形式可以表示為1）式中：分別為節(jié)點注入電流列向量及

5、節(jié)點電壓列向量：為節(jié)點導納矩陣，其中對角元素Yii為節(jié)點i的自導納，非對角元素Yij為節(jié)點i與節(jié)點j之間的互導納。 以下介紹對形成網(wǎng)絡方程非常重要的關(guān)聯(lián)矩陣的概念。 關(guān)聯(lián)矩陣是描述電力網(wǎng)絡連接情況的矩陣。不同類型的關(guān)聯(lián)矩陣在不同程度上反映的網(wǎng)絡的接線圖形。關(guān)聯(lián)矩陣中只含有0、十1、一1等3種元素，其中不包含網(wǎng)絡各支路的具體參數(shù)。例如，圖l-1所示的簡單網(wǎng)絡有5個節(jié)點和6條支路，它的關(guān)聯(lián)矩陣為一個5行、6列的矩陣：關(guān)聯(lián)矩陣的行號與節(jié)點號相對應，列號與支路號相對應。例如第一行有3個非零元素，表示節(jié)點1與3個支路相連，這3個非零元素在第四列、第五列、第六列，表示與節(jié)點1相連的3條支路為支路4、5、6

6、(圖1-1中的y4、y5和y6)。當非零元素為-1時，表示相應支路電流的規(guī)定方向是流向節(jié)點；為十1時表示支路電流的規(guī)定方向是離開節(jié)點的。矩陣中每一列非零元素所在位置表示相應支路兩端的節(jié)點號，例如第五列的非零元素在第一行和第三行，表示支路5與節(jié)點1、3相連。第六列只有一個非零元素，在第一行，表示支路6為連在節(jié)點1的接地支路。 不難看出，由節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣可以反過來惟一地確定網(wǎng)絡的接線圖。節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣和網(wǎng)絡節(jié)點方程之間有密切的關(guān)系。設電力網(wǎng)絡有n個節(jié)點，b條支路。對每條支路都可列出如下的方程式：式中：為支路k的電流；為支路k的電壓降，方向和電流方向一致，為支路k的導納。圖12 電壓源轉(zhuǎn)化成電流源如果支

7、路為有電壓源的支路，如圖1-2(a)所示，則可先將該支路轉(zhuǎn)化為電流源的形式，見圖1-2(b)，圖中： 這樣，電流源可以看作是向電力網(wǎng)絡有關(guān)節(jié)點的注入電流，因而支路仍可應用式(1-5)形的基本方程式。把這b條支路的基木方程式集中用矩陣的形式來表示，可以寫出式中：為支路電流列向量；為支路電壓降列向量；為支路導納所組成的對角矩陣。 又基爾霍夫第一定律可知，電力網(wǎng)絡中任意節(jié)點的注入電流與各支路電流有以下關(guān)系：式中：為一系數(shù)。當支路電流流向節(jié)點i時， ；當支路電流流出節(jié)點i時，；當支路k與i點無直接聯(lián)系時，。不難看出，節(jié)點電流列向量與支路電流列向量應有以下關(guān)系： 式中A為網(wǎng)絡的節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣。設整個電力網(wǎng)

8、絡消耗的功率為S，從支路來看，可以得到式中：和表示相應向量的共軛值；·表示向量的標量積 從節(jié)點輸入總功率來看，可以得到顯然：由式（1-8）可知代入式（1-9）得由此得到節(jié)點電壓與支路電壓降列向量有以下關(guān)系：將式(1-6)及式（1-10)順次代入式(1-8)，就可以得到式中：Y為電力網(wǎng)絡的節(jié)點導納矩陣，這樣，利用節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣就可以求得電力網(wǎng)絡的節(jié)點方程式。以下仍以圖11所示的電力網(wǎng)絡為例，來說明利用回路方程計算電力網(wǎng)絡的基本原理。在利用回路電流法計算時，用阻抗表示各元件的參數(shù)比較方便，其等值電路如圖13所示。該網(wǎng)絡共有3個獨立回路，其回路電流分別為、。根據(jù)基爾霍夫第二定律，可以列出3個

9、回路的電壓方程式：圖13 用電源代替電壓源的例子并可進一步改寫成規(guī)范的形式：式中分別為3個回路的電源電勢，為3個回路的自阻抗；，分別為3個回路之間的互阻抗。當回路電勢、已知時，對式(1-14)求解，即可求出電力網(wǎng)絡的回路電流、，并可進而求出各支路的電流各節(jié)點電壓為這樣就得到了電力網(wǎng)絡的全部運行情況。 在一般情況下，如果電力網(wǎng)絡有m個獨立回路，則可按式(114)的形式列出m個方程式，用矩陣的形式可以表示為式中：分別回路電流列向量及回路電勢列向量；為回路阻抗矩陣。其中為第i個回路的自阻抗，等于該回路各支路阻抗之和；為第i回路與第j回路間的互阻抗，其數(shù)值等于i、j回路公共支路阻抗之和，其符號取決于i

10、、j回路電流假定的方向，方向一致時取正號，方向相反時取負號。 對于圖1-2來說，我們可以根據(jù)圖中的3個獨立環(huán)路寫出它的“環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣”環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣的行號與環(huán)路號相對應，列號仍與支路號相對應。例如第二行在第3列、第4列、第5列共有3個非零元素，表示環(huán)路3通過支路3、支路4和支路5。當非零元素為+1時，表示環(huán)路電流的規(guī)定方向與支路電流的規(guī)定方向一致；為1時，表示環(huán)路電流的規(guī)定方向與支路電流方向相反。應該指出，環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣不能惟一地確定網(wǎng)絡的接線固。換句話說，可以有不同的接線圖對應于同一環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣。用類似的上面關(guān)于節(jié)點關(guān)聯(lián)矩陣的方法我們也可以由環(huán)路關(guān)聯(lián)矩陣B求得電力網(wǎng)絡的回路方程式，并得到回路阻抗

11、矩陣的表達式：式中：為由支路阻抗所組成的對角矩陣。關(guān)聯(lián)矩陣的應用當然不限于以上所舉的例子，但是有了以上基本概念以后，就可以更靈活地處理網(wǎng)絡問題，這些問題將在以后有關(guān)章節(jié)中詳細論述。1.1.2 變壓器及移相器的等值電路電力網(wǎng)絡的等值電路是由輸電線路和變壓器等元件的等效電路連接而成的。交流輸電線路一般用型等值電路描述，教科書中有詳細的介紹。本節(jié)主要討論變壓器和移相器的等值電路，特別是關(guān)于其非標準變比的處理方法。出于靈活交流輸電系統(tǒng)(FACTS)的逐步應用，電力網(wǎng)絡將會包含愈來愈多的FACTS元件。關(guān)于FACTS元件的等值電路問題本節(jié)暫不涉及，將在后面有關(guān)章節(jié)中討論。當將變壓器勵磁回路忽略或作為負荷

12、或阻抗單獨處理時，一個變壓器的其他性能可以用它的漏抗串聯(lián)一個無損耗理想變壓器來模擬1)，如圖14(a)所示。不難看出，圖中所示的電流及電壓存在如下關(guān)系：圖1-4 變壓器的等值電路由上式解、可得或者寫成根據(jù)式(1-19)即可得到圖1-4(b)所示的等值電路。如果都用相應的導納來表示，則可得到圖1-4(c)所示的等值電路，圖中：應該持別指山，在圖1-4(a)的電路中漏抗是放在變比為1的一側(cè)。當漏抗是放在變比為K的一側(cè)時，可以用下面關(guān)系：即可將放在變比為1的一側(cè)，從而應用圖1-4中的等值電路。以上介紹了雙繞組變壓器的等值電路。對于三繞織變壓器，可以按同樣的原理用星形或三角形電路來模擬。例如可以用圖1

13、5所示的電路來模擬三繞組變壓器，這樣就把三繞組變壓器的等值電路問題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€雙繞組變壓器的等值電路問題。 掌握了變壓器等值電路以后，就不難制定出多級電壓的電力網(wǎng)絡的等值電路。例如，對圖1-6（a）所示的電力網(wǎng)絡，當變壓器、的漏抗如已歸算到側(cè)及側(cè)時，可以用圖1-6（c）或圖1-6（c）來模擬，不難證明，這兩種模型最終的等值電路是完全相同的，如圖1-6(d)所示。 在進行電力系統(tǒng)運行情況分析時，往往采用標幺值計算。這時電力網(wǎng)絡等值電路戶所有參數(shù)都應該用標么值來表示。例如在圖1-6中，設側(cè)的基準電壓為Vji、側(cè)的基準電壓為Vj2，側(cè)的基準電壓為Vj4，則變壓器、的基準變比(或叫標準變比)分別為則變壓

14、器、的變比的標幺值(也叫非標準變比)應為因此，當變壓器的等值電路采用標幺值時，應將上式中的及作為變壓器的變比。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)中，特別是在電力市場環(huán)境下，電力潮流往往需要人為控制。為此，移相器在電力網(wǎng)絡中的應用日益普遍。眾所周知，變壓器只改變其兩側(cè)的電壓大小，其變比是一個實數(shù)；而移相器還改變其兩側(cè)電壓的相位，因此其變比是一個復數(shù)。當將移相器勵磁回路忽略或作為負荷或阻抗單獨處理時，一個移相器的其他性能可以用它的漏抗串聯(lián)一個無損耗理想變壓器來模擬，只是其變比是個復數(shù)，如圖1-7所示。由圖1-7可以得圖1-6 多級電壓電力網(wǎng)絡的等值電路圖1-7 移相器的等值電路到以下方程：顯然，有以下關(guān)系：現(xiàn)在需要知

15、道和的關(guān)系，為此要用功率守恒原理，式中、分別為、的共軛值，從上式得到式中：式(1-26)即為移相器的數(shù)學模型。容易驗證，當變比實數(shù)時，式(1-26)與式(1-18)一致，說明變壓器只是移相器的特例。但是，由于移相器的變比為復數(shù)，因此，移相器沒有相應的等值電路，而且含有移相器的電力網(wǎng)絡的導納矩陣是不對稱的，這一點要特別注意。1.2 節(jié)點導納矩陣1.2.1 節(jié)點導納舉證的基本概念 如前所述，在現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中，多采用式(13)形式的節(jié)點方程式，其階數(shù)等于電力網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)n。可將它展開寫成一般的形式該方程式系數(shù)所構(gòu)成的矩陣即節(jié)點導納矩陣它反映了電力網(wǎng)絡的參數(shù)及接線情況，因此導納矩陣可以看成是對電力

16、網(wǎng)絡電氣特性的一種數(shù)學抽象4。由導納矩陣所構(gòu)成的節(jié)點方程式是電力網(wǎng)絡廣泛應用的一種數(shù)學模型。當電力網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)為n時，描述它的導納短陣是n×n階方陣?，F(xiàn)在我們討論其中各元素的物理意義。如果在節(jié)點i加一單位電壓，而把其余節(jié)點全部接地，即令則由節(jié)點方程式(1-27)可知，在這種情況下： 由式(1-29)可以看出導納短陣見式(1-28)第i列元素的物理意義。很明顯，導納矩陣中第i列對角元素，即節(jié)點i的自導納，在數(shù)值上等于節(jié)點i加單位電壓，其他節(jié)點都接地時，節(jié)點i向電力網(wǎng)絡注入的電流。導納矩陣中第i列非對角元素，即節(jié)點i與節(jié)點j間的互導納，在數(shù)值上等于節(jié)點i單位電壓，其他節(jié)點都接地時，節(jié)點j向

17、電力網(wǎng)絡注入的電流。 以下我們進步用圖1-8(a)所示的簡單電力網(wǎng)絡說明導納矩陣各元素的具體意義。這個電力網(wǎng)絡有3個節(jié)點，因此導納矩陣為三階方陣圖1-8 簡單電力網(wǎng)絡導納矩陣的形成 首先討論第一列元素、。根據(jù)上面的論述，這種情況下應在節(jié)點1加單位電壓，將節(jié)點2及節(jié)點3接地，如固1-8(b)所示。不難看出：同樣，為了求得導納矩陣的第二列元素，應給節(jié)條2加單位電壓，而將節(jié)點1及節(jié)點3接地，如圖1-8(c)所示。在這種情況下：為了得到導納矩陣的第三列元素，應給節(jié)點3加單位電壓，將節(jié)點1及節(jié)點2接地如圖1-8(d)所示。在這種情況下：因此，圖1-8(a)所示簡單電力網(wǎng)絡的導納矩陣應為如果把圖1-8(a

18、)的節(jié)點編號改變一下，例如將節(jié)點1與節(jié)點2互換，如圖1-8(e)所示，按照以上的原則，可以求得這時的導納矩陣應為 由此可見，導納矩陣的形式發(fā)生了變化，而其中各元素仍和式(1-30)導納矩陣各元素一一對應。事實上，將式(1-30)所示導納矩陣中第一行與第二行交換，第一列與第二列交換即得到上式的導納矩陣。導納矩陣行列交換相應于節(jié)點方程式的順序及變量的順序交換，并不影響方程式的解。岡此從電力網(wǎng)絡計貧來說，節(jié)點編號的順序可以是任意的 通過上面的討論，可以看出導納矩陣有以下特點： (1)當不含移相器時，電力網(wǎng)絡的導納矩陣為對稱矩陣。由式(1-30)可知在一般情況下，由網(wǎng)絡的互易特性容易看出：因此，導納矩

19、陣為對稱矩陣。對含移相器的情況將在后面介紹。 (2)導納矩陣為稀疏矩陣。由以上的討論可知，當電力網(wǎng)絡中節(jié)點i與節(jié)點j不直接相連時，導納矩陣中元素及，應為零元素。例如在圖1-8(a)中，節(jié)點2與節(jié)點3不直接相連，因此在其導納矩陣中及都是零元素。一般地說，導納矩陣每行非對角元素中非零元素的個數(shù)與相應節(jié)點的出線數(shù)相等。通常，每個節(jié)點的出線數(shù)為24條。因而導納矩陣中每行非對角元素中平均僅有24個非零元素，其余的非對角元素均為零元素。所以導納矩陣中的零元素非常多，而且電力網(wǎng)絡規(guī)模愈大，這種現(xiàn)象愈顯著。例如有兩個電力網(wǎng)絡，節(jié)點數(shù)分別為10和1000，如果每個節(jié)點平均有3條出線，則前者導納矩陣的非零元素數(shù)為

20、40，占矩陣總元素數(shù)()的40，面后者非零元素數(shù)4000個，僅占矩陣總元素數(shù)的0.4。 導納矩陣的對稱性和稀疏性對于應用計算機解算電力系統(tǒng)問題有很大的影響。如果能充分利用這兩個持點，就會大大提高計算的速度并節(jié)約內(nèi)存。關(guān)于稀疏對稱導納矩陣的應用，還將在以后有關(guān)章節(jié)中介紹。1.2.2 節(jié)點導納矩陣的形成與修改 本節(jié)將討論二部分內(nèi)容：導納矩陣的形成、特殊元件的處理與導納矩陣修改。 首先討論導納矩階的形成。當電力網(wǎng)絡只包含輸電線路時，導納矩陣的形成可以歸納為以下幾點： (1)導納矩陣的階數(shù)等于電力網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)。 (2)導納矩陣各行非對角元素中非零元素的個數(shù)等于對應節(jié)點所連的不接地支路數(shù)。(3)導納矩陣

21、各對角元素，即各節(jié)點的自導納等于相應節(jié)點所連支路的導納之和式中：為節(jié)點i與節(jié)點j間的支路阻抗的倒數(shù)；符號“”表示號后只包括與節(jié)點i直接相連的節(jié)點，當節(jié)點i有接地支路時，還應包括j=0的情況。例如在圖1-8中，節(jié)點1的自導納應為節(jié)點2的自導納應為(4)導納矩陣非對角元素等于節(jié)點i與節(jié)點j間支路的導納并取負號：例如圖1-8(a)中等等。 按照以上原則，無論電力網(wǎng)絡接線如何復雜，都可以根據(jù)給定的輸電線路參數(shù)和接線拓撲，直接求出導納矩陣。 以下討論電力網(wǎng)絡中包含變壓器、移相器時，導納矩陣的形成方法。 當支路i、j為變壓器時，從原理上來說，先把變壓器支路用圖1-4所示型等值電路代替，然后按以上原則形成導

22、納矩陣，并無任何困難。但在實際應用程序中，往往直接計算變壓器支路對導納矩陣的影響。當節(jié)點i、j之間為變壓器支路時，如果采用圖1-4(a)所示變壓器模擬電路，則可以根據(jù)圖1-4(c)求得該支路對導納矩陣的影響： (1)增加非零非對角元素(2)改變節(jié)點i的自導納，其改變量為(3)改變節(jié)點j的自導納，其改變量為當支路i、j為移相器時，采用圖1-7的等值電路，則應對導納矩陣做以下修正：(1)增加非零非對角元素(2)改變節(jié)點i的自導納，其改變量為(3)改變節(jié)點j的自導納，其改變量為從式(1-36)、式(1-37)可以看出，由于導納矩陣不再是對稱矩陣。但是，該矩陣的結(jié)構(gòu)是對稱的。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析中，往往

23、需要研究不同接線方式情況下的運行狀態(tài)，例如某臺變壓器或某條輸電線路的投入或切除，對某些元件的參數(shù)進行修改等。由于改變一條支路的開合狀態(tài)只影響該支路兩端節(jié)點的自導納及其互導納，因此在這種情況下不必重新形成導納矩陣，僅僅需要在原有導納矩陣的基礎(chǔ)上進行必要的修改就可以得到所要求的導納矩陣。下面分幾種情況進行介紹。1)從原有網(wǎng)絡引出一條新的支路，同時增加一個新的節(jié)點，見圖1-9(a)。圖1-9 電力網(wǎng)絡接線變更示意圖設i為原有網(wǎng)絡N中任意一節(jié)點，j為新增加節(jié)點，為新增加的支路阻抗。由于增加了一個新的節(jié)點，因而導納矩陣相應增加一階。因為j點只有一條支路，所以并增加非對角元素在這種情況下，原有網(wǎng)絡i節(jié)點的

24、自導納應有如下的增量：(2)在原有節(jié)點i和j間增加一條支路，見圖1-9(b)。 在這種情況下，雖增加了支路，但并不增加節(jié)點數(shù)，導納短陣的階數(shù)不變。但是，與節(jié)點i、j有關(guān)的元素應作以下修正：(3)在原有網(wǎng)絡節(jié)點i和j間切除一條阻抗為的支路。在這種情況下，相當于在節(jié)點i和j間追加一條阻抗為的支路，見圖1-9(c)。因此導納矩陣有關(guān)元素應作以下修改：(4)原有網(wǎng)絡節(jié)點i和j之間支路阻抗由改變?yōu)椤?在這種情況下，可以看作首先在節(jié)點i和j間切除阻抗為的支路，然后再在節(jié)點i和j間追加阻抗為的支路，如圖1-9(d)所示。根據(jù)式(1-40)及式(1-41)，讀者不難求出在此情況下導納矩陣有關(guān)元素的修正量。 應

25、該指出，以上增加或切除的支路都是當作只有阻抗的線路來處理的，如果增加或切除的支路是變壓器或移相器，則以上有關(guān)導納矩陣元素的修改應按式(1-33)(1-35)或式(136)(139)進行。 【例1-1】在圖1-10中表示了一個電力網(wǎng)絡的等值電路。圖中給出了支路阻抗和對地導納的標么值。其中節(jié)點2和4間、節(jié)點3和5間為變壓器支路，變壓器漏抗和變比如圖所示。試求其導納矩陣?！窘狻?根據(jù)本節(jié)所述的方法，可以按節(jié)點順序逐行逐列地求出導納矩陣的有關(guān)元素。圖1-10 系統(tǒng)等值電路圖圖1-10中接地支路(并聯(lián)支路)標出的是導納值，節(jié)點間支路(串聯(lián)支路)標出的是阻抗值。由式(1-31)可以求出節(jié)點1的自導納為與節(jié)

26、點1有關(guān)的互導納可根據(jù)式(1-32)求出：支路24為變壓器支路，采用圖1-4(a)的模擬電路，由式(1-31)及式(1-35)可以求出節(jié)點2的自導納為與節(jié)點2有關(guān)的互導納為根據(jù)式(1-33)：用類似的方法可以求出導納矩陣的其他元素。最后得到導納矩陣為矩陣中末標數(shù)字的元素為零元素1.3 電力網(wǎng)絡方程求解方法1.3.1 高斯消去法 目前，電力網(wǎng)絡方程主要用高斯消去法求解5,6。計算機在電力系統(tǒng)應用的初期，曾經(jīng)因為內(nèi)存容量的限制采用過迭代法法求解電力網(wǎng)絡的線性方程組。迭代法的致命缺點是存在收斂性問題。因此，自從稀疏技術(shù)成功地在電力系統(tǒng)應用之后7,8，迭代法幾乎完全為高斯消去法所代替。作為基礎(chǔ)，本節(jié)介

27、紹高斯消去法，以后將陸續(xù)介紹稀疏求解技術(shù)和稀疏向量技術(shù)。 高斯消去法求解線性方程組由消去運算和回代運算兩部分組成。消去運算又叫前代運算，可以按行進行，也可按列進行。同樣，回代運算可以按行進行，也可按列進行。通常采用“消去運算按列進行，回代運算按行進行”的方式較多。以下就介紹這種算法，其他算法不難觸類旁通。 設有n階線性方程組。其中矩陣A和向量B的元素可以是實數(shù)或復數(shù)。例如電力網(wǎng)絡的節(jié)點方程式(1-3)就是復數(shù)型的，而第2章中牛頓法潮流修正方程式就是實數(shù)型的。由于消去運算只對A和B進行，因此，為了算法敘述方便，把B作為第n+1列附在A之后，形成階增廣矩陣：為了方便討論，上式中用替代了 首先討論按

28、列消去過程，它的運算步驟如下： 第一步，消去第一列。首先，把增廣矩陣的第一行規(guī)格化為式中：然后，用式(1-42)所表示的行消去的第一列對角線以下各元素，結(jié)果使的第2n行其他元素化為式中：上標(1)表示該元素第一次運算的結(jié)果。這時矩陣變?yōu)椋号c之對應的方程組是，它與同解。矩陣未標出的元素為零，下同。 第二步，消去第二列。 首先，把增廣短陣的第二行規(guī)格化為式中：然后，用式(1-43)所表示的行消去的第二列對角線以下各元素結(jié)果使的第3n行其他元素化為式中：上標(2)表示該元素第二次運算的結(jié)果。這時矩陣變?yōu)椋阂话愕?，在消去第k列時要做以下的運算：經(jīng)過對矩陣的n次消去運算，即k從1依次取到n按式(1-44

29、)、式(1-45)運算，使矩陣A對角線以下的元素全部化為零，從而得到增廣矩陣與之對應的方程組是即與原方程組同解。 現(xiàn)在來討論按行回代過程。對于方程組(1-47)，回代運算自下而上進行。首先由第n方程可知然后將代入第n一1個方程，解出再將和代入第n-2個方程，可解出。一般地，把已求出的代入第i個方程，即可求出式(1-48)就是按行回代的一般公式?！纠?2】 利用高斯消去法求解下列線性方程組【解】 由原方程組可寫出其增廣矩陣首先按式(1-44)對第一行規(guī)格化，即用其對角元素1除第一行各元素，得到然后按式（1-45）消去第一列，得到 現(xiàn)在對第二列進行消去運算。先按式（1-44）對第二行規(guī)格化，即用其

30、對角元素-3除第二行各元素：然后按式（1-45）消去第二列，得到 現(xiàn)在對第三列進行消去運算。先按式（1-44）對第三行規(guī)格化，即用其對角元素4/3除第三行個元素：然后按式（1-45）消去第三列，得到最后，按式（1-44）對第四行規(guī)格化，即用其對角元素15/12除第四行元素：這樣，經(jīng)消去運算后，我們得到原方程組的同解方程組為按式（1-48）對以上同解方程組進行回代運算，即可逐個求出：1.3.2 因子表和三角分解在實際計算中，經(jīng)常遇到這種情況：對于方程組需要多次求解，每次僅改變其常數(shù)項B，而系數(shù)矩陣A是不變的。這時，為了提高計算速度，可以利用因子表求解。 因子表可以理解為高斯消去法解線性方程組的過

31、程中對常數(shù)項B全部運算的一種記錄表格。如前所述，高斯消去法分為消去過程和回代過程?；卮^程的運算由對系數(shù)矩陣進行消去運算后得到的上三角矩陣元素確定，見式(1-46)。為了對常數(shù)項進行消去運算(又叫前代運算)，還必須記錄消去過程運算所需要的運算因子。消去過程中的運算又分為規(guī)格化運算和消去運算，以按列消去過程為例，由式(1-44)、式(1-45)可知，消去過程中對常數(shù)項B中的第i個元素 (即)的運算包括將上式中的運算因子及逐行放在下三角部分，和式(1-46)的上三角矩陣元素合在一起，就得到了因子表其中下三角元素用來對常數(shù)項B進行消去(前代)運算，上三角矩陣元素用來進行消去回代運算。因子表也可以表示

32、為如下形式：式中： 不難看出，因子表中下三角部分的元素就是系數(shù)矩陣在消去過程中曾用以進行運算的元素，因此只要把它們保留在原來的位置，并把對角元素取倒數(shù)就可以得到因子表的下三角部分。而因子表中上三角部分的元素就是系數(shù)矩陣在消去過程完成后的結(jié)果。 對于方程組，需要多次求解，每次僅改變其常數(shù)項B而系數(shù)矩陣A是不變的情況，應首先對其系數(shù)矩陣A進行消去運算，形成因子表。有了因子表，就可以對不同的常數(shù)項B求解。這時，可以直接應用因子表中的元素，用下面的公式代替式(1-49)、式(1-50)，進行消去運算：用以下公式代替式(1-48)進行回代運算：【例1-3】 求出例1-2中線性方程組系數(shù)矩陣A的因子表，并

33、用該因子表對下列常數(shù)項求解：【解】對照例1-2的求解過程，即可寫出系數(shù)矩陣A的因子表為上面因子表下三角部分的元素就是該例的系數(shù)矩陣消去過程中畫括弧的數(shù)字(對角元素用倒數(shù)替代)；而因子表上三角部分就是該例中系數(shù)矩陣消去過程最終的上三角部分。 以下用此因子表下三角部分的元素對B按列消去。首先根據(jù)式(1-52)對規(guī)格化，即用除，得出然后用因子表下三角部分第一列元素，按照式(1-53)分別對、運算：以上完成了第一列的消去運算，現(xiàn)在再根據(jù)式(1-52)對規(guī)格化，即用除，得出然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式(1-53)分別對、運算；以上完成了第二列的消去運算，現(xiàn)在再根據(jù)式(1-52)對規(guī)格化，即用

34、除，得出然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式(1-53)分別對運算：以上完成了第三列的消去運算，最后，再根據(jù)式(1-52)對規(guī)格化，即用除，得出以上完成了全部消去運算，對照因子表，至此我們相當于得到了如下的同解方程式： 按照式（1-54），利用因子表的上三角部分即可逐個求得各變量的值：應該指出，式（1-50）所示的因子表不僅可以用高斯消去法求出，而且可以用三角分解的方法求出。不難驗證，上例中的因子表與其系數(shù)矩陣A有如下關(guān)系：式中：或者還可把進一步分解為在上例中，只要用中各列對角元素除相應列的各非對角元素，即可得到而；的對角元素則構(gòu)成D，即這樣，原系數(shù)矩陣A一般可以表示為由上例中可以看出這一

35、現(xiàn)象并非偶然，可以證明當系數(shù)矩陣A為對稱矩陣時，上式必然成立。以下推導矩陣三角分解的遞推公式。將式(1-55)展開：比較兩邊左上角第一個元素，可得比較兩邊第二行第一個元素和第二列前兩個元素，可知所以，可以遞推出這樣，我們有如下的分解式：依此類推，如果已經(jīng)求出了的前k-1行和U的前k-1列元素，則有上式右邊兩個矩陣中的所有元素均已求出。逐個比較式兩邊第k行前k-1元素和第k列前k個元素，即可求得的第k行和U的第k列元素：這是一個遞推公式，當k從1依次取到n時，可用它求得三角分解式。進一步再用中各列對角元素除相應列的各非對角元素，即可得到L：而的對角元素則構(gòu)成D，即。這樣，我們就可將系數(shù)矩陣分解為

36、的形式。特別值得注意的是，當系數(shù)矩陣A對稱時，式(1-56)成立。1.3.3 稀疏技術(shù)由1.3.2節(jié)討論可知，電力網(wǎng)絡方程組求解的過程實際上就是順序用因子表中的元素對常數(shù)項向量運算的過程。例1-3的因子表中共有16個元素：4個對角元素，6個下三角元素和6個上三角元素。因此，其求解過程共有16次乘加運算。由式(1-53)、式(1-54)可知，如果因子表中的某些元素為零，則相應的乘加運算可以省略。所謂稀疏技術(shù)就是充分利用電力網(wǎng)絡方程組的稀疏特性，盡量減少不必要的計算以提高求解的效率。下面用例題說明。 【例14】 試用稀疏技術(shù)求解例1-2的線性方程組?！窘狻?為了充分利用方程組的稀疏特性，對于例12

37、的線性方程組做如下的變換：則原方程組變?yōu)槲覀儗⒁蜃颖淼姆椒ń庠摲匠探M。其系數(shù)矩陣為 首先對第一行規(guī)格化及對第一列消去。在這里僅有兩次運算：一次規(guī)格化運算和一次消去運算，上式帶括弧數(shù)字就是這兩次運算的計算因子。對于4×4的系數(shù)矩陣而言，消去第一列本應包括一次規(guī)格化運算和三次消去運算，但由于上式中和均為零，故相應的運算即可免除。這樣得到 然后對第二行規(guī)格化及對第二列消去。在這里也僅有兩次運算；一次規(guī)格化運算和一次消去運算，上式帶括弧數(shù)字就是這兩次運算的計算因子。對于4×4的系數(shù)矩陣而言，消去第二列本應包括一次規(guī)格化運算和二次消去運算，但由于上式中為零，故相應的運算即可免除。這樣

38、得到對第三行規(guī)格化及對第二列消去也有兩次運算：一次規(guī)格化運算和一次消去運算，上式帶括弧數(shù)字就是這兩次運算的計算因子。消去后得到因此，我們可以寫出其系數(shù)矩陣的因子表應當指出，以上因子表也可以用三角分解公式(1-60)、(1-61)求得，讀者可自行驗證。亡述因子表含有6個零元素，因此求解時將減少6次乘加運算。以下我們對常數(shù)向量求解：首先，用因子表下三角部分的元素對B接列消去。根據(jù)式(1-52)對規(guī)格化，即用除，得出然后用因子表上三角部分第一列元素，按照式(1-53)分別對、運算。由于、均為零，故有這兩步計算完全可以免去，而只需做以下運算：以上完成了第一列的消去運算，現(xiàn)在再根據(jù)式(1-52)對規(guī)格化

39、，即用除，得出然后用因子表下三角部分第二列元素，按照式(1-53)分別對運算：以上完成了第三列的消去運算，最后，再根據(jù)式(1-52)對規(guī)格化，即用除，得出以上完成了全部消去運算，對照因子表，至此我們相當于得到了如下的同解方程組：按照式(1-54)，利用因子表的上三角部分即可逐個求得各變量的值。由于、為零，故回代過程可免除三次乘加運算：將以上解代入式(1-63)中即可得到原方程組(1-62)的解。 從這個例題可以看出，當線性方程組的稀疏特性得到充分利用時，不僅在形成因子表過程中減少了計算量，更重要的是減少了求解方程組時前代和回代的計算量。因子表中有多少零元素，就減少多少乘加的運算量。因此，在因子

40、表中保持盡可能多的零元素數(shù)是提高算法效率的關(guān)鍵9。1.3.4 稀疏向量法1.3.3節(jié)討論的稀疏技術(shù)目前已被用于解決幾乎所有大型電力網(wǎng)絡的問題。以下將介紹可進一步提高計算速度的稀疏向量法10。 稀疏向量法主要用來解決線性代數(shù)方程組的右端向量僅有少量非零元素，或我們只對待求向量中個別無素感興趣的情況。稀疏向量法很簡單，但是節(jié)省的計算量和內(nèi)存旦卻非?？捎^，可以避免所有不必要的計算。因此，在電力潮流分析的補償法、短路故障分析、最優(yōu)潮流以及靜態(tài)安全分析等問題中有廣泛的應用。 原則上講，稀疏向量法可用于滿矩陣或稀疏矩陣的線性方程組。本節(jié)主要介紹在稀疏矩陣線性方程組中的稀疏向量法。如前所述，在電力網(wǎng)絡不包含

41、移相器時，其導納矩陣Y是對稱的，當存在有移相器時，稀疏導納矩陣只在結(jié)構(gòu)上是對稱的。節(jié)點電壓方程為為了討論的普遍性，假定Y是在結(jié)構(gòu)上對稱的n階方陣。如前所述，可以經(jīng)過三角分解表示為式中：L和U分別為下三角陣和上三角陣；D為對角矩陣。利用以上表達方式求解方程組是很方便的。例如，可以將方程組寫成把上式分解為依次解式(1-68)(1-70)就可求出V。當Y陣對稱時，L和U互為轉(zhuǎn)置陣。當Y陣在結(jié)構(gòu)上對稱時，L和U在結(jié)構(gòu)上也是對稱的。現(xiàn)在可以把求解的消去過程表示為回代過程表示為這些運算本來可以按行進行，也可以按列進行。但是在用稀疏向量法時消去過程式(1-71)必須按列進行，而回代過程式(1-72)必須按行

42、進行才能達到高效運算的目的。對L和U可以有各種存儲的方法。但是在用稀疏向量法時，存儲的方案必須滿足可以直接找山L陣各列中和U陣各行中最小足碼的非零非對角元素。其實這也不是什么難事。在很多情況下，獨立向量J是稀疏的，但待求的y一般并無稀疏持性。在后文中，稀疏向量可以指稀疏向量J，或者指向量y中我們感興趣的幾個元素。如果向量I是稀疏的，則在消去過程中只用L中某幾列元素，稱之為快速消去過程，以下簡寫為FF。如果只需求向量V的幾個元素，則在回代過程中只用U中某幾行元素，稱之為快速回代過程，以下簡寫為FB。【例15】 求解如下線性方程織【解】 此線性方程組的系數(shù)矩陣和例1-4中的式(1-64)一樣，只是

43、右端常數(shù)項是稀疏向量：因此，此線件方程組的因子表也和式（1-64)相同：將此因子表分解，容易得出首光討論消去過程。由消去公式(1-53)可知，當為零時，所有與有關(guān)的運算可以避免。換句話說，下三角陣中第k列元素可以忽略不用。在本例中，為零，故L中第一列元素可以跳過。因此，對該稀疏向量來說，消去過程應從第二列開始進行。消去過程同樣包括規(guī)格化運算和消去運算。消去后，有端常數(shù)項的稀疏向量變?yōu)槿缓筮M行第三列的消去。由于的第三個元素為零，故可以跳過L中第三列元素，直接進入第四列的消去過程。這時只需用對進行規(guī)格化運算，從而得到消去過程結(jié)束后的常數(shù)項向量：以下討論回代過程。如前所述，在稀疏向量法中回代過程只有

44、按行進行才能見效。如果在解向量V我們只V3感興趣，則上三角陣U中第一行和第二行元素有關(guān)運算完全可以免去。如果在解向量V中我們只對V2感興趣，則上三角陣U中第一行元素有關(guān)運算完全可以免去；此外，由于，故和U中第三行元素有關(guān)運算完全也可以免大。因此，只用上三角陣U中第二行元素0 1 0 2進行回代即可，即 由以上例題可以看出，稀疏向量法的關(guān)鍵在于找出FF和FB所需要進行運算的上U的有效子集。FF的有效列子集與L和I的稀疏結(jié)構(gòu)有關(guān)，F(xiàn)B的有效行子集與U和V的稀疏結(jié)構(gòu)有關(guān)。 為了尋求FF有效列子集和提高稀疏矩陣運算的效率，可根據(jù)以上例題歸納出如下的簡單算法： (1)對獨立向量I清零，將非零元素置入，形

45、成初始I。 (2)在I中向下搜索非零元素，將找到的最小非零元素的點號置入k。 (3)用L陣的第k列對I進行消去過程運算。 (4)當k=n時，終止。否則轉(zhuǎn)到第(2)步。 這種算法保證在FF中只進行必要的非零元素的運算，但是該算法在清零和搜索上卻做了大量不必要的運算。對FB有和上述類似的算法，但浪費的計算量可能更大。 為了避免上述計算量的浪費，關(guān)鍵是預先高效地找出因子化路徑。一個稀疏向量的因子化路徑是進行FF時用到L的列數(shù)的順序表。在線性方程求解過程中，對FF而言將采用前向順序，對FB則采用逆向順序。 當向量I中只有一個非零元素時，稱為單元素向量，設其點號為k，可用以下算法求得其相應的因子化路徑：

46、 (1)令k為路徑中第一個點號。 (2)尋找L陣的k列中(或U陣的k行中)最小的非零元素的點號，將此點號置入k,并列入路徑中。 (3)如果k=n，結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到第(2)步。 單元素向量的因子化路徑可由因子表指針數(shù)組直接確定。一般稀疏向量為單元素向量之和，其路徑為各單元素向量路徑的并集。對于稀疏系統(tǒng)而言，任何稀疏向量均有一個相應的因子化路徑。 【例1-6】 試求圖1-11所示電力網(wǎng)絡的因子化路徑?！窘狻?圖1-11所示電力網(wǎng)絡的導納矩陣的結(jié)構(gòu)如圖1-12中黑點所示(圖中只表示了下三角部分)。由于該電力網(wǎng)絡共有21條支路，故共有21個黑點所代表的非對角元素。三角分解以后增加了10個注入元素(圖中用

47、圓圈表示)。故因子表中共有31個元素。圖1-11 一個電力網(wǎng)絡的接線圖由因子表的結(jié)構(gòu)很容易確定單元素向量的因子化路徑。例如：k1時，因子化路徑為：k5時，因子化路徑為： k6時，因子化路徑為：等等。當稀疏向量為非單元素向量時，其路徑為各單元素向量因子化路徑的并集。對如下稀疏向量：其因子化路徑為上述k1時及k5時因子化路徑的并集： 為了找出所有因子化路徑，對圖1-12因子表結(jié)構(gòu)可列出表1-1所示鏈接表。圖1-12 一個電力網(wǎng)絡的因子表的結(jié)構(gòu)圖表1-1 因子表結(jié)構(gòu)的連接表圖1-13 全部因子化路徑圖由表1-1的因子表結(jié)構(gòu)鏈接表可以得到因子化路徑，如圖1-13所示。利用此因子化路徑就可以高效處理稀疏

48、向量有關(guān)的問題。例如，想知道當在節(jié)點5注入電流I5(其他節(jié)點注入電流為零)時，節(jié)點1的電壓是多少。為此，只需按以下因子路徑進行消去：按以下因子路徑進行間代：即可。以上求解過程只涉及5列上三角元素和7行上三角元素，計算效率明顯提高。對于稀疏向量法來說，由于上述因子路徑已預先求出，可直接應用，故省去了無謂的搜索和清零運算。1.3.5 電力網(wǎng)絡節(jié)點編號優(yōu)化目前電力系統(tǒng)計算程序中在解電力網(wǎng)絡節(jié)點方程時，大多采用1.3節(jié)中介紹的直接解法。為了對網(wǎng)絡方程反復求解，往往首先對導納矩陣進行三角分解，然后就可以來對不同的右端常數(shù)項進行前代及回代運算，從而得到網(wǎng)絡方程的解。 如前所述，導納矩陣是零元素很多的稀疏矩

49、陣，分解后得到的三角陣一般也是稀疏矩陣。通常，導納矩陣非零元素的分布和分解后的三角陣是不同的，因為消去過程或分解過程中會產(chǎn)生新的非零元素，即注入元素。消去過程中產(chǎn)生注入元素的原因，可以直觀地用電路的星網(wǎng)變換來解釋。如圖1-14所示，在消去節(jié)點1以前的網(wǎng)絡中，由于節(jié)點l、i及節(jié)點l、j間無直接聯(lián)系，故可斷定，在導納矩陣中及。為零元素，為非零元素。圖1-14 高斯消去法與星網(wǎng)變換的關(guān)系當用高斯消去法消去導納矩陣的第列時，可以證明2，相當于用星網(wǎng)變換的原理消去節(jié)點1。消去節(jié)點1之后電力網(wǎng)絡將要在節(jié)點i、j，節(jié)點i、l及節(jié)點l、j之間出現(xiàn)新的支路。因此，在新網(wǎng)絡的導納矩陣中，Yil、Ylj、Yij都是

50、非零元素，這樣在消去第一列的過程中就出現(xiàn)了兩個注入元素。一般地講，當消去節(jié)點k時，以k為中心的星形網(wǎng)絡將變?yōu)橐粋€與節(jié)點k直接聯(lián)系的節(jié)點為頂點的網(wǎng)形網(wǎng)絡。如果與節(jié)點k相連的節(jié)點數(shù)為Jk，則網(wǎng)形網(wǎng)絡的支路數(shù)應等于從Jk個節(jié)點中任意取兩個節(jié)點的組分數(shù)。假設在節(jié)點k消去前，其周圍Jk個節(jié)點間已有Dk條文路數(shù)，則在消去節(jié)點k所增加的新支路數(shù)(即注入元素的個數(shù))為 注入元素的多少與消去的順序或節(jié)點編號有關(guān)。在圖1-15中表示了一個簡單電力網(wǎng)絡的4種不同的節(jié)點編號方案和將導納矩陣三角分解以后三角陣中出現(xiàn)注入元素的情況。顯然，不同的節(jié)點編號方案所得到的注入元素的數(shù)日也不相同。圖1-15 節(jié)點編號對注入元素的影

51、響 所謂節(jié)點編號的優(yōu)化，就是要尋求一種使注入元素數(shù)目最少的節(jié)點編號方式。為此，可以比較各種不同的節(jié)點編號方案在三角分解中出現(xiàn)的注入元素數(shù)目，從中選取注入元素最少的節(jié)點編號方案。但這樣做需要分析非常多的方案，例如對僅有5個節(jié)點的電力網(wǎng)絡來說，其編號的可能方案就有5！=120個。一般，對n個節(jié)點的電力網(wǎng)絡來說，節(jié)點編號的可能方案就有n!個，工作量非常大。因此，在實際計算工作中往往采取一些簡化的方法，求出一個相對的節(jié)點編號優(yōu)化方案，并不一定追求“最優(yōu)”方案。目前，節(jié)點編號優(yōu)化的方法很多，大致可分以下3類：1. 靜態(tài)地按最少出線支路數(shù)編號 這種方法又稱為靜態(tài)優(yōu)化法。在編號以前，首先統(tǒng)計電力網(wǎng)絡各節(jié)點的

52、出線支路數(shù)，然后，按出線支路數(shù)由少到多的節(jié)點順序編號，當有n個節(jié)點的出線支路數(shù)相同時，則可以按任意次序?qū)@n個節(jié)點進行編號。 這種編號方法的根據(jù)是，在導納矩陣中，出線支路數(shù)最少的節(jié)點所對應的行中非零元素也最少，因此在消去過程中產(chǎn)生注入元素的可能性也比較小。這種方法非常簡單，適用于接線方式比較簡單，即環(huán)路較少的電力網(wǎng)絡。 2動態(tài)地按最少出線支路數(shù)編號 在上述方法中，各節(jié)點的出線支路數(shù)是按原始網(wǎng)絡統(tǒng)計出來的，在編號過程中認為固定不變。事實上，在節(jié)點消去過程中，每消去一個節(jié)點以后，與該節(jié)點相連的各節(jié)點的出線支路數(shù)將發(fā)生變化(增加、減少或保持不變)。因此，如果在每消去一個節(jié)點后，立即修正尚未編號節(jié)點的

53、出線支路數(shù)，然后選其中出線支路數(shù)最少的一個節(jié)點進行編號，就可以預期得到更好的效果。動態(tài)地按最少出線支路數(shù)編號方法的持點就是在按出線最少原則編號時考慮了消去過程中各節(jié)點出線數(shù)目的變動情況。這種方法也稱為個動態(tài)優(yōu)化法。3動態(tài)地按增加出線數(shù)最少編號 這種方法又稱為動態(tài)優(yōu)化法。用前兩種方法編號，只能使消去過程中出現(xiàn)新支路的可能性減少，但并不一定保證在消去這些節(jié)點時出現(xiàn)的新支路最少。比較嚴格的方法應該是按消去節(jié)點后增加出線數(shù)最少的原則編號。具體編號方法如下： 首先，根據(jù)星網(wǎng)變換的原理，按式(1-73)分別統(tǒng)計消去網(wǎng)絡各節(jié)點時增加的出線數(shù)，選其中增加出線數(shù)最少的被消節(jié)點編為第1號節(jié)點。 確定了第1號節(jié)點以

54、后，即可從網(wǎng)絡消去此節(jié)點，相應地修改其余節(jié)點的出線數(shù)目。 然后，對網(wǎng)絡中其余的節(jié)點重復以上過程，順序編出第2號、第3號一直到編完為止。 很明顯，這種編號方法的工作量比以上兩種方法大得多。 【例1-7】 試對圖1-16所示電力網(wǎng)絡進行節(jié)點編號優(yōu)化?！窘狻?以下分別用3類節(jié)點優(yōu)化編號方法進行編號。圖1-16 電力網(wǎng)絡節(jié)點編號的例子1)用靜態(tài)優(yōu)化法編號。圖1-16所示電力網(wǎng)絡共有8個節(jié)點，14條支路。各節(jié)點出線數(shù)如表1-2所示。按照各節(jié)點出線數(shù)進行編號的結(jié)果如圖1-17(a)所示。按照這種編號方案，在消去節(jié)點的過程中將出現(xiàn)4條新支路。即消去節(jié)點1時，出現(xiàn)新支路27和28；在消去節(jié)點2時13現(xiàn)新支路3

55、7和47。對這樣編號所形成的導納矩陣進行三角分解以后，其下三角陣的結(jié)構(gòu)如圖1-17(b)所示，其中4個注入元素l72、l73、l74、l82，和上面說的新增加的4條支路相對應。圖1-17 靜態(tài)優(yōu)化法編號的結(jié)果2)用半動態(tài)優(yōu)化法編號。 編號過程如表1-3所示。 編號結(jié)果如圖l-18(a)所示。按照這種編號方案，在節(jié)點的消去過程中共出現(xiàn)兩條新支路，即在消去節(jié)點1時出現(xiàn)新支路45和48。表1-3 半動態(tài)優(yōu)化法編號過程圖1-18 半動態(tài)和動態(tài)優(yōu)化法編號的結(jié)果3)用動態(tài)優(yōu)化法編號。 為了確定首先編哪一個節(jié)點，需要分別計算消去網(wǎng)絡中各節(jié)點時出現(xiàn)的新支路數(shù)。計算結(jié)果如表1-4所示。由表1-4可以看出，應先編節(jié)點R或節(jié)點S。假設我們把R點編為1號，并立即從網(wǎng)絡中消去，然后