弧制及弧制和角制的換算

1、弧度制的概念和換算總結(jié)要點(diǎn)1. 角度制與弧度制:這是兩種不同的度量角的制度.角度制是以“度”為單位;弧度制是以“弧度”為單位.2. 度與弧度的相互換算:100.01745弧度, 1弧度57018/.3. 在同一個(gè)式子中,兩種制度不能混用.如:與600終邊相同的角的集合不能表示為x|x=2k+600,kZ,正確的表示方法是x|x=2k+,kZ 或 x|x=k·3600 +600,kZ 同步練習(xí)1. 若=3.2,則角的終邊在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2., ,其中終邊相同的角是 ( )(A) 和 (B) 和 (C) 和 (D) 和3.

2、若4<<6,且與角的終邊相同,則=_.4.正三角形,正四邊形,正五邊形, 正六邊形, 正八邊形, 正十邊形, 正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的大小分別_,_ ,_,_,_,_, _.(用弧度表示)5.把下列各角用另一種度量制表示. 1350 67030/ 2 1. 將下列各數(shù)按從小到大的順序排列.Sin40, sin, sin300, sin12. 把下列各角化成2k+（02,）的形式, 并求出在(2,4)內(nèi)和它終邊相同的角.(1); (2)6750.3. 若角的終邊與1680角的終邊相同,求在0,2內(nèi)終邊與角的終邊相同的角.練習(xí)四 弧度制(二)要點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式: 弧長(zhǎng)公式 L

3、=|r 扇形面積公式 S=Lr=|r2 其中是圓心角的弧度數(shù),L為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng),r為圓半徑.2. 無(wú)論是角度制還是用弧度制,都能在角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,但用弧度制表示角時(shí),容易找出與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).同步練習(xí)1.半徑為5 cm的圓中,弧長(zhǎng)為cm的圓弧所對(duì)的圓心角等于 ( ) (A)1450 (B) 1350 (C) (D) 2.將分針撥快10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是 ( ) (A) (B) (C) (D)3. 半徑為4 的扇形,基它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓周的長(zhǎng),則這個(gè)扇形的面積是_.4. 已知一弧所對(duì)的圓周角為600,圓的半徑為10cm,則此弧所在的弓形的面積等于_.5.

4、 已知扇形的周長(zhǎng)為6cm,面積為2cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).6. 2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,求這個(gè)圓心角所夾扇形的面積.7. 一條弦的長(zhǎng)度等于其所在圓的半徑r.(1) 求這條弦所在的劣弧長(zhǎng);(2) 求這條弦和劣弧所組成的弓形的面積.【數(shù)學(xué)2】二、弧度制第一課時(shí)教學(xué)要求：1理解弧度制的意義，熟練掌握弧度制與角度制的互換教學(xué)過(guò)程： 1為什么要引入新的角的單位弧度制.（1）為了計(jì)算的方便，角度制單位、度、分、秒是60進(jìn)制，計(jì)算不方便；（2）為了讓角的度量結(jié)果與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng).2弧度制的定義先復(fù)習(xí)角度制，即1度的角的大小是怎樣定義的.1弧度角的規(guī)定.把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

5、弧度的單位符號(hào)是rad，讀作弧度.如上圖，AB的長(zhǎng)等于半徑r，AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的長(zhǎng)度等于2r,則AOC=2rad.問(wèn)半圓所對(duì)的圓心角是多少弧度，圓周所對(duì)的圓心角是多少弧度？答：半圓弧長(zhǎng)是半圓所對(duì)的圓心角是弧度.同樣道理，圓周所對(duì)的圓心角（稱謂周角）的大小是2弧度.角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣.所以任意一正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零.3弧度制與角度制的互化因?yàn)橹芙堑幕《葦?shù)是2，角度是360°，所以有把上面的關(guān)系反過(guò)來(lái)寫例1：把解：例2：把化成角度. 今后用弧度制表示角時(shí)，把“弧度”二字或“rad”通常省略不寫，比如 rad，角 角的正

6、弦.之間的一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互化必需熟練掌握.度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度02例3：用弧度制表示（1）與終邊相同的角；（2）第四象限的角的集合.解：（1）與（2）第四象限的角的集合是也可能寫成注意兩種角度制不準(zhǔn)混合用，如寫成布置作業(yè)，課本P12，15題.第二課時(shí)教學(xué)要求：1熟練弧度制與角度制的互化，理解角的集合與實(shí)數(shù)集R的一一對(duì)應(yīng).2會(huì)用弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式，解決一些實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程： 復(fù)習(xí)角的弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化公式1

7、學(xué)生先練習(xí)，老師再總結(jié).（1）10 rad角是第幾象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有兩種方法. 第一種方法，是第三象限的角第二種方法10 rad的角是第三象限的角.（2） 也可以直接在計(jì)算器上求得，先把角的單位轉(zhuǎn)至RAD，再求sin1.5即可得.2總結(jié)角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度是零.反過(guò)來(lái)，每個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)唯一的角（角的弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)）這樣就在角的集合（元素是角）與實(shí)數(shù)集R（元素是數(shù)）之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.3弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式的應(yīng)用由弧度制的定義例1：利用弧度制證明扇形面積公式是扇形弧長(zhǎng)，R是圓的半徑

8、.l證明：因?yàn)閳A心角為1 rad的扇形的面積是，而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角為，所以它的面積.若已知扇形的半徑和圓心角，則它的面積又可以寫成例2：半徑R的扇形的周長(zhǎng)是4R，求面積和圓心角.解：扇形弧長(zhǎng)為4R-2R=2R，圓心角面積.例3：在扇形AOB中，AOB=90°，弧長(zhǎng)為l，求它的內(nèi)切圓的面積.解：先求得扇形的半徑設(shè)圓的半徑為x，圓心為C，由 解得SC4學(xué)生課堂閱讀課本P1011 例5、例6并作P11練習(xí)7、8兩題.布置作業(yè)，課本P1213，習(xí)題4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制教學(xué)目標(biāo)（1）通過(guò)本小節(jié)的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，

9、熟記特殊角的弧度數(shù)；（2）了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；（3）掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式，會(huì)利用弧度解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)使學(xué)生理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。弧度的概念及其與角度的關(guān)系，是本小節(jié)的乃至本章的難點(diǎn)；其中，講清1弧度的角的意義，是建立弧度概念的關(guān)鍵。教學(xué)難點(diǎn)使學(xué)生理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算?；《鹊母拍罴捌渑c角度的關(guān)系，是本小節(jié)的乃至本章的難點(diǎn)；教學(xué)過(guò)程一引入我們?cè)诔踔袔缀卫飳W(xué)習(xí)過(guò)角的度量，規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制度叫做角度制。下面再介紹在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中常用到的另一種度量角的單位制弧度制，它

10、的單位符號(hào)是rad，讀作弧度。二新課定義：我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量時(shí)，這樣的圓心角等于1rad。說(shuō)明學(xué)生閱讀課本，教師作要點(diǎn)說(shuō)明，并進(jìn)行歸納。一般地，可以得到：正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0；角的弧度數(shù)的絕對(duì)值其中是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長(zhǎng)，是圓的半徑。概念：這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制。1把角度換成弧度2把弧度換成角度例1把化成弧度。例2把化成度。約定今后我們用弧度制表示角的時(shí)候，“弧度”二字或“”通常略去不寫，而只寫這個(gè)角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表：度弧度角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的

11、對(duì)應(yīng)關(guān)系：復(fù)習(xí)角度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式（1）弧長(zhǎng)公式：，（弧度數(shù)）（2）扇形面積：（該結(jié)論在例講解后給出）例3利用弧度制證明扇形面積公式，其中是扇形的弧長(zhǎng)，R是圓的半徑。例4計(jì)算：（1）；（2）。例5將下列各角化成0到的角加上的形式：（1）；（2）。例6求圖49中公路彎道處弧的長(zhǎng)（精確到1m。圖中長(zhǎng)度單位：m）.例把下列各角的度數(shù)化為弧度數(shù)：解因?yàn)?，所以例把下列各角的弧度?shù)化為度數(shù)：解因?yàn)?，所以×；×；×度與弧度的換算可以利用計(jì)算器進(jìn)行，具體操作方法可見(jiàn)本書的附錄今后我們用弧度制表示角的時(shí)候，“弧度”二字或“”通常略去不寫

12、，而只寫這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)例如，角表示是的角，表示的正弦，即根據(jù)常用特殊角間的倍數(shù)關(guān)系，可以列出下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)對(duì)應(yīng)值度弧度例用弧度制表示終邊在軸上的角的集合解因?yàn)樵诮嵌戎葡?，終邊在軸上的角的集合為所以，在弧度制下，終邊在軸上的角的集合為，例計(jì)算： 解原式課 題：4.2弧度制（一）教學(xué)目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定義.2.掌握角度與弧度的換算公式并能熟練地進(jìn)行角度與弧度的換算.3.熟記特殊角的弧度數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生理解弧度的意義，正確地進(jìn)行角度與弧度的換算.教學(xué)難點(diǎn)：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析： &#

13、160;  講清1弧度角的定義，使學(xué)生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達(dá)到突破難點(diǎn)之目的.通過(guò)電教手段的直觀性，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過(guò)周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1角的概念的推廣“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn)“正角”與“負(fù)角”“0角

14、”我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊的角=210°，=-150°，=660°， 2度量角的大小第一種單位制角度制的定義初中幾何中研究過(guò)角的度量，當(dāng)時(shí)是用度做單位來(lái)度量角，1°的角是如何定義的？規(guī)定周角的作為1°的角，我們把用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制，有了它，可以計(jì)算弧長(zhǎng)，公式為3探究30°、60°的圓心角，半徑r為1，2，3，4，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)l，再計(jì)算弧長(zhǎng)與半徑的比結(jié)論：圓心角不變，則比值不變，因此比值的大小只與角的大小有關(guān)，我們可以利用這個(gè)比值來(lái)

15、度量角，這就是另一種度量角的制度弧度制 二、講解新課： 1 定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角它的單位是rad 讀作弧度，這種用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制 如下圖，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad 探究：平角、周角的弧度數(shù)，（平角=p rad、周角=2p rad）正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值 （為弧長(zhǎng)，為半徑）角度制、弧度制度量角的兩種不同的方法，單位、進(jìn)制不同，就像度量長(zhǎng)度一樣有不同的方法，千米、米、厘米與丈、尺、寸，反映了事物本身不變，改變的是不同的觀察、處理方法，因此結(jié)果就有所不同用角度制和弧

16、度制來(lái)度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同2. 角度制與弧度制的換算： 360°=2p rad 180°=p rad 1°=三、講解范例：例1 把化成弧度解： 例2 把化成度解：注意幾點(diǎn)：1度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計(jì)算器”進(jìn)行； 2今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sinp表示prad角的正弦； 3一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記住：角度0°30°45°60°90°120°135

17、6;150°180°弧度0/6/4/3/22/33/45/6角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7/65/44/33/25/37/411/62 4應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無(wú)論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù) 任意角的集合 實(shí)數(shù)集R例3用弧度制表示：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合解：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3

18、終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 四、課堂練習(xí)：1.下列各對(duì)角中終邊相同的角是( )A.（） B.和C.和 D. 2.若3，則角的終邊在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若是第四象限角，則一定在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合為 ，第一或第三象限角的集合為 .5.7弧度的角在第 象限，與7弧度角終邊相同的最小正角為 .6.圓弧長(zhǎng)度等于截其圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為 .7.求值：.8.已知集合22，B44，求AB.9.現(xiàn)在時(shí)針和分針都指向12點(diǎn)，試用弧度制表示15分鐘后，時(shí)針和分針的夾角.參考答

19、案：1.C 2.C 3.C4.2k2k，kZkk，kZ5.一 72 6. 7.28.AB4或09.五、小結(jié) 1弧度制定義 2與弧度制的互化 2.特殊角的弧度數(shù)六、課后作業(yè)：已知是第二象限角，試求： (1)角所在的象限；(2)角所在的象限；(3)2角所在范圍. 解：(1)是第二象限角,+2k<<+2k,kZ,即+k<<+k,kZ. 故當(dāng)k=2m(mZ)時(shí)，+2m<<+2m,因此，角是第一象限角；當(dāng)k=2m+1(mZ)時(shí)，+2m<<+2m,因此，角是第三象限角. 綜上可知，角是第一或第三象限角. (2)同理可求得：+k<<+k,kZ.當(dāng)k

20、=3m(mZ)時(shí)，,此時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k=3m+1(mZ)時(shí)，即<+2m,此時(shí)，角是第二象限角； 當(dāng)k=3m+2(mZ)時(shí)，,此時(shí)，角是第四象限角. 綜上可知，角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2角所在范圍為：+4k<2<2+4k,kZ. 評(píng)注：(1)注意某一區(qū)間內(nèi)的角與象限角的區(qū)別.象限角是由無(wú)數(shù)個(gè)區(qū)間角組成的，例如0°<<90°這個(gè)區(qū)間角，只是k=0時(shí)第一象限角的一種特殊情況. (2)要會(huì)正確運(yùn)用不等式進(jìn)行角的表達(dá)，同時(shí)會(huì)以k取不同值，討論形如=+k(kZ)所表示的角所在象限. (3)對(duì)于本例(3)，不能說(shuō)2只是第一、二象

21、限的角，因?yàn)?也可為終邊在y軸負(fù)半軸上的角+4k(kZ),而此角不屬于任何象限.七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：課 題：4.2弧度制（一）教學(xué)目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定義.2.掌握角度與弧度的換算公式并能熟練地進(jìn)行角度與弧度的換算.3.熟記特殊角的弧度數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生理解弧度的意義，正確地進(jìn)行角度與弧度的換算.教學(xué)難點(diǎn)：弧度的概念及其與角度的關(guān)系.授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：    講清1弧度角的定義，使學(xué)生建立弧度的概念，理解弧度制的定義，達(dá)到突破難點(diǎn)之目的.通過(guò)電教手段的直觀性，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量

22、單位的可靠性、可行性.通過(guò)周角的兩種單位制的度量，得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1角的概念的推廣“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn)“正角”與“負(fù)角”“0角”我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊的角=210°，=-150°，=66

23、0°， 2度量角的大小第一種單位制角度制的定義初中幾何中研究過(guò)角的度量，當(dāng)時(shí)是用度做單位來(lái)度量角，1°的角是如何定義的？規(guī)定周角的作為1°的角，我們把用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制，有了它，可以計(jì)算弧長(zhǎng)，公式為3探究30°、60°的圓心角，半徑r為1，2，3，4，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)l，再計(jì)算弧長(zhǎng)與半徑的比結(jié)論：圓心角不變，則比值不變，因此比值的大小只與角的大小有關(guān)，我們可以利用這個(gè)比值來(lái)度量角，這就是另一種度量角的制度弧度制 二、講解新課： 1 定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角它的單位是rad 讀作弧度，這種用“弧度”做單

24、位來(lái)度量角的制度叫做弧度制 如下圖，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，rad 探究：平角、周角的弧度數(shù)，（平角=p rad、周角=2p rad）正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值 （為弧長(zhǎng)，為半徑）角度制、弧度制度量角的兩種不同的方法，單位、進(jìn)制不同，就像度量長(zhǎng)度一樣有不同的方法，千米、米、厘米與丈、尺、寸，反映了事物本身不變，改變的是不同的觀察、處理方法，因此結(jié)果就有所不同用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同2. 角度制與弧度制的換算： 360°=2p

25、 rad 180°=p rad 1°=三、講解范例：例1 把化成弧度解： 例2 把化成度解：注意幾點(diǎn)：1度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計(jì)算器”進(jìn)行； 2今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sinp表示prad角的正弦； 3一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記?。航嵌?°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0/6/4/3/22/33/45/6角度210°225°240°270°

26、300°315°330°360°弧度7/65/44/33/25/37/411/62 4應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無(wú)論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù) 任意角的集合 實(shí)數(shù)集R例3用弧度制表示：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合解：1 終邊在軸上的角的集合 2 終邊在軸上的角的集合 3 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 四、課堂練習(xí)：1.下列各對(duì)角中終邊相同的角是( )A.（） B.和C.和 D. 2.若3，則角的終邊在( )A.第一象限 B.第二

27、象限 C.第三象限 D.第四象限3.若是第四象限角，則一定在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合為 ，第一或第三象限角的集合為 .5.7弧度的角在第 象限，與7弧度角終邊相同的最小正角為 .6.圓弧長(zhǎng)度等于截其圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為 .7.求值：.8.已知集合22，B44，求AB.9.現(xiàn)在時(shí)針和分針都指向12點(diǎn)，試用弧度制表示15分鐘后，時(shí)針和分針的夾角.參考答案：1.C 2.C 3.C4.2k2k，kZkk，kZ5.一 72 6. 7.28.AB4或09.五、小結(jié) 1弧度制定義 2與弧度制的互化 2.特殊角的弧度

28、數(shù)六、課后作業(yè)：已知是第二象限角，試求： (1)角所在的象限；(2)角所在的象限；(3)2角所在范圍. 解：(1)是第二象限角,+2k<<+2k,kZ,即+k<<+k,kZ. 故當(dāng)k=2m(mZ)時(shí)，+2m<<+2m,因此，角是第一象限角；當(dāng)k=2m+1(mZ)時(shí)，+2m<<+2m,因此，角是第三象限角. 綜上可知，角是第一或第三象限角. (2)同理可求得：+k<<+k,kZ.當(dāng)k=3m(mZ)時(shí)，,此時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k=3m+1(mZ)時(shí)，即<+2m,此時(shí)，角是第二象限角； 當(dāng)k=3m+2(mZ)時(shí)，,此時(shí)，角是第四象限

29、角. 綜上可知，角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2角所在范圍為：+4k<2<2+4k,kZ. 評(píng)注：(1)注意某一區(qū)間內(nèi)的角與象限角的區(qū)別.象限角是由無(wú)數(shù)個(gè)區(qū)間角組成的，例如0°<<90°這個(gè)區(qū)間角，只是k=0時(shí)第一象限角的一種特殊情況. (2)要會(huì)正確運(yùn)用不等式進(jìn)行角的表達(dá)，同時(shí)會(huì)以k取不同值，討論形如=+k(kZ)所表示的角所在象限. (3)對(duì)于本例(3)，不能說(shuō)2只是第一、二象限的角，因?yàn)?也可為終邊在y軸負(fù)半軸上的角+4k(kZ),而此角不屬于任何象限.七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記： 4.2 弧度制教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生理解弧度的意

30、義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；2.了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；3.掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式，會(huì)利用弧度解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；4.在理解弧度制定義的基礎(chǔ)上，領(lǐng)會(huì)弧度制定義的合理性；重點(diǎn)：理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行角度制與弧度制的換算；難點(diǎn)：弧度的概念，弧度與角度的關(guān)系。知識(shí)結(jié)構(gòu)教法建議（1）弧度制與角度制一樣，只是度量角的一種方法，但由于學(xué)生有先入為主的想法，所以學(xué)起來(lái)有一定的困難，首先必須清楚1弧度的概念，它與所在圓的半徑大小無(wú)關(guān)。（實(shí)例）；其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點(diǎn)，一是在進(jìn)位上角度制在度、分、秒上是60進(jìn)制，而弧度制卻是十進(jìn)制，其二

31、在弧長(zhǎng)和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡(jiǎn)單： 不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；（2）關(guān)于弧度與角度二者的換算，教學(xué)時(shí)應(yīng)抓?。夯《?弧度 這個(gè)關(guān)鍵，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生；（3）教學(xué)應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)在同一式中，所采用的單位必須一致；（4）通過(guò)例3的教學(xué)，應(yīng)讓學(xué)生知道，無(wú)論是利用角度制還是弧度制，都能在已知弧長(zhǎng)和半徑的情況下推出扇形面積公式，但利用弧度制來(lái)推導(dǎo)要簡(jiǎn)單中些一課題：弧度制（2）二教學(xué)目標(biāo)：1. 繼續(xù)研究角度制與弧度制之間的轉(zhuǎn)化；2熟練掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式及其應(yīng)用；3求扇形面積的最值。三教學(xué)重、難點(diǎn)：弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的應(yīng)用。 四教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)：（1）弧度制角如何規(guī)

32、定的？（其中表示所對(duì)的弧長(zhǎng)）（2）； 說(shuō)出下列角所對(duì)弧度數(shù)（練習(xí)）寫出陰影部分的角的集合：（3）在角度制下，弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式如何表示？圓的半徑為，圓心角為所對(duì)弧長(zhǎng)為；扇形面積為（二）新課講解：1弧長(zhǎng)公式：在弧度制下，弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式又如何表示？（其中表示所對(duì)的弧長(zhǎng)），所以，弧長(zhǎng)公式為2扇形面積公式：扇形面積公式為：說(shuō)明：弧度制下的公式要顯得簡(jiǎn)潔的多了；以上公式中的必須為弧度單位3例題分析：例1（）已知扇形的圓心角為，半徑，求弧長(zhǎng)及扇形面積。（）已知扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的中心角為多大時(shí)它有最大面積，最大面積是多少？解：（）因?yàn)椋?，（）設(shè)弧長(zhǎng)為，半徑為，由已知，所以，從而，當(dāng)時(shí)，最大

33、，最大值為，這時(shí) 例如圖，扇形的面積是，它的周長(zhǎng)是，求扇形的中心角及弦的長(zhǎng)。解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則有，所以，中心角為，弦長(zhǎng)五課堂練習(xí)：1集合的關(guān)系是（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不對(duì)。2已知集合，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）或3圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的，而弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái)的 倍。4若弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，則這個(gè)圓心角所在的扇形面積是 5在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的單位圓中，一條弦的長(zhǎng)度為，所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為 六小結(jié)：1牢記弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，并靈活運(yùn)用； 2由將轉(zhuǎn)化成，利用這個(gè)與的二次函數(shù)關(guān)系求出扇形面積的最值。七作業(yè)：習(xí)題 第題

34、 補(bǔ)充：1一個(gè)扇形周長(zhǎng)等于它的弧所在圓的周長(zhǎng)的一半，若圓的半徑為，求扇形的面積。 2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，求這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，及圓心角所夾扇形面積（要求作圖）。 3已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)它的半徑和圓心角各取多少值時(shí)，扇形面積最大，最大值為多少？第二課時(shí)： 弧度制（一）教學(xué)要求：掌握弧度制的定義，學(xué)會(huì)弧度制與角度制互化，并進(jìn)而建立角的集合與實(shí)數(shù)集R一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的概念. 教學(xué)重點(diǎn)：掌握換算. 教學(xué)難點(diǎn)：理解弧度意義. 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 寫出終邊在x軸上角的集合 . 2. 寫出終邊在y軸上角的集合 . 3. 寫出終邊在第三象限角的集合 . 4. 寫出終邊在第一、三象限角的集合 .

35、5. 什么叫1°的角？計(jì)算扇形弧長(zhǎng)的公式是怎樣的？二、講授新課：1. 教學(xué)弧度的意義： 如圖：AOB所對(duì)弧長(zhǎng)分別為L(zhǎng)、L，半徑分別為r、r，求證：. 討論：是否為定值？其值與什么有關(guān)系？結(jié)論：=定值. 討論：在什么情況下為值為1？是否可以作為角的度量？ 定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫1弧度的角. 用rad表示，讀作弧度. 計(jì)算弧度：180°、360° 思考：360°等于多少弧度？ 探究：完成書P7 表1.1-1后，討論：半徑為r的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，則弧度數(shù)=？ 規(guī)定：正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. 半徑為r的

36、圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，則弧度數(shù)的絕對(duì)值為|. 用弧度作單位來(lái)度量角的制度叫弧度制. 討論：由弧度數(shù)的定義可以得到計(jì)算弧長(zhǎng)的公式怎樣？ 討論：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？度表示與弧度表示有啥不同？720°的圓心角、弧長(zhǎng)、弧度如何看？2 .教學(xué)例題：出示例1：角度與弧度互化： ；. 分析：如何依據(jù)換算公式？（抓住：180°=p rad） 如何設(shè)計(jì)算法？ 計(jì)算器操作： 模式選擇 MODE MODE 1(2)；輸入數(shù)據(jù)；功能鍵SHIFT DRG 1(2)= 練習(xí)：角度與弧度互化：0°；30°；45°；120°；135°；150

37、°； 討論：引入弧度制的意義？（在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系） 練習(xí)：用弧度制表示下列角的集合：終邊在x軸上； 終邊在y軸上.3. 小結(jié)：弧度數(shù)定義；換算公式（180°=p rad）；弧度制與角度制互化.三、鞏固練習(xí)： 1. 教材P10 練習(xí)1、2題.2. 用弧度制表示下列角的集合：終邊在直線y=x； 終邊在第二象限； 終邊在第一象限.3. 作業(yè)：教材P11 5、7、8題. 第三課時(shí)： 弧度制（二）教學(xué)要求：更進(jìn)一步理解弧度的意義，能熟練地進(jìn)行弧度與角度的換算. 掌握弧長(zhǎng)公式，能用弧度表示終邊相同的角、象限角和終邊在坐標(biāo)軸上的角. 掌握并運(yùn)用弧度制表示的

38、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式教學(xué)重點(diǎn)：掌握扇形弧長(zhǎng)公式、面積公式. 教學(xué)難點(diǎn)：理解弧度制表示. 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 提問(wèn)：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧長(zhǎng)公式？2. 弧度與角度互換：、210°、75°3. 口答下列特殊角的弧度數(shù)：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、二、講授新課：1. 教學(xué)例題： 出示例：用弧度制推導(dǎo)：SLR；.分析：先求1弧度扇形的面積（R）再求弧長(zhǎng)為L(zhǎng)、半徑為R的扇形面積？方法二：根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式、面積公式，結(jié)合換算公式轉(zhuǎn)換. 練

39、習(xí)：扇形半徑為45，圓心角為120°，用弧度制求弧長(zhǎng)、面積. 出示例：計(jì)算sin、tan1.5、cos（口答方法共練小結(jié)：換算為角度；計(jì)算器求） 練習(xí)：求、的正弦、余弦、正切.2. 練習(xí)：. 用弧度制寫出與下列終邊相同的角，并求02間的角. 、675° 用弧度制表示終邊在x軸上角的集合、終邊在y軸上角的集合？終邊在第三象限角的集合？ 討論：k×360°與2k30°是否正確？ 與的終邊相同，且2<<2，則 . 已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積.解法：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，列方程組而求.3. 小

40、結(jié)：扇形弧長(zhǎng)公式、面積公式；弧度制的運(yùn)用；計(jì)算器使用.三、鞏固練習(xí)：1. 時(shí)間經(jīng)過(guò)2小時(shí)30分，時(shí)針和分針各轉(zhuǎn)了多少弧度？2. 一扇形的中心角是54°，它的半徑為20cm，求扇形的周長(zhǎng)和面積. 3. 已知角和角的差為10°，角和角的和是10弧度，則、的弧度數(shù)分別是 . 4. 作業(yè)：教材P10 練習(xí)4、5、6題. 第一課時(shí)弧度制（一）（一） 引入新課有人問(wèn)：溫州到杭州有多遠(yuǎn)時(shí)，我們回答約400公里，但也有人回答約250英里，請(qǐng)問(wèn)那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會(huì)有不同的數(shù)值呢？那是因?yàn)樗捎玫亩攘恐撇煌?，一個(gè)是公制，一個(gè)是英制。

41、他們的長(zhǎng)度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里。在角度的度量里面，也有類似的情況，一個(gè)是角度制，一個(gè)是弧度制。角度制規(guī)定：將一個(gè)圓周分成360份，每一份叫做一度，故一周等于360度，半軸等于180度，直角等于90度等等?；《戎剖鞘裁茨?？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請(qǐng)看課本P810，自行解決上述問(wèn)題。（二） 新課1弧度制的定義師：（畫圖示意）長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1。（1） 長(zhǎng)度等于直徑的弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是多少？（畫圖示意，并寫成2R/R的形式）再舉一個(gè)負(fù)角的例

42、子。（2） 當(dāng)圓心角是周角時(shí)，它的弧度數(shù)是多少？為什么？（3） 當(dāng)圓心角是平角時(shí)，它的弧度數(shù)是多少？為什么？直角呢？2、 說(shuō)明：（1） 我們知道，角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-，-2等等，由角的旋轉(zhuǎn)方向決定。（2） 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，l是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，r是半徑。（3） 以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制。3、 角度制與弧度制的換算：（1）記住原理：周角所對(duì)的弧是整個(gè)圓周，是2r，所以周角的弧度數(shù)是2，但周角又等于360°360°=2 rad180°= r

43、ad1°= rad0.01745 rad（直接做4（1）（2）（3） 1 rad=57.3°=57°18/4、 例題與練習(xí)：（1） 把下列各角從度化成弧度：（口答，并問(wèn)為什么？）360°，180°，90°，45°30°， 60°，120°，135°，270°。（2） 把67°30/，化成弧度。（師生共解）（3） 練習(xí)：P11，T3。（板演）（4） 把各角從弧度化成度：（口答，并問(wèn)為什么）2，（5） 把化成度。（師生共解）（6） 練習(xí)：P11，T4。說(shuō)明：弧度制與角度

44、制的轉(zhuǎn)換運(yùn)算，關(guān)鍵要抓住180°= rad（三）鞏固：1、 小結(jié)：（1）圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于它所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑的比值：；也可寫成：（2）180°=；也可寫成：； 1 rad=2、常用角的弧度角度換算度00300600120013502700弧度2師：這些結(jié)果同學(xué)們應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上熟記，在今后有很多的應(yīng)用。 2、 計(jì)算：（1）sin （2）tan1.5處理：A：解釋tan與初中的記號(hào)tg不同，并要求參閱課本首頁(yè)“本書部分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)”注意正切和余切的寫法。B：教師示范解答，并說(shuō)明可以查表。3、 練習(xí)：P11，T5、6、7、8。從第8題引出角度制與弧度制下的弧長(zhǎng)計(jì)算公式。角度制

45、下的弧長(zhǎng)公式：（說(shuō)明推導(dǎo)方法）弧度制下的弧長(zhǎng)公式：說(shuō)明：顯然要簡(jiǎn)單得多。第二課時(shí)弧度制（二）（一）復(fù)習(xí)師：上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了度量角的一種新單位制弧度制，我們?cè)賮?lái)回顧一下。1 什么叫做1弧度角？（1） 把弧長(zhǎng)等于半徑時(shí)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。（2） 用弧度作為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制。（3） 大小不同的若干個(gè)圓內(nèi)，若圓心角都是1rad，則下列結(jié)論正確的是（C）A、所對(duì)弦長(zhǎng)相等B、所夾弧長(zhǎng)相等C、所夾弧長(zhǎng)等于各自半徑D、圓心角是570（4）事實(shí)上，在弧度制中，角的大小等于其所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑的比值，即。因此，與半徑的大小或弧的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。這個(gè)比值是一個(gè)實(shí)數(shù)，因此我們就在角的集合與實(shí)數(shù)集合之間

46、建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。即：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（這個(gè)角的弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)）與它對(duì)應(yīng)。角的集合R師：現(xiàn)在看P10的圖4-7，應(yīng)該不會(huì)太難了。（看書，不懂提問(wèn)）2 在角度制中，弧長(zhǎng)公式，扇形面積（簡(jiǎn)單介紹其推導(dǎo)過(guò)程）在弧度制中，弧長(zhǎng)公式，那么扇形面積是怎么樣的呢？下面我們一起來(lái)推導(dǎo)。例1利用弧度制證明扇形面積公式，其中使扇形的弧長(zhǎng)，是圓的半徑。R O S 證明：如圖，圓心角為1rad的扇形的面積為，又弧長(zhǎng)為的扇形的圓心角的大小為rad，所以它的面積為師：所以弧度制中，扇形面積公式為。相比之下，弧度制下的公式顯得格外簡(jiǎn)單。3 角度制與弧度制的互化：180&