第七章解析幾何與微分幾何SECTION5.

1、5 二次曲線一、圓圓的方程、圓心與半徑 方程與圖形圓心與半徑x2 + y2 = R2xRcost圓心G(0,0)或Rsin ty半徑r = R(參數(shù)方程， t 為動徑 OM與 x 軸正方向的夾角 )(x a)2+(yb)2 = R2xaR cost或bR sinty(參數(shù)方程， t 為動徑 OM與 x 軸正方向的夾角 )x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0m2 + n2 q2 + 2 (mcost + nsint) + q= 0 (極坐標(biāo)方程 )22 cos() +2000= R2 (極坐標(biāo)方程 )x2 + y2 = 2Rx或 = 2Rcos(極坐標(biāo)方程 )x2 + y2 =

2、 2Ry或= 2Rsin(極坐標(biāo)方程 )圓心G(a, b)半徑r = R圓心G(-m, n)半徑rm2n 2q圓心G( ,0)0半徑r = R圓心G(R, 0)半徑r = R圓心G(0,R)半徑r = R 圓的切線 圓 x2 + y2 = R2 上一點(diǎn) M(x0, y0)的切線方程為 x0x + y0y = R2圓x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0上一點(diǎn) M(x0, y0)的切線方程為x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0 兩個圓的交角、圓束與根軸方 程與圖形兩個圓的交角C1x22111+ y + 2m x + 2n y + q

3、= 0C2x2 + y2 + 2m2x + 2n2y + q2 = 0兩個圓的交角是指它們在交點(diǎn)的兩條切線的夾角圓束 兩個圓的根軸CC+C =0(為參數(shù) )12或(2212+ 1)( x + y ) + 2( m +m )x+2(n + n )y + (q +q ) = 01212根軸方程為 2(m- m )x +2(n -121n2)y + (q1 - q2) = 0公式與說明cos2m1m22n1n2q1q222q1222 m1n1m2n2 q2式中 表示兩個圓 C1 和 C2 的交角，因?yàn)楣街胁话稽c(diǎn)的坐標(biāo)，所以在兩交點(diǎn)的兩交角必相等 .兩個圓 C1 和 C2 正交條件為2m1m2

4、+ 2n1n2 - q1 - q2 = 0對 ( - 1)的一個確定值， C 表示一個圓 .當(dāng) 取一切值 ( - 1)時(shí)，C 所表示的圓的全體， 稱為圓束 . = - 1 時(shí)，為一直線，稱為兩個圓 C1 和 C2 的根軸 .根軸與 C1 和 C2 的連心線垂直，束中任一圓 C 的圓心在 C1 和 C2 的連心線上，且分連心線的比等于 .(a)如果 C1 和 C2 相交于兩點(diǎn) M1，M2，則束中一切圓都通過兩交點(diǎn) M1， M2，它們的根軸就是它們的公共弦 .這時(shí)圓束稱為共軸圓系 (圖(a).(b)如果 C1 和 C2 切于一點(diǎn) M，則束中一切圓都在一點(diǎn) M 相切，根軸就是在點(diǎn) M 的公切線 (圖

5、(b). (c)如果 C1 和 C2 不相交，則束中一切圓都不相交，根軸也與圓束中一切圓都不相交(圖 (c).從點(diǎn) P 作兩個圓 C1 和 C2 的切線，具有相等切線長的點(diǎn) P 的軌跡就是根軸 .兩個同心圓的根軸是從公共圓心到無窮遠(yuǎn)處的直線 .三個圓中每對圓的根軸 (共三個 )交于一點(diǎn)，它稱為根心 .若三個圓心共線，則其根心在無窮遠(yuǎn)處 . 反演 設(shè) C 為一定圓， O 為圓心， r 為半徑 (圖 7.1)，對平面上任一點(diǎn)M，有一點(diǎn) M 與它對應(yīng).使得滿足下列兩個條件：（ i ）O, M, M 共線，（ ii ）OM OM = r2 ，這種點(diǎn) M 稱為點(diǎn) M 關(guān)于定圓 C 的反演點(diǎn)， C 稱為反

6、演圓， O 稱為反演中心， r 稱為反演半徑 .由于 M 和 M 的關(guān)系是對稱的，所以M 也是 M 的反演點(diǎn) .因 r2 0，所以M和M都在O的同側(cè) .M 和 M 之間的對應(yīng)稱為關(guān)于定圓C的反演.取 O 為原點(diǎn)，則一切反演點(diǎn)M(x, y)和 M x ,y )的對應(yīng)方程為xr 2 x2 , yr 2 y2y2y2xx反演具有性質(zhì)：1不通過反演中心的一條直線變?yōu)橥ㄟ^反演中心的一個圓.2通過反演中心的圓變?yōu)椴煌ㄟ^反演中心的直線 .3通過反演中心的一條直線變?yōu)樗约?.圖 7.14不通過反演中心的圓變?yōu)椴煌ㄟ^反演中心的圓 .5 反演圓變?yōu)樗约?.6 與反演圓正交的圓變?yōu)樗约?，其逆也?.7 如果兩

7、條曲線 C1，C2 交于一點(diǎn) M，則經(jīng)過反演后的曲線 C1 , C2 必交于 M 的反演點(diǎn)M .8如果兩條曲線C1, C2 在一點(diǎn) M 相切，則經(jīng)過反演后的曲線C1 , C2 必在 M 的反演點(diǎn)M 相切 .9兩條曲線的交角在反演下是不變的.由此可見，反演是一個保角變換.二、橢圓1橢圓的基本元素主軸 (對稱軸 )長軸AB2a短軸CD(a b 0)2b頂點(diǎn)A,B,C,D橢圓中心G焦點(diǎn)F1, F2焦距F1F22c, ca2b2離 心 率ec1a壓縮系數(shù)b2, 21 e2a焦點(diǎn)參數(shù)b2(等于過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長之半，即 F1 H)pra焦點(diǎn)半徑, r (橢圓上一點(diǎn) (x, y)到焦點(diǎn)的距離 )12

8、r1 = a - ex， r2 = a + ex直徑PQ(通過橢圓中心的弦 )圖 7.2共軛直徑二直徑斜率為 k, kb 2，且滿足 kk2a準(zhǔn)線L1 和 L2(平行于短軸，到短軸的距離為a)e2橢圓的方程、頂點(diǎn)、中心與焦點(diǎn)方程與 圖形頂點(diǎn)中心焦點(diǎn)x2y 21(標(biāo)準(zhǔn)a2b 2頂點(diǎn)A, B( a, 0)方程 )或xa costyb sin tC, D(0,b)(參數(shù)方程， t 為與 M中心G(0,0)F1, F2(c,0)點(diǎn)對應(yīng)的同心圓 (半焦點(diǎn)ca 2b 2徑為 a, b)的半徑與 x軸正方向的夾角 )( x g) 2( y h)2a2b21或xga costy h b sin t (t 同上

9、 )x 2y21b2a 2(ab0)p，e 11ecos(極坐標(biāo)方程，極點(diǎn)位于橢圓一焦點(diǎn)上，極軸為從焦點(diǎn)指向最近一個頂點(diǎn)的射線，為極角， p, e 如前述 )3橢圓的性質(zhì)頂點(diǎn)A, B(g a, h)C, D(g, hb)中心G(g, h)焦點(diǎn)F1, F2(gc, h)ca 2b 2頂點(diǎn)A, B(0,a)C, D( b, 0)中心G (0, 0)焦點(diǎn)F1,F (0,c)2ca 2b 2長軸2a2 p1 e2短軸2b2 p1e22 pe焦距2c1e21橢圓是到兩定點(diǎn) (即焦點(diǎn) )的距離之和為常數(shù) (即長軸 )的動點(diǎn) M 的軌跡 (r1 + r 2 = 2a).2橢圓也是到一定點(diǎn) (即焦點(diǎn)之一 )的

10、距離與到一定直線 (即一準(zhǔn)線 L)的距離之比為小于1 的常數(shù) (即離心率 )的動點(diǎn) M 的軌跡 (MF /ME= MF /ME= e).11223橢圓是將半徑為 a 的圓沿 y 軸方向按比b (即壓縮系數(shù) )壓縮而得到 .a4 橢圓上一點(diǎn) M(x0, y0)的切線 (MT)方程為x0 xy0 y1a 2b2切線把點(diǎn) M 的兩焦點(diǎn)半徑間的外角 (即 F1MH)平分 (即 = ,tantanb2),M 點(diǎn)的法cy0線 MN 把內(nèi)角 (即 F1MF2)平分(圖 7.3).如果橢圓的切線 (MT)的斜率為 k,則其方程為ykxk 2 a 2b 2圖 7.3式中正負(fù)號表示直徑兩端點(diǎn)的兩切線.5 橢圓的任

11、一直徑把平行于其共軛直徑的弦平分 (圖 7.4)如果兩共軛直徑的長分別為2a1 和 2b1 , 兩直徑與長軸的夾角(銳角)分別為和,則圖 7.4a1b1sin(+) = aba12 + b12 = a2 + b26橢圓上任一點(diǎn)M 的焦點(diǎn)半徑之積等于它的對應(yīng)半共軛直徑的平方.7 設(shè) MM , NN 為橢圓的兩共軛直徑 , 通過 M, M 分別作直線平行于 NN ; 又通過 N, N 分別作直線平行于 MM , 則這四條直線構(gòu)成的平行四邊形的面積為一常數(shù)4ab(圖 7.5).4.橢圓各量計(jì)算公式x2y21a2b 2橢圓各量計(jì)算公式 曲率半徑 R弧長周長L面積S幾何重心 G轉(zhuǎn)動慣量J2233Ra 2

12、b2 xy2(r1 r2 )2pa 4b4absin3式中 r , r2為焦點(diǎn)半徑 , p 為焦點(diǎn)參數(shù) ,為點(diǎn) M(x, y)的焦點(diǎn)半徑與切線的夾1角 .特別 , 頂點(diǎn)的曲率半徑RARBpb 2 ,RCRDa 2xabarccose2 cos2 t dte2 sin 2 t d t= aa1a2x10arcsina式中 e 為離心率L4a 21e2 sin 2 t dt4aE e,02222式中 ,E e,211e21 3 e41 3 5 e6222432465設(shè)ab ,則 L(a b) 124625 8ab46425616384L1.5(ab)ab或 L(ab)64341 ab arccos

13、 x64162扇形 (OAM)面積SOAM2a弓形 (MAN)面積SMANab arccos xxya橢圓面積S =ab橢 圓 形G與O重合半橢圓形GO4b3(a, b 為橢圓的半軸長 )橢圓的轉(zhuǎn)軸通過b 軸J a 2 m 4式中 m 為質(zhì)量三、雙曲線1雙曲線的基本元素主軸 (對稱軸 )實(shí)軸AB2a(a0)虛軸CD2b(b0)頂點(diǎn)A, B中心G焦點(diǎn)F1, F2焦距F1F2 = 2c,ca 2b2離 心 率ec1a2焦點(diǎn)參數(shù)bp(等于過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長之a(chǎn)半,即 F1H)圖 7.6焦點(diǎn)半徑r1, r2(雙曲線上一點(diǎn) (x, y)到焦點(diǎn)的距離 ,即 MF1, MF2)r 1 =(ex a),

14、 r 2 =(ex + a)直徑PQ(通過中心的弦 )共軛直徑b2二直徑斜率為 k, k ,且滿足 kka 2準(zhǔn)線L1和 L2(垂直于實(shí)軸 , 到中心的距離為 a )e2雙曲線的方程、頂點(diǎn)、中心、焦點(diǎn)與漸進(jìn)線方程 與 圖形頂點(diǎn)中心焦點(diǎn)漸近線x 2y21(標(biāo)準(zhǔn)方程 )a 2b2或x a ch t y b sht(參數(shù)方程 )或x a sect y b tantx2y 21a 2b 222(與 xy22 1成共軛ab雙曲線 )頂點(diǎn)A, B(a,0)中心G(0,0)焦點(diǎn)F , F ( c,0)12ca 2b 2漸 近 線ybxa頂點(diǎn)C, D (0,b)中心G(0,0)焦點(diǎn)1,F2( 0,c)Fca

15、2b 2漸 近 線yb xa( x g )2( y h)2a 2b21方程與圖形頂點(diǎn)A, B( ga, h)中心G( g, h)焦點(diǎn)F1 , F2 ( gc, h)漸近線ybh(x g )a頂點(diǎn)中心焦點(diǎn)漸近線p, e1實(shí)軸2a2 p1ecose21( 極坐標(biāo)方程 .極點(diǎn)位于虛軸2b2 p一焦點(diǎn)上，極軸為從焦點(diǎn)背焦距2ce212 pe向頂點(diǎn)的射線， p, e 如前述 .由此方程只能確定一支，另一支可由對稱性而得到 )ky(等軸雙曲線 )xe21頂點(diǎn)A,B(k ,k )中心G(0,0)焦點(diǎn)F1 , F2 ( 2 k , 2 k )(當(dāng) k0 時(shí)取同號，k 0時(shí)取異號 )軸長AB22 k漸 近 線x

16、0, y0axbycxd(等軸雙曲線 )abDcd3.雙曲線的性質(zhì)1 雙曲線是到兩定點(diǎn) (焦點(diǎn) )的距離之差為常數(shù) (等于實(shí)軸 2a)的動點(diǎn) M 的軌跡 (使 r1 r2 2a 的各點(diǎn)屬于雙曲線的一支，而使 r1 r2 2a 的各點(diǎn)屬于其另一支 ).2 雙曲線也是到一定點(diǎn) ( 焦點(diǎn)之一 )的距離與到一定直線 (準(zhǔn)線 L1)的距離之比為大于 1 的常數(shù) (即離心率 )的動點(diǎn) M 的軌跡 ( MF1 / ME1MF 2 / ME 2e).3 雙曲線上一點(diǎn) M (x0 , y0 ) 的切線 (MT)的方程為x0 xy0 y1a 2b2它把 M 點(diǎn)兩焦點(diǎn)半徑間的內(nèi)角 (即 F1MF 2 )平分 (即,

17、 tantanb 2)，而 M 點(diǎn)的法線 MN 把外角 (即cy0F1MH )平分 (圖 7.7).如果雙曲線的切線的斜率為k，則其切線的方程為y kxk 2 a 2b 2式中正負(fù)號表示在直徑兩端點(diǎn)的兩切線 .4 兩條漸近線 yb x 之間的切線線段 TT1 被切點(diǎn)aM 平分 (TM = MT1)，且OTT 的面積 SOTT1 ab ，1平行四邊形 OJMI 的面積 (圖 7.8 的陰影部分 )abSOJMI2頂點(diǎn)dDaDA,B(,cc(當(dāng) D 0時(shí)取同號， D 0 時(shí)取異號 )中心 Gd , ac c軸長22 DABc漸 近 線x d , y acc圖 7.85雙曲線的任一直徑把平行于共軛直

18、徑的弦平分(圖 7.9)如果兩共軛直徑的長分別為112a ,2b , 兩直徑與實(shí)軸夾角(銳角)分別為 和 ()，則a1b1 sin()aba12b12a 2b 26雙曲線上任一點(diǎn) M 的焦點(diǎn)半徑之積等于它的對應(yīng)半共軛直徑的平方 .7設(shè) MM , NN 為雙曲線的兩共軛直徑， 通過 M, M圖 7.9分別作直線平行于NN ；又通過 N, N 分別作直線平行于MM ，則這四條直線構(gòu)成的平行四邊形的面積為一常數(shù)4ab(圖7.10).4雙曲線各量計(jì)算公式x2y 2圖 7.10a2b21雙曲線各量計(jì)算公式曲率半徑 2233R a2 b2xy2(r1r2 )2pRa4b 4absin 3式中 r1, r2

19、 為焦點(diǎn)半徑， p 為焦點(diǎn)參數(shù)，為點(diǎn) M(x, y)的焦點(diǎn)半徑與切線的夾角，特別，頂點(diǎn)A, B 的曲率半徑RARBpb2a雙曲線各量計(jì)算公式弧長 Ar chxa 1 e2 ch2 t d t= a 0式中 e 為離心率面積弓形 (AMN)的面積：SSAMNxyab lnxyxyxababAr chaOAMI 的面積： SOAMIabab ln 2OI42c這里 OI, OJ 為漸近線， MI / OJ四、拋物線1拋物線的基本元素拋物線的主軸AB頂點(diǎn)A焦點(diǎn)F焦點(diǎn)參數(shù)p(等于過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦 CD 之長的一半 )焦點(diǎn)半徑MF(拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 )直徑EMH(平行于拋物線的軸的直線)準(zhǔn)線

20、L(與拋物線的軸垂直，到頂點(diǎn)2拋物線的方程、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程與圖形y 22 px (標(biāo)準(zhǔn)方程 ) 或p1cos(極坐標(biāo)方程，極點(diǎn)位于焦點(diǎn) F 上，極軸與拋物線的軸重合，背向頂點(diǎn) )y22 px圖 7.11A 的距離等于p ，到焦點(diǎn) F 的距離等于 p) 2頂點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線頂點(diǎn)A(0, 0)焦點(diǎn)F ( p ,0)2準(zhǔn)線L( xp )2頂點(diǎn)A(0, 0)焦點(diǎn)F (p ,0)2準(zhǔn)線L(xp )2方程與圖形頂點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線x 22 py頂點(diǎn)A(0, 0)焦點(diǎn)F (0, p)2p )準(zhǔn)線L( y2x 22 py( yh) 22 p( xg )( xg )22 p( yh)yax2bxcxya ( a0)或x

21、a cos4 tya sin 4 t(a0)頂點(diǎn)A(0, 0)焦點(diǎn)F (0,p )2準(zhǔn)線L( yp )2頂點(diǎn)A(g, h)焦點(diǎn)F (gp , h)2p )準(zhǔn)線L( xg2頂點(diǎn)A(g, h)焦點(diǎn) F ( g, hp )2p準(zhǔn)線L( yh)2頂點(diǎn)b4ac b 2A,2a4a(當(dāng) a 0 時(shí)，開口向上，當(dāng) a 0 時(shí)，開口向下 )焦點(diǎn)參數(shù)1p2 a與 x 軸的交點(diǎn)A1, A2bb24ac ,02a頂點(diǎn)A a , a44焦點(diǎn)參數(shù)pa23拋物線的性質(zhì)1 拋物線是到一定點(diǎn) F(焦點(diǎn) )的距離與到一定直線 L(準(zhǔn)線 )的距離相等的動點(diǎn) M 的軌跡 (MF =ME)(圖 7.12)2 拋物線上一點(diǎn) M ( x

22、0 , y0 ) 的切線 MT的方程為yp ( x x0 )y0它把 M 點(diǎn)的焦點(diǎn)半徑與直徑的夾角( FMG)平分 ( FMT= TMG)，并且一切與切線 MT 平行的弦被過 M 點(diǎn)的直徑平分 (PI=IQ).圖 7.12如果拋物線的切線的斜率為 k，則其切線的方程為pykx2k3拋物線的任兩切線的夾角等于兩切點(diǎn)的焦點(diǎn)半徑的夾角的一半.4從焦點(diǎn) F 作拋物線在點(diǎn) M 的切線的垂線，則垂足的軌跡為在頂點(diǎn)的切線.4拋物線各量計(jì)算公式y(tǒng) 22 px拋物線各量計(jì)算公式 曲率半徑 3( p 2x) 2pn 3RRsin 3p 2p式中為點(diǎn) M(x, y)的切線與主軸的夾角， n 為法線 MN 之長 .特

23、別，頂點(diǎn)的曲率半徑 R0 = p弧長 = x xpp Arsh 2x22pp2x2x2x2x21lnp1ppp面積弓形(MOD)的面積 =2S平行四邊形 (MBCD)的面積3SMOD2h即MD3這里 MD 弓形弦長 ,CD 平行于主軸 ,BC 與拋物線相切 ,h 為該平行四邊形的高 (即弓形拱高 ),特別 , SOMA2xy3 幾何重心 弓形 (MOD)的重心2GGQ5 PQ(BC 平行于 MD,P 為切點(diǎn) ,PQ 平行于 Ox)五、一般二次曲線1二次曲線的一般性質(zhì)上面所列舉的橢圓、雙曲線、拋物線等,它們的方程關(guān)于x,y 都是二次的 ,關(guān)于 x,y 的一般二次方程的形式是ax22bxycy22

24、dx2eyf0它所表示的曲線稱為一般二次曲線 .這里列舉它們的一些共同性質(zhì) .直線與二次曲線的交點(diǎn) 一直線與一個二次曲線交于兩點(diǎn)(實(shí)的 ,虛的 ,重合的 ).二次曲線的直徑與中心 一個二次曲線的平行于已知方向的弦的中點(diǎn)在一直線上,稱它為二次曲線的直徑 ,它平分某一組弦 .設(shè)已知方向的方向數(shù)為,則直徑的方程為abxbcyde0或改寫為axbydbxcye0由此可見 ,二次曲線的直徑組成一個直線束.束內(nèi)任一直徑通過下列兩直線交點(diǎn) :axbyd0, bxcye01ab ,即 ac b20 .bc這時(shí)二次曲線的一切直徑通過同一點(diǎn),稱為中心 ,這種曲線稱為有心二次曲線 ,中心的坐標(biāo)為becdae bdab ,即 ac b2x0acb2 , y0ac b220bc(i)abdbc, 這時(shí)曲線無中心 ;e(ii) a b d , 這時(shí)曲線有無限個中心 ,即中心在同一直線上 (中心直線 ). b c e這兩種曲線稱為無心二次曲線 .二次曲線的主軸 ( 或?qū)ΨQ軸 ) 如果直徑垂直于被它所平分的弦,則稱它為二次曲線的主軸 (對稱軸 ), 無心二次曲線有一條實(shí)的主軸 ;有心二次曲線有兩條實(shí)的主軸,它們是互相垂直的 ,交點(diǎn)