四節(jié)平面及其方程ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 平面及其方程平面及其方程一、圖形與方程一、圖形與方程二、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的點(diǎn)法式方程三、平面的普通方程三、平面的普通方程四、兩平面的夾角四、兩平面的夾角 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲面在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲面S或曲線或曲線L)與與三元方程或方程組三元方程或方程組0),(zyxF或或0),(0),(21zyxFzyxF),(zyx都是都是有下述關(guān)系：有下述關(guān)系： 1曲面曲面S或曲線或曲線L)上恣意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足上恣意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足 上述方程或方程組上述方程或方程組. 2滿足上述方程或方程組的滿足上述方程或方程組的 曲面曲面S或曲線或曲線L)上的坐標(biāo)上的坐標(biāo).那么，上述方程

2、或方程組叫曲面那么，上述方程或方程組叫曲面S或曲線或曲線L)的方程的方程，而曲面，而曲面S或曲線或曲線L)叫做上述方程或方程組的圖形叫做上述方程或方程組的圖形.一、圖形與方程一、圖形與方程xyzo0MM 假設(shè)一非零向量垂直假設(shè)一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量該平面的法線向量法線向量的特征：法線向量的特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量知知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn二、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的點(diǎn)法式方程,0000zzyyxxMM 0)()()(00

3、0 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 知點(diǎn)知點(diǎn)).,(000zyx例例 1 1 已知點(diǎn)已知點(diǎn))4 , 1, 2(1 M和和)7 , 2 , 6(2M，求過點(diǎn)，求過點(diǎn)1M且與且與21MM垂直的平面方程垂直的平面方程. ,6 , 4 , 3211 MMn所求平面的一個(gè)法向量為所求平面的一個(gè)法向量為, 0)1(6)2(4)3(3 zyx即即. 07643 zyx由點(diǎn)

4、法式方程，得由點(diǎn)法式方程，得解解例例 2 2 求求過過三三點(diǎn)點(diǎn))4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程. 解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 015914 zyx由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的普通方程平面的普通方程法向量法向量.,CBAn 三、平面的普通方程三、平面的普通方程平面普通方程的幾種特殊情況：平

5、面普通方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面經(jīng)過平面經(jīng)過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.例例 3 3 一平面過點(diǎn)一平面過點(diǎn))2, 3, 4( 和和)1, 1 , 4( 且平行且平行于于x軸，求其方程軸，求其方程. , 0 DCzBy從從而而所所求求平平面面為為：解解得得,4,3DCDB 解解所以設(shè)平面方程為：所以設(shè)平面方程為：所求平面平行于所求平面

6、平行于x軸，可知軸，可知, in),(CBAn 設(shè)設(shè)，0 A則則將知兩點(diǎn)代入得將知兩點(diǎn)代入得 0023DCBDCB0143043 zyDDzDy即即，例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸

7、上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距定義定義通常取銳角通常取銳角1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 四、兩平面的夾角四、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例5 5解

8、法解法1)2 , 2 , 2(21 MM垂直垂直及及)3 , 2 , 1(21 nMM所求平面的法向量與所求平面的法向量與求其方程.求其方程.垂直于垂直于且且和和一平面經(jīng)過點(diǎn)一平面經(jīng)過點(diǎn), 0532)5 , 1 , 4()3 , 1, 2(21 yyxMM)2, 4 , 2(22232121 kjiMMn取取為為0)3(2)1(4)2(2 zyx所所求求平平面面方方程程為為：072 zyx即即)2(解法解法，),( CBAn 設(shè)所求平面法向量為設(shè)所求平面法向量為 2111 )3 , 2 , 1( MMnnnn）（則則 0320222CBACBACBCA2, 得得：所求平面方程為所求平面方程為0)3()1()2( zCyBxA0)3()1(2)2( zyx：即即072 zyx例例 6 6 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一點(diǎn)，求外一點(diǎn)，求0P到平面的距離到平面的距離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 22210222102