必修直線與方程 小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、直線與方程小結(jié)與復(fù)習(xí)一、【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn)：掌握直線方程的五種形式，兩條直線的位置關(guān)系難點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱、直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱、直線關(guān)于直線的對(duì)稱這類問(wèn)題的解決能力點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)對(duì)直線位置關(guān)系的分析研究進(jìn)一步提高數(shù)形結(jié)合以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力教育點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運(yùn)用自主探究點(diǎn)：1由直線方程的各種形式去判斷兩直線的位置關(guān)系；2能根據(jù)直線之間的位置關(guān)系準(zhǔn)確的求出直線方程；3能夠深入研究對(duì)稱問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，利用對(duì)稱性解決相關(guān)問(wèn)題考試點(diǎn):兩直線的位置關(guān)系判斷在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，直線與圓錐曲線結(jié)合是高考的常見(jiàn)題目易錯(cuò)點(diǎn)：判斷兩條直線的平行與垂直忽略斜率問(wèn)題導(dǎo)致出錯(cuò) 易混

2、點(diǎn)：用一般式判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí)平行與垂直的條件拓展點(diǎn):中點(diǎn)問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、距離問(wèn)題中涵蓋的直線位置關(guān)系的分析研究學(xué)法與教具1 學(xué)法：講練結(jié)合，自主探究2教具：多媒體課件，三角板二、【知識(shí)梳理】直線的方程直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角定義范圍直線的斜率定義公式直線方程的五種形式點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式一般式兩條直線的位置關(guān)系平行與垂直的判定兩直線相交直線對(duì)稱問(wèn)題點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱直線關(guān)于直線對(duì)稱平行的判定方法垂直的判定方法直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱三種距離計(jì)算點(diǎn)與點(diǎn)的距離點(diǎn)與線的距離平行線的距離求交點(diǎn)坐標(biāo)二、【知識(shí)梳理】1直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸_與直線_

3、方向之間所成的角叫做直線的傾斜角當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為_傾斜角的范圍為_（2）直線的斜率定義：一條直線的傾斜角的_叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母表示，即_，傾斜角是的直線斜率不存在過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的斜率公式為_當(dāng)時(shí)，直線的斜率_（3）直線的傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)為銳角時(shí)，越大越_；當(dāng)為鈍角時(shí)，越大越_2 直線方程的五種基本形式名稱幾何條件方程局限性點(diǎn)斜式過(guò)點(diǎn)，斜率為不含_的直線斜截式斜率為，縱截距為不含_的直線兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)和（）不含_的直線截距式橫截距為，縱截距為不含_和_的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用答案：1（1） 正向，向上， ； ；

4、 （2） 正切值，； ，不存在 （3）大，大2，垂直于軸；垂直于軸；垂直于坐標(biāo)軸；垂直于坐標(biāo)軸、過(guò)原點(diǎn)3兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線、，其斜率分別為、，則有_特別地，當(dāng)直線的斜率、都不存在時(shí)，與_（2）兩條直線垂直如果兩條直線斜率、存在，設(shè)為、，則_，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩直線_4兩直線相交交點(diǎn)：直線：和：的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng)相交方程組有_，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行方程組_；重合方程組有_5三種距離公式（1）點(diǎn)、間的距離： （2）點(diǎn)到直線：的距離： （3）兩平行直線：與： （）間的距離為_6直線中的對(duì)稱問(wèn)題有哪些？（學(xué)

5、生討論）如何求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)？如何求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線以及直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線呢？三、【范例導(dǎo)航】1、兩直線間的平行與垂直問(wèn)題例1 （1）已知兩直線：，：，若，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知兩直線：和：若，求實(shí)數(shù)的值【分析】（1）充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線和，若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意（2）若直線和有斜截式方程：，：，則設(shè)：，：則：【解答】（1）方法一：當(dāng)時(shí)，：，：，； 當(dāng)時(shí)， ：， ：，由且，故所求實(shí)數(shù)的值為或方法二:直線：，：平行的等價(jià)條件是：且或，由所給直線方程可得：且且或，故所求實(shí)數(shù)的值為或

6、（2）方法一：由直線的方程知其斜率為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，與不垂直；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，由故所求實(shí)數(shù)的值為方法二:直線：，：垂直的等價(jià)條件是由所給直線方程可得：，故所求實(shí)數(shù)的值為【設(shè)計(jì)意圖】掌握兩直線平行或垂直的充要條件是關(guān)鍵，平行與垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的系數(shù)之間的關(guān)系的問(wèn)題，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問(wèn)題，注意斜率存在與否，方法二避免了分類討論變式訓(xùn)練:已知兩直線：和：試確定、的值，使（1） 與相交于點(diǎn)；（2） ；（3） ，且在軸上的截距為答案：（1）由題意得：，解得（2）當(dāng)時(shí)，顯然不平行于；當(dāng)時(shí)，由得，或即時(shí)或時(shí)，（3）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，又，即，時(shí)，且在軸上的截距為2、點(diǎn)到直線距離問(wèn)題例2

7、已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別是且它的對(duì)角線的交點(diǎn)是求這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線方程【分析】因?yàn)樾甭氏嗟?所以其他兩條直線可以設(shè)為然后利用點(diǎn)到直線的距離公式【解答】 設(shè)直線的方程為由點(diǎn)到直線的距離相等，得：解得 同理，由點(diǎn)到直線的距離相等，得： 因此，其他兩邊所在直線的方程是【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用，并且利用平行的直線斜率相等，方程的設(shè)法簡(jiǎn)化運(yùn)算變式訓(xùn)練：已知正方形的中心為點(diǎn)，一條邊所在的直線的方程是求正方形其他三邊所在直線的方程【分析】本題先設(shè)與已知直線平行的直線為 另兩條都與已知直線垂直，設(shè)為然后利用點(diǎn)到直線的距離公式【解答】 由點(diǎn)到直線的距離相等，

8、得：由點(diǎn)到直線的距離相等綜合以上得，其余三邊所在直線的方程分別是3、三角形問(wèn)題例3. 已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線方程為邊上的高所在直線方程為求：（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線的方程【分析】第一問(wèn)主要是考查設(shè)、求直線，熟練解答過(guò)程，先設(shè)直線為：然后代入點(diǎn)；第二問(wèn)考查用先設(shè)、求點(diǎn)，然后與點(diǎn)求出直線，或者設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率【解答】(1)由題意，得直線的方程為解方程組 得點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）（2）解法一：設(shè)則于是有與于是直線的方程為解法二：設(shè)直線的方程為，即解方程組得因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，得解得所以直線的方程為解法三：設(shè)，則因?yàn)辄c(diǎn)在直線

9、上，所以有即解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為所以直線的方程為【設(shè)計(jì)意圖】本題借助三角形這個(gè)平臺(tái)，考查了直線方程的求法，設(shè)出一個(gè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)求直線的方程，另外一個(gè)方法是設(shè)出點(diǎn)斜式方程，求出斜率，但這種方法要考慮斜率存在與否，設(shè)出點(diǎn)，就避免了考慮斜率存在的問(wèn)題，擺出事實(shí)，讓學(xué)生體會(huì)各種解法的利弊，解法三也為今后學(xué)習(xí)相關(guān)點(diǎn)代入法打下基礎(chǔ)變式訓(xùn)練：在中，邊上的高所在的直線方程為，角的平分線所在的直線方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求邊上的垂直平分線【分析】直線問(wèn)題與三角形問(wèn)題的結(jié)合，全面考查學(xué)生的熟練應(yīng)用，直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱時(shí)，斜率之間的關(guān)系，或者利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，也易求直線【解答】點(diǎn)在

10、直線的高線上，又在角的平分線上由 得所以而直線是角的平分線，所以所以邊所在的直線方程為又所以邊所在直線方程為由與的直線方程聯(lián)立可得所以邊上的垂直平分線所在的直線方程為4、最值問(wèn)題例4已知點(diǎn)，.在直線:上找一點(diǎn),使最小，并求出最小值【分析】本題前提條件是兩點(diǎn)位于直線的同側(cè)，主要考查利用三角形中兩邊之和大于第三邊與點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題的結(jié)合，由平面幾何知，先作出與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，連結(jié)，直線與直線的交點(diǎn)即為所求事實(shí)上,若點(diǎn)是上異于的點(diǎn)，則【解答】設(shè)與關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)是的方程為，即解方程組得線段交直線于是的中點(diǎn)，的坐標(biāo)為連結(jié)的直線方程為解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)為此時(shí)，【設(shè)計(jì)意圖】本題有個(gè)前提兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，把求最值的問(wèn)

11、題轉(zhuǎn)化為三角形中兩邊之和大于第三邊的問(wèn)題，如果學(xué)生接受能力強(qiáng)，可以再拓展一下，當(dāng)兩點(diǎn)位于直線兩側(cè)時(shí)，可在直線上找一點(diǎn)，使最大變式訓(xùn)練：函數(shù)的最小值為_【分析】本題主要考查了把兩點(diǎn)間的距離公式的靈活運(yùn)用，把最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離和的問(wèn)題，把函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為解析幾何的問(wèn)題，前面題目大多是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問(wèn)題，此題正好相反，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要的數(shù)學(xué)思想【解答】把變形為表示動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和作點(diǎn)關(guān)于軸的稱點(diǎn) 四、【解法小結(jié)】1求直線方程直線方程的五種形式是從不同側(cè)面對(duì)直線幾何特征的描述，具體使用時(shí)要根據(jù)題意選擇最簡(jiǎn)單、適當(dāng)?shù)男问?；同時(shí)結(jié)合參數(shù)的幾何意義，注意方程形式的局限性（1

12、）直接法：當(dāng)兩個(gè)條件顯性時(shí)，直接選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，寫出所求直線的方程（2）待定系數(shù)法：當(dāng)兩個(gè)條件至少一個(gè)隱性時(shí)，可根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，設(shè)出所求的直線方程，建立方程（組），待定出其中的系數(shù)，從而求得直線方程2兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線、，若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是什么一定要特別注意3在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)，一定要注意將兩方程中的，項(xiàng)系數(shù)化為分別相等的系數(shù)4兩直線平行時(shí)，直線可設(shè)為，兩直線垂直時(shí)，直線可設(shè)為，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算五、【布置作業(yè)】必做題：1已知直線：與：平行，則的值是 2若直線：與直線關(guān)于點(diǎn)

13、對(duì)稱，則直線恒過(guò)定點(diǎn)是 3. 已知，則的最小值是 4設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)與直線的距離最大時(shí)，直線的方程為 答案：1 或；2；3； 4選做題：1已知直線（1）證明直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；（3）若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，求使面積最小時(shí)直線的方程2.已知直線：，點(diǎn)求：（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線：關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程；（3）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程答案：1（1）定點(diǎn)；（2）；（3）2. 【解答】（1）設(shè)，由已知，解得：，（2）在直線上取一點(diǎn)，如，則 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)必在直線上設(shè)對(duì)稱點(diǎn)，則，得，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則由得又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線的方程為（3）方法一在：上任取兩點(diǎn)，如，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)均在直線上，易得，再由兩點(diǎn)式可得的方程為方法二，設(shè)的方程為，點(diǎn)到兩直線，的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，的方程為方法三設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，即【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)課由于內(nèi)容較多，難以把涉及全面，把對(duì)稱這一重要問(wèn)題當(dāng)作習(xí)題作為補(bǔ)充，教師可以靈活把握，有時(shí)間可以講解，對(duì)稱有兩方面，主要學(xué)習(xí)以下兩點(diǎn)：（1）點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為“垂直”及“線的中點(diǎn)在軸上”的問(wèn)題（2）線關(guān)于線對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題