微分方程的例題分析及解法

1、微分方程的例題分析及解法本單元的基本內(nèi)容是常微分方程的概念，一階常微分方程的解法，二階常微分方程的解法，微分方程的應(yīng)用。一、常微分方程的概念本單元介紹了微分方程、常微分方程、微分方程的階、解、通解、特解、初始條件等基本概念，要正確理解這些概念；要學(xué)會判別微分方程的類型，理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。二、一階常微分方程的解法本單元介紹了三種類型的一階微分方程的求解方法：變量可分離型，齊次型，線性方程。對于一階微分方程，首先要看是否可以經(jīng)過恒等變形將它的變量分離；對于一階線性微分方程，先用分離變量法求解其相應(yīng)的齊次方程，再用常數(shù)變易法求解非齊次方程；當(dāng)然也可直接代下列通解公式：齊次型微分方程令，則

2、方程化為關(guān)于未知數(shù)與自變量的變量可分離的微分方程。三、二階微分方程的解法1特殊類型的二階常微分方程本章介紹了三種特殊類型的二階方程的求解方法：（1），直接積分；（2），令，（3），令，則這三種方法都是為了“降價”，即降成一階方程。2二階線性常系數(shù)微分方程二階線性常系數(shù)微分方程求解的關(guān)鍵是：（1）特征方程對于相應(yīng)的齊次方程，利用特征方程求通解：（2）對于非齊次方程，根據(jù)下列形式自由項的特點和 設(shè)置特解的形式，然后使用待定系數(shù)法。四、微分方程的應(yīng)用求解應(yīng)用問題時，首先需要列微分方程，這可根據(jù)有關(guān)科學(xué)知識，分析所研究的變量應(yīng)該遵循的規(guī)律，找出各量之間的等量關(guān)系，列出微分方程，然后根據(jù)微分方程的類型的

3、用相應(yīng)的方法求解，還應(yīng)注意，有的應(yīng)用問題還含有初始條件。一、疑難解析（一）一階微分方程1關(guān)于可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程是一階微分方程中的一種最簡單的方程，形如 （1）的微分方程稱為變量可分離的微分方程，或稱可分離變量的微分方程，若，則方程（1）可化為變量已分離的方程兩端積分，即得（1）的通解： （2）（2）式是方程（1）的通解（含有一個任意常數(shù)），但不是全部解，用分離變量法可求出其通解為，但顯然也是該方程的解，卻未包含在通解中，從這個例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本課程不要求求全部解。有些看上去不能分離變量的微分方程，通過變量代換可以化為可分離變量的方程來求解。如齊次

4、型微分方程。 或 （3）可用代換化為兩端同時積分即可求解。（2）關(guān)于一階線性微分方程。一階線性微分方程是指形如 （4）的方程，其中、是已知函數(shù)，其特點是，都以一次冪的形式出現(xiàn)在方程中，求它的通解時，即可以用公式 （5）來求，也可以用常數(shù)變易法來求，即通過分離變量法先求出齊次線性方程的通解，再令來未知函數(shù)，將代入方程（4），求出，最后得到所求通解。有的方程把看作未知函數(shù)，看作自變量時成為一階線性微分方程，如方程可變形為關(guān)于的一階線性非齊次方程如同一些方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可化成可分離變量方程求解一樣，有些方程用變量代換可以化成一階線性非齊次方程，如伯努利方程。，用代換則化為（二）關(guān)于常數(shù)變易法所謂

5、常數(shù)變易法就是將相應(yīng)的線性齊次微分方程通解中的常數(shù)變?yōu)榇ê瘮?shù)，然后代入線性非齊次微分方程中，求出，從而得到線性非齊次微分方程通解的方法。常數(shù)變易法的關(guān)鍵是如何確定，由于的通解為（1），將常數(shù)用代換，設(shè)為方程的通解，將其代入方程中，就得到關(guān)于待定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)滿足的方程，即 （*）（*）式是求過程中重要的一步，應(yīng)記住這個表達(dá)式，事實上，它的左端是將通解中的換成，右端是原方程中右端頂（非齊次項）將（*）式變形，再求積分就得到。例 求的通解。解 這是一階線性方程，。相應(yīng)的齊次方程的通解為。設(shè)非齊次方程的通解為，代入原方程，得所求通解為面（三）可降階的特殊本章所研究的二階微分方程主要有兩類：一是可降價

6、的二階微分方程，它的形式及相應(yīng)的解法見表8-1：表8-1可降階的二階微分方程及求解方法方程形式求解方法積分得，再積分，得通解。 設(shè)，則，方程化為設(shè)則，方程化為（四）二階線性常系數(shù)微分方程 (其中為常數(shù))當(dāng)時稱為齊次的，此時通解依特征方程的特征根而定（見教材表8-6-1），當(dāng)時，稱為非齊次的。它的通解可寫成其中是該方程對應(yīng)的齊次方程的通解，而是該方程的一個特解。一般說來，求特解并不是件容易的事情，但當(dāng)右端項為某些特殊形式函數(shù)時，特解具有相應(yīng)的特殊形式，如表8-2所示。這時可用特定系數(shù)法來求出。表8-2非齊次項的形式特征方程的根特解的形式是次多項式0不是特征根（即時）0是特征方程的單根（即時0是特

7、征重根，（即時）是與同次的多項式即是指數(shù)函數(shù)與多項式乘積不是特征根是單特征根是重特征根是與同次的多項式不是特征根是特征根都是次多項式不是特征根是特征根從表8-2可以看出，特解的設(shè)法與非齊次項的形式基本是相同的，只不過依不是特征根、是單根、是重根時，依次再分別乘以一個因子（）。解題時首先應(yīng)設(shè)定特解的形式，注意其中的未知多項式或或，的次數(shù)的確定方法；設(shè)定未知多項式的系數(shù)后，將代入原方程，用待定系數(shù)法確定未知系數(shù)。（五）關(guān)于特征根法特征根法不僅可用于二階線性常系數(shù)齊次微分方程通解，也可用于求高階線性常系數(shù)齊次微分方程通解，即（1）若是單實根，則通解中含加（2）若是重實根，則通解中含加項（3）若是共軛

8、復(fù)根，則有通解中含加項根據(jù)上述這些加項，就可寫出方程的通解形式。例如求方程的通解。其求特征方程是分解因式為 特征根為 因為是二重根，所以通解中含加項；因為是一對共軛復(fù)根，所以通解中含加項從而得到原方程的通解為二、例題分析例1 為下列各題選擇正確答案：（1）下列微分方程中，是二階線性微分方程的為（ ）A BC D（2）下列微分方程中，（ ）所給的函數(shù)是通解。A； B；C； D；（3）下列微分方程中為可分離變量方程的是（ ）A； B；C； D；（4）微分方程的特解形式應(yīng)設(shè)為（ ）A； B；C； D；（5）微分方程的通解為（ ）A B；C； D；解 （1）微分方程的“階”是指方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最

9、高階數(shù)，“線性”是指未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均以線性（一次）形式出現(xiàn)在方程中，由于，A、C中分別含有和項，都呈非線性形式，B中是一階導(dǎo)數(shù)，方程為一階方程，故只有選擇D正確，事實上，D中方程可化成二階線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為。（2）微分方程的通解是指所含獨立任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階相等的解。經(jīng)驗證，所給四個答案中，A、B、C是方程的解，但A、D中不含任意常數(shù)，說明它們是特解，不是通解，故選項B正確。（3）將方程進(jìn)行變量分離，可知為是可分離變量方程。B、C、D均不能分離變量，故正確選擇是A。（4）二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式與右端項的形式密切相關(guān)，此方程中右端項，因此特解應(yīng)設(shè)為其中由不是特征方程

10、的根，是單根或是重根而分別設(shè)為0，1，2此題中不是特征根，因此特解應(yīng)設(shè)為故正確的選項為B。（5）二階常系數(shù)線性齊次方程的通解與特征方程的根的形式密切相關(guān)。的特征根為，是共軛復(fù)根，通解為三角函數(shù)形式，故選項C正確。例2 在下列各題的空白處填寫正確答案：（1）通過點（1，1）處，且斜率處處為的典線方程是 。（2）二階微分方程的通解是 。（3）微分方程滿足初始條件的特解為 。（4）齊次方程的通解是 。解 （1）斜率處處為的曲線方程應(yīng)滿足積分得 ，代入條件，得，故所求曲線方程是。（2）對兩次積分，得，此為所求通解。（3）微分方程的特征方程為，特征根為，通解為 將初始條件代入，得，故所求特解為。（4）設(shè)

11、則代入原方程中，得，故所求通解為例3 判斷下列微分方程屬于哪種類型，并求出它們的通解或特解。（1）；（2）；（3）（4）分析 這幾個方程都是一階微分方程，通過適當(dāng)變形來判斷它們的類型。解 （1）將方程變形，得這是變量可分離型方程，分離變量得兩端積分得： 整理后得方程的通解為（2）觀察方程中、的系數(shù)，都是二次函數(shù)，故原方程為齊次方程。當(dāng)時，各項除以，得令，則代入方程中，得兩端積分得： 再將代回，得 于是方程的通解為（3）觀察方程中、的系數(shù)，都是一次函數(shù)可看作是一次函數(shù)），因此方程為齊次方程。當(dāng)時，將各項除以，得令，則代入齊次方程中，得兩端積分，得將代回，得將初始條件代入，得。故滿足方程初始條件的

12、特解為移項，兩端平方整理后得 此即為所求特解。（4）將方程變形，得此為變量可分離方程。分離變量，得兩端積分得 （為任意常數(shù)）將初始條件代入，得因此滿足方程初始條件的特解為例4 判斷方程的類型，并求解：（1）（2），（3）*（4）（5）解 （1）方程變形為這是一階線性非齊次方程方法一：用公式法這里于是通解為 （為任意常數(shù)）方法二：用常數(shù)變易法先求出齊次方程的通解；將變形為兩端積分得即齊次方程的通解為為任意常數(shù)）設(shè)將其代入非齊次方程，得積分求得 故所求方程的通解為（為任意常數(shù)）（2）方程變形為此為一階線性非齊次方程用公式求解：這里，于是方程的通解為 （其中為任意常數(shù)）將初始條件代入，得，因此方程滿

13、足初始條件的特解為（3）方程變形為這是一階線性齊次方程，用公式求通解為將初始條件代入，得，因此方程滿足初始條件的特解為*（4）將看作自變量，看作未知函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性非齊次方程。這里于是通解為（為任意常數(shù)）（5）該方程是一階非線性方程，是可分離變量型方程，原方程變形為積分得 ，故通解為 （為任意常數(shù)） 小結(jié)（1）從上面的例子看出，判斷方程的類型是最基本的，分清類型才能確定求解的辦法，這不僅是對一階微分方程而言的，對其它的微分方程也是如此。（2）對一階微分方程來說，如果它是形如的方程，則屬于變量可分離方程；如果方程形如，則屬于齊次方程。有些方程則需作適當(dāng)代換，化成上述兩種類型

14、。如，令，則可化成變量可分離的形式。（3）一階線性微分方程是一階微分方程中比較基本而又重要的類型之一，它可以用公式 求通解，也可以用常數(shù)變易法求通解，用公式法求通解時，要注意先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式 這親才能準(zhǔn)確地確定出。用公式法求通解時，要先求出齊次方程的通解，然后將常數(shù)變成待定函數(shù)，即令 為非齊次方程的通解，代入原方程求出，將代回，這樣便得到方程的通解。（4）一階線性非齊次方程的通解式可寫成下面兩項之和上式右端第一項是對應(yīng)的齊次線性方程的通解，第二項是非齊次方程的一個特解（在通解式中取便得到這個特解）。由此可知，一階線性非齊次方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。 例5

15、 求下列微分方程的通解。（1） （2）（3） （4）分析 這些都是可降價的二階微分方程式，可用變量代換的方法將它們化為一階微分方程來求解。解 （1）方程右端不顯含，只把作為新未知函數(shù)，則方程就是關(guān)于的一階微分方程，兩邊積分，得再積分即得通解 （2）方程不顯含，作代換，于是代入原方程，得 如果，那么約去并分離變量，得兩端積分并化簡，得，即 分離變量并積分，得 于是有 如果，那么從中可得，顯然它也是原方程的解，但已被包含在解 中了（僅，就得到它），所以原方程通解為（3）方程不顯得設(shè)，則代入方程并分離變量后，有兩端積分，得，即由條件，得，所以再積分，得 由條件于是所求的特解為 （4）方程僅含，不顯含

16、與，設(shè)，則，代入原方程，得當(dāng)時，約去并分離變量，得積分得 將代入并分離變量得積分得即于是原方程的通解為此題是中，若表示為，即，那么代入原方程后也得到一個可分離變量方程。 分離變量并積分得 即 故 （其中兩個計算結(jié)果是一致的。 小結(jié)從上面例子看出，方程（1）直接積分兩次就可得到通解，而方程（2）和（3）則必須作代換后通過降價才能求通解，值得注意的是，對方程（2）和（3）所作的代換是相同的，即均為，但的表達(dá)式卻是不同的，要根據(jù)方程中是含有還是含有而將分別表示成（方程（3）情形，含不含）或（方程（2）情形，含不含）。例6 求下列微分方程的通解：（1） （2）分析 這兩個是二階常系數(shù)線性齊次方程，寫出

17、特征方程，求出特征根，根據(jù)特征根的不同情況，定出它們的通解。解 （1）所給微分方程的特征方程是特征根，為一對共軛復(fù)根，因此所求通解為 （2）所給方程的特征方程是特征根，是兩個不相等的實根，因此所求通解為例7 求初值問題的解。解 所給微分方程的特征方程為特征根是兩個相等的實根，因此所求方程的通解為：將初始條件代入，求得，因此初值問題的解為例8 求下列微分方程的通解（1） （2）分析 這是二階常系數(shù)線性非齊次方程，求通解時，應(yīng)先求出對應(yīng)齊次方程的通解，再根據(jù)右端函數(shù)的形式及特征根的情況，設(shè)出非齊次的方程的特解，則就是所求通解。解 （1）先求齊次方程的通解，特征方程為，特征根為故齊次方程通解為 由于

18、是特征根（方程右端函數(shù)可看作是），故特解設(shè)為注意：無論中有無了一次項及常數(shù)項，在設(shè)時，其中的二次多項式中必須含有二次項、一次項和常數(shù)項。因為 代入方方程中，有比較兩邊同次冪的系數(shù)，得從而求得，所以原方程的一個特解是于是原方程的通解為（2）齊次方程的特征方程為特征根為兩個相符的實根，故齊次方程的通解為由于是重根，因此非齊次方程的特解形式為因為代入方程中，整理有比較兩端同次冪的系數(shù)，有所以原方程的一個特解為于是原方程的通解為 例9 求下列方程的特解(1)(2) 解 （1）方程右端函數(shù)可看作是函數(shù)與之和，因此原方程的特解是下列兩個方程 的特解與之和，即 微分方程的特征方程為，顯然不是特征根，因此方程

19、的特解設(shè)為計算、并代入方程，有，解出故方程的特解為由于是二重特征根，因此方程的特解為計算、并代入方程有故方程的特解為于是原方程的一個特解為 （2）特征方程為，顯然不是特征根，因此特解設(shè)為 因為 代入方程中，有，比較兩端同次冪系數(shù)，求得于是求得方程的一個特解經(jīng)驗證知它不是滿足初始條件的特解為求滿足初始條件的特解，必須要先求出原方程的通解，由于原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為所以原方程的通解為將初始條件代入，求得故滿足初始條件的特解為由此例可以看出，如果僅求方程的一個特解，那么由待定系數(shù)法就可以求出：若要求滿足初始條件的特解，則需先用特定系數(shù)法求出一個特解（此特解不一定滿足題給的初始條件），這時應(yīng)先求

20、出非齊次方程的通解，然后再代入初始條件，確定任意常數(shù)，這樣才能求得初值問題的解。例10 求下列微分方程的一個特解。（1）（2）（3）解 (1)特征方程為，特征根為由于非齊次項其中不是特征根，故特解設(shè)為其中A、B是待定系數(shù)（注意：特解不能只設(shè)一項），因為應(yīng)看成是對特解求導(dǎo)將一同代入原方程，整理后得比較兩端同類項系數(shù)，得于是方程的一個特解為（2）特征方程為特征根，由于屬于型，這里，故特解設(shè)為計算代入原方程，有比較兩端同項的系數(shù)，得由此解得于是求得一個特解為（3）特征方程為，特征根，由于，屬于型，這里由于是單特征根，故特解設(shè)為為求導(dǎo)計算方便，設(shè)于是將以上三式代入方程中，并考慮到，于是有較同類項系數(shù)，

21、得于是所求方程的一個特解為例11 求方程的通解。解 將變形為于是原方程的通解是齊次方程 的通解與下面兩個方程 的特解和的和，即特征方程為，特征根為，故方程的通解為對方程來講，由于0不是特征根，故特解設(shè)為代入方程，解出，故對方程來講，由于不是特征根，故特解設(shè)為計算、并代入方程，整理得比較兩端同類項系數(shù)得解出故所以原方程的通解為求一階或二階微分方程通解常用的方法還有數(shù)值解法（如龍格一庫塔法）、冪級數(shù)解法等，這些例子教材中已講得較詳細(xì)了，在此不贅述了，下面看一下關(guān)于微分方程的應(yīng)用問題舉例。例12 求一曲線，使由其任一點的切線、二坐標(biāo)軸和過切點平行于縱軸的直線所圍成的梯形面積等于常數(shù)值解 列方程設(shè)是所求曲線上的任一點，則過該點的切線方程為或其中是切線上任意一點的坐標(biāo)。于是由該切線、二坐標(biāo)軸及直線所圍成的梯形面積為由已知條件得即 （*）解方程這是一個線性非齊次方程，其對應(yīng)的齊次方程的通解為用常數(shù)變易法求非齊次方程（*）的通解，設(shè)通解為代入方程（*），整理后得積分，得 從而得到 即所求曲線方程為 求解微分方程的應(yīng)用問題時，首先要列出方程，然后再求解。一般說來，列方程有有下述兩種方法：（1）根據(jù)有關(guān)科學(xué)知識，分析所研究的變量應(yīng)遵循的規(guī)律，找出各變量之間的等量關(guān)系，列出微分方程；（2）微元法：這種方法的基本思想是，把所研究的整體理加以“細(xì)分”，