無窮乘積的收斂性

1、.無窮乘積的收斂性郭州雄（數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院西北師范大學(xué) 甘肅蘭州 730070）摘 要 在無窮乘積的研究中，確定無窮乘積的斂散性問題是一個(gè)很重要的問題，本文通過無窮級(jí)數(shù)與無窮乘積的關(guān)系淺談一下判斷無窮乘積斂散性的一些方法。關(guān)鍵詞 無窮乘積 無窮級(jí)數(shù)The abstract in the infinite product research, determined the infinite product collects the divergence question is a very important question, this article through the infinite

2、 series and the infinite product relations discussed shallowly judges the infinite product to collect the divergence some methods.Key wordinfinite product infinite series一 預(yù)備知識(shí)定義1 設(shè)（0）是無窮可列個(gè)實(shí)數(shù)，我們稱他們的“積”.為無窮乘積，記為，其中稱為無窮乘積的通項(xiàng)或一般項(xiàng).從定義我們可以看出，這里有無窮多個(gè)實(shí)數(shù)相乘，當(dāng)然我們無法對(duì)無窮多個(gè)實(shí)數(shù)逐一地進(jìn)行乘法運(yùn)算，所以必須對(duì)無窮乘積求積給出一個(gè)合理地定義，為此構(gòu)作無窮

3、乘積的部分積數(shù)列：定義2如果部分積數(shù)列收斂于一個(gè)非零的有限數(shù)，則稱無窮乘積收斂，且稱為它的積，記為=，如果發(fā)散或收斂于零，則稱無窮乘積發(fā)散。注意這里當(dāng)時(shí)，我們稱無窮乘積發(fā)散于0，而不是收斂于0，以后我們將會(huì)看到這樣做的好處僅僅是使無窮乘積的收斂性和無窮級(jí)數(shù)的收斂性統(tǒng)一，下面給出無窮乘積收斂的一個(gè)必要條件：定理1 如果無窮乘積收斂，則（1）（2）證明 設(shè)無窮乘積 的部分積數(shù)列為 ，則 證畢由定理1知，若無窮乘積的通項(xiàng)不趨于0，則無窮乘積必定發(fā)散，而當(dāng)通項(xiàng)趨于0時(shí)，必定在某一項(xiàng)以后大于0，而無窮乘積的收斂性與前面有限項(xiàng)無關(guān)，只不過若收斂的話“積”不同罷了，所以下面我們假定無窮乘積的通項(xiàng)，而下面的定

4、理將無窮乘積與無窮級(jí)數(shù)的斂散性統(tǒng)一起來：定理2無窮乘積收斂的充分必要條件是無窮級(jí)數(shù)收斂。證明：設(shè)無窮乘積的部分積數(shù)列為 ，無窮級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列為 ，則=所以 收斂的充分必要條件是 收斂，而 收斂于0，既 發(fā)散于0的充分必要條件是 發(fā)散于。由定理2 ，我們建立了 與 之間的關(guān)系，于是我們可以通過判斷無窮級(jí)數(shù)的斂散性來判斷無窮乘積的斂散性，下面給出兩個(gè)重要的推論：推論1 設(shè)（或），則 無窮乘積 收斂的充分必要條件是級(jí)數(shù) 收斂。證明：顯然級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù) 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)或都是負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它們都以 為收斂的必要條件，而當(dāng) 時(shí)，我們有于是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是 收斂。 證畢推論2 設(shè)

5、級(jí)數(shù) 收斂，則 無窮乘積收斂的充分必要條件是級(jí)數(shù) 收斂。證明：由收斂，可知，由及，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，當(dāng)與收斂時(shí)，必有的收斂性，反過來，當(dāng) 收斂時(shí) ，由于的收斂性，必定可得到的收斂性。證畢我們由定理2 可以看到，要判斷一個(gè)無窮乘積的斂散性我們只需要判斷對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)的斂散性，而由推論1及推論2可以看到正項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中占有重要的地位，于是我們先討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法，進(jìn)而再討論一般的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法.二 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法定理3 （正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原理）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有上界。定理4（比較判別法）設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在常數(shù)A，成立 則（1） 當(dāng)收斂時(shí)，也收斂（2）

6、當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。證明：設(shè)級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列為，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，則顯然有于是當(dāng)有上界時(shí)，也有上界，而當(dāng)無上界時(shí)，必定無上界。 證畢定理（比較判別法的極限形式）設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果與是同階無窮小量，即則與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。 證明：由，取，則存在自然數(shù)N，當(dāng)時(shí)，由定理4，即得所需結(jié)論， 證畢定理5（1）若收斂，則有收斂，其中； （2）若發(fā)散，則有發(fā)散，其中。 證明：（1）令，顯然，因?yàn)槭諗?，所以收斂?）若發(fā)散，令，顯然，而由的發(fā)散性，得到的發(fā)散性。 證畢 由定理5可以看出 ，一切正項(xiàng)級(jí)數(shù)均可以用比較判別法判定，但問題是要找到一個(gè)合適的比較對(duì)象卻很難，但是基于比較判別法，我們可以得到很多

7、判別法，盡管這些判別法都有一定的局限性，但它們給我們判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性帶來了極大的方便，如果我們把比較對(duì)象取為級(jí)數(shù)，則可得到下面的對(duì)數(shù)判別法：定理 6（對(duì)數(shù)判別法）若有 ，使得當(dāng)時(shí)，則級(jí)數(shù) 收斂；若時(shí) ，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：若，則 或 ，由于級(jí)數(shù) 收斂，故級(jí)數(shù)也收斂若，則或 。由于級(jí)數(shù) 發(fā)散，故級(jí)數(shù) 也發(fā)散. 證畢如果我們把比較對(duì)象取為幾何級(jí)數(shù)，則可得到下面的判別法：定理7 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)， ，則（1） 當(dāng)r1，級(jí)數(shù)發(fā)散（3） 當(dāng)r=1，判別法失效，級(jí)數(shù)既可能收斂，也可能發(fā)散。證明：當(dāng)r1時(shí)，取q滿足rqN，成立，從而，由定理4可知收斂當(dāng)r1，由于r是數(shù)列的極限點(diǎn)，可知存在無窮多個(gè)n滿足1，這說

8、明不是無窮小量，從而發(fā)散。對(duì)于r=1，級(jí)數(shù)與 的斂散性說明判別法失效 證畢引理 設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，則證明：設(shè)則對(duì)任意給定的，存在N，對(duì)一切nN，成立于是從而由的任意性，就得到同理可證證畢通過上面的引理，我們可得到如下定理：定理8（判別法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則（1） 當(dāng)1，級(jí)數(shù)收斂（2） 當(dāng)rt1，,由的連續(xù)可微性與，,可知存在，對(duì)一切 成立當(dāng)r1時(shí)，取s,t滿足rst1。由st與不等式，可知當(dāng)n充分大時(shí)，這說明正項(xiàng)數(shù)列從某一項(xiàng)開始單調(diào)減少，因而其必有上界，設(shè) 于是 由于，因而收斂，根據(jù)比較判別法就得到的收斂。當(dāng)N成立，于是由于發(fā)散，根據(jù)比較判別法就得到發(fā)散. 證畢無窮級(jí)數(shù)與反常積分結(jié)合，便有下面的積分

9、判別法：定理10 （積分判別法）設(shè) 定義于 且 在任意有限區(qū)間上可積，取一單調(diào)增加趨于 的數(shù)列： ， 令 則反常積分與正項(xiàng)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散于，且=特別，當(dāng)單調(diào)減少時(shí)，取，則反常積分 與正項(xiàng)級(jí)數(shù) 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。證明：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為 則對(duì)任意 存在整數(shù) 成立 于是當(dāng) 有界時(shí) 即 收斂時(shí)，則有 收斂 ，且根據(jù)極限的夾逼性，它們收斂于相同的極限；當(dāng) 無界時(shí)。即發(fā)散于時(shí)，則同樣有 。由此得到下列關(guān)系=特別，當(dāng)單調(diào)減少時(shí)取 ，則當(dāng) ，由比較判別法可知 與 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，從而與 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。證畢 由積分判別法可得下面的馬爾可夫判別法：定理 11（馬爾可夫判別法）設(shè)為單調(diào)減

10、少的正值函數(shù)，又設(shè)若，則函數(shù)收斂；若，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：由于，故對(duì)任意的，總存在，使得當(dāng) 時(shí)，有當(dāng)時(shí)，取使得，則有，于是，當(dāng)時(shí)有即，也即由于充分大且，故，又因，故，從而固定，讓，取極限即得常數(shù)于是，由積分判別法知級(jí)數(shù)收斂， 當(dāng)時(shí)，則取為充分大，可得，從而，即 或 故今設(shè)并分別取，則最后得，即為發(fā)散的，并由積分判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散。 證畢三 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法上面淺談了正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法，接下來討論一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法，對(duì)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)，判斷斂散性最本質(zhì)的方法是Cauchy收斂原理:定理12 （Cauchy收斂原理）級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是：對(duì)任意給定的，存在 ，使得對(duì)一切 成立。定義3如果級(jí)數(shù)

11、且單調(diào)減少收斂于0，則稱此級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)由Cauchy收斂原理，可以得到：定理13級(jí)數(shù)必定收斂 證明： =當(dāng)是奇數(shù)時(shí) 所以 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)因而成立= 由，于是對(duì)于一切正整數(shù)，成立 由定理 10 ， 級(jí)數(shù)必定收斂。 證畢關(guān)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法還有判別法和判別法：定理 14 若下面兩個(gè)條件之一滿足，則級(jí)數(shù)收斂：（1）（判別法）單調(diào)有界，收斂；（2）（判別法）單調(diào)趨于0，有界。證明：（1）若判別法條件滿足，設(shè) ，由于 收斂， 和 ，成立，對(duì) 應(yīng)用 引理，即得|（2）若判別法條件滿足，由于 ，因此：設(shè)。令則應(yīng)用引理，同樣可得|對(duì)于一切與一切正整數(shù)成立根據(jù)定理10 ，可知收斂。 證畢四 例題例1 討論無窮乘積的斂散性（）。解：根據(jù)定理2的推論1 ，無窮乘積的斂散性與無窮級(jí)數(shù)的斂散性是等價(jià)的，于是我們只需說明無窮級(jí)數(shù)的斂散性即可，由于由判別法知當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂所以無窮乘積收斂，例2 討論無窮乘積的斂散性。解： 根據(jù)定理2推論1，無窮乘積的斂散性與無窮級(jí)數(shù)的斂散性等價(jià)，考慮級(jí)數(shù)，由于并且 所以